第二十章 一次函数重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

第二十章 一次函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第二十章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题3分，共18分） 1．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和速度 C．圆的周长和半径 D．三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 3．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，一次函数（k，b是常数，）的图象，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·上海·阶段练习）为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（   ） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 6．（2024·上海嘉定·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点．则下列结论不正确的是（    ） A．反比例函数的表达式为 B．一次函数的表达式为 C．当时，自变量的取值范围为 D．线段与线段的长度比为 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题3分，共36分） 7．（23-24八年级下·上海青浦·期中）函数， 8．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）直线在y轴上的截距是 ． 9．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位得到直线． 10．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）当 时，函数是一次函数． 11．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 12．（24-25八年级下·上海·单元测试）如图，将一个长方形放置在直角坐标平面内，，，是的中点，反比例函数图象过点且和相交于点，那么四边形的面积是 ． 13．（2024·上海·模拟预测）已知直线过和，则关于的不等式的解集是 ． 14．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一次函数，随的增大而增大，且，则直线不经过第 象限． 15．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 16．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 17．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 ． 18．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 三、解答题（7小题，共66分） 19．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如果是正比例函数，且y随x的增大而减少，求m的值． 20．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象过点和点， (1)求与的值； (2)判定是否在此直线上？ 21．（23-24八年级下·上海普陀·期中）已知：一次函数的图像经过点且与直线平行． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求在这个一次函数的图像上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 22．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 23．（2024·上海宝山·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点． (1)求和的值． (2)直线，与轴围成的三角形面积为___________． (3)的解集为___________． 24．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 25．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边和分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图像与、分别交于点、，连接．     (1)如图1，连接、，当的面积为2时， ① ； ②求的面积； (2)如图2，连接交于点，求证：点是线段的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十章 一次函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第二十章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题3分，共18分） 1．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数，其中常数、， ∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和速度 C．圆的周长和半径 D．三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．根据正比例函数的定义解决此题． 【详解】解：A．设正方形的边长为，面积为，则，那么与不成正比例关系，故A不符合题意； B．设时间为，速度为，则，那么与成反比例关系，故B不符合题意； C．设圆的周长为，圆的半径为，则，那么与是正比例关系，故C符合题意 D．设三角形的面积为，它的一条边长与这条边上的高分别为与，则，那么与是反比例关系，故D不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的性质．由正比例函数与反比例函数的图像和性质知，，时，随的增大而增大，反之随的增大而减小；中应在每个象限内讨论增减性． 【详解】解：A、中， ， 在每个象限内，随的增大而减小，不符合题意； B、中， ， 随增大而增大，符合题意； C、中， ， 随增大而减小，不符合题意； D、， ， 在每个象限内，随的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，一次函数（k，b是常数，）的图象，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键． 结合函数图象，直接写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：结合函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：B． 5．（24-25八年级下·上海·阶段练习）为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（   ） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获得所需信息是解题关键．根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，即可判断选项A；利用待定系数法解得当时和时，关于的函数解析式，再将代入并求值，即可确定第12分钟时，教室内的含药量，即可判断选项B；将代入并求值，可知第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，即可判断选项C；若，分别求得和阶段的值，可求得教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间，即可判断选项D． 【详解】解：根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小， 故选项A正确，不符合题意； 当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以此阶段关于的函数解析式为， 当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以此阶段关于的函数解析式为， 故当时，可有（毫克/立方米）， 即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意； 当时，可有（毫克/立方米）， 即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意； 当时，若，可得，解得（分钟）， 当时，若，可得，解得（分钟）， 则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为分钟，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 6．（2024·上海嘉定·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点．则下列结论不正确的是（    ） A．反比例函数的表达式为 B．一次函数的表达式为 C．当时，自变量的取值范围为 D．线段与线段的长度比为 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，利用图象法比较两个函数的大小，以及一次函数与坐标轴交点，勾股定理求两点间距离，体现了数形结合思想．根据相关知识求解，并判断，即可解题． 【详解】解：反比例函数过点， ， 反比例函数的表达式为， 故A项正确，不符合题意； 反比例函数过点， ，解得， 即， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； 故B项正确，不符合题意； 由图知，当时，自变量的取值范围为， 故C项正确，不符合题意； 当时，，解得， ， ，， 线段与线段的长度比为， 故D项错误，符合题意； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题3分，共36分） 7．（23-24八年级下·上海青浦·期中）函数， 【答案】14 【分析】本题考查求一次函数的值，熟练掌握代入求值是解题的关键． 根据解析式代入计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：14． 8．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）直线在y轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查截距的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 一条直线与y轴交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，依据定义即可求解． 【详解】解：当时，，∴截距为， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位得到直线． 【答案】 上 4 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 根据平移规律“上加下减”，即可求解． 【详解】解：设平移后解析式为， 则，解得，因此确定为向上平移4个单位， 故答案为：上，4． 10．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）当 时，函数是一次函数． 【答案】/不等于0 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可求解． 【详解】函数是一次函数， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·上海·单元测试）如图，将一个长方形放置在直角坐标平面内，，，是的中点，反比例函数图象过点且和相交于点，那么四边形的面积是 ． 【答案】3 【分析】先求得点E坐标，然后求出反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．此题主要考查了待定系数法求函数解析式的方法以及借助坐标求图形面积的方法． 【详解】解：如图，连接，． ∵将一个长方形放置在直角坐标平面内，，，是的中点， ∴，， 设反比例函数解析式是， 把点坐标代入，得， 则反比例函数的解析式是； 把，代入， 得，即． 则四边形的面积矩形的面积的面积的面积． 故答案为：3． 13．（2024·上海·模拟预测）已知直线过和，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，根据题意可得随的增大而增大，据此即可求解. 【详解】解：∵点和在直线上， ∴随的增大而增大， ∵点是直线与轴的交点， ∴关于的不等式的解集是：， 故答案为： 14．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一次函数，随的增大而增大，且，则直线不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的性质；根据一次函数的性质和图象，即可求解． 【详解】解：∵一次函数，随的增大而增大，且， ∴， ∴函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 15．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 【答案】12或 【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【详解】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是或． 故答案为：12或． 16．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数规律探索、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质和一次函数的性质求解即可，熟练掌握等腰三角形的性质和一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，过点作轴交直线于点， ∴， ∴，即的面积， ∵， ∴， ∵过点作轴，分别交直线和于，两点， ∴， ∴，即的面积， 依次类推，，即的面积， ，即的面积， …， ∴，的面积， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据“直线的截距等于1，”计算求出b值，然后代入点即可得解． 【详解】解：直线的截距等于1， ， 直线经过点， ，解得， 这条直线的表达式是， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题． 【详解】， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 三、解答题（7小题，共66分） 19．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如果是正比例函数，且y随x的增大而减少，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义及其增减性，熟记相关函数结论是解题关键． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 即：， ∵y随x的增大而减少， ∴ 即： 综上所述： 20．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一次函数的图象过点和点， (1)求与的值； (2)判定是否在此直线上？ 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征． （1）先把点和点代入，得到关于k、b的方程，然后解方程组即可； （2）把代入（1）中的一次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 【详解】（1）解：把点和点代入，得 ， 解得； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 当时，， 所以点在直线上． 21．（23-24八年级下·上海普陀·期中）已知：一次函数的图像经过点且与直线平行． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求在这个一次函数的图像上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）横坐标的取值范围是小于的一切实数 【分析】（1）根据两直线平行可知，再将点A（1，3）代入可得直线解析式； （2）由于位于轴的上方的点其纵坐标都大于0，所以得到，解此不等式即可． 【详解】（1）∵直线与直线平行， ∴， ∵直线经过点， ∴． 解得． ∴这个一次函数的解析式为； （2）∵所求的点在直线上且位于轴上方， ∴． 解得， 即所有这样的点的横坐标的取值范围是小于的一切实数． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，根据两直线平行得到两直线的斜率相等是关键． 22．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 23．（2024·上海宝山·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点． (1)求和的值． (2)直线，与轴围成的三角形面积为___________． (3)的解集为___________． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）先把C点坐标代入中可求得a的值，然后把C点坐标代入中可求得k的值； （2）先解方程可得到B点坐标，然后利用三角形面积公式计算直线，与轴围成的三角形面积； （3）结合图象，写出两函数图象在轴上方(含B点)且直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解:把代入得 , 解得： 把代入得， 解得 （2）解：由（1）可得直线的解析式为，直线的解析式为 当时, 解得, 点坐标为 直线与与轴围成的三角形面积为： （3）解：结合图象, 的解集为 【点睛】此题考查了一次函数解析式，函数图像与坐标轴交点问题，直线围成的图形面积问题，解不等式问题，利用数形结合思想是解题关键． 24．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标是或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积． （1）设，过A作于H，等腰直角三角形的性质得到，求得，把代入得即可得到结论； （2）根据双曲线上一点D的纵坐标为8，得到，如图，过D作轴于G，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么的面积就应该是四边形面积的四分之一即3．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出的面积，由于的面积为3，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：设， 过A作于H， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 把代入得，， ∴； （2）解：∵双曲线上一点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作轴于G， 则， ∴的面积=四边形的面积； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为且， 得， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图， ∵， ∴． ∴． ∴（舍去）， ∴； 若，如图， ∵， ∴． ∴， 解得（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 25．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边和分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图像与、分别交于点、，连接．     (1)如图1，连接、，当的面积为2时， ① ； ②求的面积； (2)如图2，连接交于点，求证：点是线段的中点． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件得到，，，结合的面积为2求出点的坐标．①将点的坐标代入可求解，②由反比例函数求得，，，利用矩形和三角形的面积公式求解； （2）设直线的解析式为，将点代入求得解析式，设直线的解析式为，将和的坐标代入求得解析式，将两条直线的解析式联立组成方程组求出交点的坐标，再用两点间距离公式求出和即可求解． 【详解】（1）解：矩形的边和分别在坐标轴上，且，， ，，． 当的面积为2时， ， ， ， ． ①将点点的坐标代入中 ， ． ②由①得反比例函数解析式为， 是矩形边与反比例函数的交点， ， ，， ． （2）解：设直线的解析式为， 将点代入得， ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为， 将和的坐标代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 由两条直线解析式组成方程组为， 解得， 直线和直线的交点． ，， ， ， ， 点是线段的中点． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，一次函数解析式的求法，反比例函数解析式的求法，二元一次方程组，三角形面积公式，求出解析式是解答关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$