广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高二上学期数学竞赛试卷

潮阳实验学校2024一2025年度第一学期高二数学竞赛试题 考试时间：100分钟(19：10一20：50)满分：120分 一、填空题（共8小题，每题8分，共64分） 1.已知a.5,是平面向量，a是单位向量若非零向量ā与的夹角为，向量6满 足2-16.6+63=0，则a-的最小值是 2.已知正四面体A-BCD的棱长为6，E是棱AB的中点，F是棱CD上一动点， 若P在4F上，使得P与平面ACD所成的角为，则线段CP的长度的最小值 是 3.如图，已知点A(2,0),点B为圆0Q:x2+y2=9上的动点，若圆0：x2+y2=1上存 在一点M,使得M⊥BM,则A的取值范围是」 4.已知椭圆C:号+芳1>b>0叭，R,R分别是椭圈C的左、右焦点=2， 若精圆上存在点P,满足响响片，则椭圆C的离心率的取值范围为 5.已知球O的表面积为16π，正四面体ABCD的顶点B,C,D均在球O的表面上， 球心O为△BCD的外心，棱AB与球面交于点P若A∈平面a%,Be平面a,C∈平面 马，De平面a4,ag11a(=1,2,3)且a与a(i=l,2,3)之间的距离为同一定值，棱 AC,AD分别与a交于点2，R,则cos∠P2R的值为一 6.在四面体ABCD中，点M,N分别为△BCD,△ABC的重心，过M作直线与棱 BD,CD交于点E,F,已知DB=DE,DC=DF,则A+u=.,-若四面体ABCD 的体积为3，则四棱锥N-BCFE的体积最大值为 试卷第1页，共4页 扫描全能王创建 7如图。椭圆号+卡-a>b>0与双曲线后-片=m>0>0有公共焦点 F(-c,0),F(c0(c>0),椭圆的离心率为g,双曲线的离心率为%，点P为两曲 线的一个公共点，且∠RPR=60°，I为△FPF的内心，F,L,G三点共线，且G币.币=0， x轴上点A,B满足万=严，BG=4G币，则%2的最小值为；5+止的最 小值为 8.如图，已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为1，过其底面中心O作动平面a,交 线段P心于点，交P4,烟的延长线于4，N两点则六+- 试卷第2页，共4页 扫描全能王创建 二、解答题（共3小题，第9题16分，第10、11题各20分，共56分） 9.如图，在三棱柱ABC-ARG中，底面是边长为2的等边三角形，CC=2,D,E 分别是线段AC,CC的中点，C在平面ABC内的射影为D, I)求证：4C⊥平面BDE: (2)若点F为线段RG上的动点（不包括端点），求平面FBD 与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 10.极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之 作《圆锥曲线论稍》中正式阑述的.对于椭圆+片-1>b>0),极点P6(不 是坐标原点)对应的极线为，：等+学=1.已知椭圆芳+发=1a>b>0)的 长轴长为6反，左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合，对于椭圆E,极点P60） 对应的极线为，过点P的直线I与椭圆E交于M,N两点，在极线，上任取一 点2，设直线M坦，Ng,Pg的斜率分别为k,k,k(k,k,k均存在)· (1)求极线，的方程； (2)求证：k+k=2k: (3)已知过点2且斜率为2的直线与椭圆E交于A,B两点，直线PA,PB与椭圆E 的另一个交点分别为C,D,证明直线CD恒过定点，并求出定点的坐标. 试卷第3页，共4页 扫描全能王创建 1.如图，在平面直角坐标系x0中，该点M(化，)是精圆C:苦+y=1上一点，从原点0 向圆M:(x-x)'+(y-)广=2作两条切线分捌与椭圆C交于点P,2直线oP、00的斜 率分别记为片，k: -1 (I)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程： 口洁，，求证，为定信并求出该定值 (3)在(2)的情况下，求1OP|O01的最大值. 试卷第4页，共4页 扫描全能王创建