27.2.3 相似三角形应用举例-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

第 二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例 学习目标 能运用三角形相似知识解决求不能直接测量物体的长度和高度等实际问题. 学习重难点 难点 重点 运用相似三角形的知识计算不能直接测量物体的长度和高度. 正确建立相似三角形模型. 问题1 如图，若△ABC∽△A'B'C'，已知AB=2，BC=3，A'B'=3，求B'C'的长. 已知两个相似三角形的相似比，可以由一个三角形的边求另外一个三角形中的对应边. A' B' C' A B C 问题1 在实际生活中楼的高度、旗杆的高度、河流的宽度等无法直接测量，联想相似三角形的知识能不能找到测量方法. 构造两个相似三角形，使要求长度的线段称为其中一个三角形的一条边，使其他的边可测量. 典型例题（测量高度） 例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO=∠EDF. 又∠AOB=∠DFE=90°, ∴△ABO∽△DEF. ∴ 　　=　　 . ∴BO =　　　 =　　　 =134（m）. 因此金字塔的高度为 134 m. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 思考 怎样测出OA的长？ 金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和. 练一练 1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？ 解得x = 54， 解:设这栋高楼的高度为x，则 即这栋高楼的高度为54 m. 归纳总结 求不能直接测量物体的高度的实际问题，可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解. 1.通过太阳光线构造：△ABC∽△DCE. 构造相似三角形 2.通过视线构造：△AEH∽△CEG. 3.利用光的反射构造：△ABO∽△CDO. 典型例题（测量宽度） 例2　如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m， 请根据这些数据，计算河宽 PQ. 解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P， ∴△PQR∽△PST. ∴ ， 即　　　　　 ， , PQ×90=（PQ+45）×60. 解得PQ=90（m）. 因此河宽大约为 90 m. 已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m， 请根据这些数据，计算河宽 PQ. 练一练 2.如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB. 解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC, ∴△ABD∽△ECD. ∴ , 即 ， 解得AB=100（m）. 归纳总结 求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解. 1.A字型. 2.X字型. 典型例题（视线遮挡） 　　例6　如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端 C 了？ 解：如图（2），假设观察者从左向右走到E点时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上. ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK. ∴ ， 即 . 解得EH=8（m）. 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边较低的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶点 C . AB =8 m， CD=12 m，BD=5 m，眼睛距地面估计1.6 m． 课堂小节 对于利用相似三角形求不可测的高度、宽度的问题，要从题目中挖掘相似三角形，判定两个三角形相似，再利用相似三角形的性质解题. 相似三角形的实际应用 一般构建相似的直角三角形． 课后作业 完成P42习题9，10； 完成练习册本课时的习题. 19 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$