2025年中考数学一轮复习专项巩固练习32--外接圆与内切圆的综合

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习32--外接圆与内切圆的综合 一、单选题 1．的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．如图，已知点O是的外心，连接OA，OB，OC，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，，，则的内切圆的半径为 ． 10．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，若的三个顶点都在格点上，则的外心坐标为 ． 12．如图，在中，，点是它的内心，则 ． 13．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 14．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 15．如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    16．如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ． 三、解答题 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 18．如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为， (1)，求内切圆的面积； (2)，求证：． 19．直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 20．是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 参考答案 1．C 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边是的直径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴斜边是的直径， ∵， ∴； 故选C． 2．C 【分析】本题考查三角形外心的定义，根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可，也是解题关键． 【详解】解：作线段和线段的垂直平分线，如图， 由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点， ∴点F是 的外心． 故选C． 3．C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由点O是的外心，可得，根据等腰三角形的性质知，因此可求出，再根据圆周角定理即可得到结果． 【详解】点O是的外心， ， ， ， 由题意可知是的圆周角，是的圆心角， ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了三角形内心的定义和圆周角定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，最后根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点I是的内心， 平分， ， 点O是外接圆的圆心， ，， ． 故选：C． 6．C 【分析】连接，，根据切线的性质得到，推出四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，进而根据切线长定理求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵内切圆分别于、、相切于点、、， ∴， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．A 【分析】本题考查三角形内切圆，运用三角形内角和定理得出的度数，再根据点O是的内切圆的圆心，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O是的内切圆的圆心， ∴，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故选：D． 9．1 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图， 则：四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 10．10 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识． 先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10． 故答案为：10． 11． 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、两点间的距离公式，假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为，设点，由三角形外接圆的性质得，得出，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为， 设点， 由图可得：，， 由三角形外接圆的性质得， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 12．/115度 【分析】根据三角形内心是三条角平分线的交点进行求解即可．本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和，熟知内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 【详解】解；∵， ∴， ∵点是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为；． 13．2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 14．35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 15． 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，掌握内切圆与内心和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，    ∴，，，， 由勾股定理得，， ∴， 即， 解得，即的半径为， 故答案为：． 16． 【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案． 【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴平分，且垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵、分别是的内心和外心， ∴点P、点Q、线段都在线段上， 则，，， 在中，，得，解得， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵， ∴，解得， 则． 故答案为∶． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键． 17．(1)见解析； (2) (3)点E在内部 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【详解】（1）解：圆心D如图所示； 圆心坐标为； （2）解：由勾股定理得半径为：； （3）解：点E在内部； ， 而， 故点E在内部． 18．(1) (2)见解析 【分析】此题考查了垂径定理、内切圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）连接，证明，则是等边三角形，得到，点O是的内心，求出，即可得到内切圆的面积； （2）连接，根据（1）中的结论求出，即可证明． 【详解】（1）解：连接， ∵是圆O直径，圆O周长为， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵是圆O直径，弦， ∴，垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，点O是的内心， ∴， ∴ ∴内切圆的面积为； （2）如图，连接， ∵是等边三角形， ， ∴，， ∴， ∵点O是的内心， ∴， ∴ ∴． 19．(1)； (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出，可求出R，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，根据三角形内切圆的性质可得四边形是正方形，从而得到，可求出r，即可； （2）作点H关于的对称点，连接，过点D作于点E，交于点F，过点E作于点G，则，，可得的最小值为的长，当时，最小，此时当点M与点E重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质可得，设，则，可得，在中，，可求出x的值，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴的外接圆半径； 如图，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，作点H关于的对称点，连接，过点D作于点E，交于点F，过点E作于点G，则，， ∴， ∴的最小值为的长， 当时，最小，此时当点M与点E重合，即的最小值为的长， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键． 20．(1)； (2)的内心和外心之间的距离； (3)为定值，，理由见解析． 【分析】（）根据题意得，又四边形是圆内接四边形，则，再通过即可求解； （）连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，再通过垂径定理得，设半径为，则，又是的内心，则，通过，求出，最后由线段和差即可求解； （）连接，，，，，设与交于点，证明是等边三角形，，在中，由勾股定理得，求出，，然后根据圆内接四边形和邻补角定义得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的对称点恰巧落在圆上， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点， ∵点、、在一条直线上， ∴， ∴，， ∴由勾股定理得：， 设半径为， 由勾股定理定理：， ∴， ∴， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴的内心和外心之间的距离； （3）解：为定值，，理由， 如图，连接，，，，，设与交于点， 由（）得：， ∵是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，． 学科网（北京）股份有限公司 $$