27.2.1 相似三角形的判定（第3课时）-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

第 二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1相似三角形的判定（第3课时） 学习目标 1．理解三角形相似的一个判定定理和直角三角形相似的判定方法； 2．会利用三角形相似的判定定理解决简单问题. 学习重难点 难点 重点 三角形的一个判定定理； 直角三角形相似的判定方法； 运用三角形相似的判定定理解决简单问题. 运用判定定理解决简单问题. 观察下图，老师用的三角尺和学生用的三角尺，有同样两个锐角（30°与60°,或45°与45°）的两个三角尺大小不同，但它们看起来是相似的. 知识点1 由两角判定三角形相似 问题1 两个三角形有两个角分别相等，两个三角形一定相似吗？ A C' B' C B ∠A=∠A,∠ABC=∠ABC 画一画，量一量 探究 两个三角形相似 归纳总结 A' B' C' A B C ∠A＝∠A'，∠B＝∠B' △ABC ∽ △A'B'C' 两角分别相等的两个三角形相似． 一般的，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理． 证明方法与前面两个定理的证明方法类似，试一试，如何完成证明． 如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，求证△ABC∽△A′B′C′. B A C A′ B′ C′ D E 证明：在AB上截取A′D=AB， 作DE∥B′C′交A′C′与点E， 则△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′， ∵∠B=∠B′ ，∴∠B=∠A′DE . ∵A′D=AB， ∠A=∠A′ ， ∴△ABC≌△A′DE.∴△ABC∽△A′B′C′. 典型例题 例 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长. 解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90° 又∵∠C=90°,∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC. ∴ , ∴ . 知识点2 直角三角形相似的判定方法 两边成比例且夹角相等； 两角分别相等 有一组直角相等 两组直角边成比例； 一个锐角相等 任意三角形相似 直角三角形相似 问题2 由任意三角形相似的判定能得到哪些直角三角形相似的判定方法？ 问题3 我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°， ， 求证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 分析：要证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 可设法证 . 若设 ，则只需证 . 事实上，这两个直角三角形相似.下面给出证明. 证明：设 ， 则AB=kA'B'，AC=kA'C'. 由勾股定理，得 . ∴ ∴ . ∴Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'. 归纳总结 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例，那么这两个直角三角形相似. 1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论. 解：（1）相似（2）相似 都符合两个角对应相等的两个三角形相似. 练一练 练一练 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证： （1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC. 证明：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°. ∴∠ADC=∠ACB， 在△ACD和△ABC中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB， ∴△ACD∽△ABC. （2）∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°. ∴∠ACB=∠CDB. 在△CBD和△ABC中， ∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB， ∴△CBD∽△ABC. （2）△CBD∽△ABC. 3.如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC. 证明：∵AB=AC，∠A=36°, BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC. 在△ABC和△BDC中, ∠A=∠DBC，∠C=∠C. ∴△ABC∽△BDC. 课堂小节 1.用两角判定三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似． 2.直角三角形相似的判定方法： （1）如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似． （2）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例，那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的判定 （1）平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）三边：三边成比例的两个三角形相似． （3）两边及夹角：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． （4）两角：两角分别相等的两个三角形相似． （5）直角三角形的特殊判定：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例，那么这两个直角三角形相似. 课后作业 完成P42习题7 完成练习册本课时的习题. 19 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$