第13讲 一次函数的应用（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第13讲 一次函数的应用（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之几何问题 题型六 一次函数应用之体积问题 题型七 一次函数应用之新定义问题 题型八 一次函数应用之存在性问题 题型九 一次函数应用之动点问题 题型十 一次函数应用之最值问题 题型十一 一次函数应用之其他问题 知识点01 理解一次函数的基本形式 掌握一次函数的定义，即形如 y = ax + by=ax+b 的线性关系，其中 aa 和 bb 为常数，分别代表斜率和截距。 了解一次函数图像的特点，例如，当 a > 0a>0 时，函数图像是上升的；当 a < 0a<0 时，函数图像是下降的。 知识点02利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 知识点03 一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 知识点04 选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 知识点05 利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 知识点06 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 【核心考点一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（2024·上海徐汇·三模）刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【例3】（2024·上海青浦·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【例4】（2024·上海闵行·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【例5】（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【核心考点二 一次函数应用之最大利润问题】 【例1】（24-25八年级下·上海徐汇·开学考试）红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【例2】（24-25八年级下·上海静安·期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与（盒）之间的函数关系式． (2)如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ 【例3】（24-25八年级下·上海长宁·开学考试）奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【例4】（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）4月23日是世界读书日，某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，这两类图书的进价和售价如下表： 类型 进价（元本） 售价（元本） 36 38 45 50 该书店计划用4500元购进这两类图书（每类图书都要购进），设购进类图书本，类图书本． (1)求关于的函数关系式； (2)进货时，类图书的购进数量不少于60本，若书店全部售完这些图书可获利元，求关于的函数关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期中）为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下： 饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 200 乙 300 已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同． (1)求的值； (2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件． ①求销售完这两种饰品的最大利润； ②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【核心考点三 一次函数应用之行程问题】 【例1】（24-25八年级下·上海松江·期中）如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？ 【例2】（24-25八年级下·上海宝山·期中），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 【例3】（23-24八年级下·上海金山·期末）近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，锻炼健身逐渐成为了一新风尚．浉河沿岸环河公园（如图1）是一个风景秀美的开放型“体育场”， 在蓝天碧水、绿树成荫中享受骑行魅力．城市骑行，不仅可以锻炼身体，享受户外，还可以发现更多城市美好，周末甲、乙两人相约从沿河绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图2所示． (1)当和时，乙骑行的速度分别是 和 ； (2)当和时，求与之间的函数表达式； (3)通过计算说明，何时甲骑行在乙的前面？ 【例4】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多久能充满，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计如下两组实验． 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量(%)与充电时间t(小时)的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量(%)与行驶里程(千米)的关系，数据记录如表1． 表1：汽车行驶过程 已行驶里程(千米) 电量(%) 【建立模型】（1）结合表1的数据求出仪表盘显示电量(%)与行驶里程(千米)之间的函数表达式； 【解决问题】（2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车平均每小时行驶千米，行驶小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间? 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期中）下面是某项目化学习小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题． 【项目主题】品味经典． 【童话故事】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到了终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达了终点 【分组探究】 A组成员用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，y1、y2分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1.    根据图1回答下列问题 问题1：赛跑的全程是 米，乌龟比兔子早到达终点 分钟； 问题2：乌龟在这次比赛中的平均速度是 米／分钟： 问题3：试解释图中线段的实际意义： B组成员对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和A组的数据一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，小组成员根据故事情节绘制如图2的图象．    问题4：图2中，自变量x表示兔子和乌龟所行的时间，因变量、表示所行的路程，在乌龟行进过程中，当乌龟和兔子相距100米时，自变量x是多少？ 【核心考点四 一次函数应用之工程问题】 【例1】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）甲、乙两个工程组同时挖掘济枣高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了 天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）翔志琼公司修筑一条公路，开始修筑若干天以后，公司抽调了一部分力量去完成其他任务，所以施工速度有所降低．修筑公路的里程y（千米）和所用时间x（天）的关系用下图所示的折线OAB表示，其中OA所在的直线是函数y=0.1x的图象，AB所在直线是函数y=x+2的图象． （1）求点A的坐标； （2）完成修路工程后，公司发现如果一直按开始的速度修筑此公路，可提前20天完工，求此公路的长度． 【例3】（2024·上海虹口·二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工完成此项工程多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若由甲队先施工天，再由甲、乙两队共同施工天，正好完成该工程，请直接写出与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若每天需支付甲队费用1000元，每天需支付乙队费用2000元，且完成工作总天数不超过24天，则如何安排甲队先施工天数，使总施工费用最少，并求出最少费用． 【例4】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作基地农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？ (3)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【例5】（23-24八年级下·上海·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 【核心考点五 一次函数应用之几何问题】 【例1】（23-24八年级下·上海虹口·期中）直线交x轴于点，交轴于点，与直线交于点C． (1)求交点的坐标； (2)直接写出当取何值时． (3)在轴上取点使得，求的面积． 【例2】（23-24八年级下·全国·期末）已知函数 与 的图象相交于点，如图． (1)求出两个函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【例3】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点 (1)求直线的函数表达式； (2)点为轴上一点，若的面积为12，求点的坐标． 【例4】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，边在x轴上，已知点，，点P是边所在直线上一点，过点P分别作于点D，于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)设点P的横坐标为m， ①当点P在边上时，求四边形的周长（用含m的代数式表示）； ②关于B，C，D三点，当其中一点是另外两点构成线段的中点时，请直接写出四边形的周长． 【例5】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【核心考点六 一次函数应用之体积问题】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）酒精的体积与温度之间的关系在一定范围内近似地符合一次函数关系．现测得一定量的酒精在时的体积是，在时的体积是 (1)估算这些酒精在时的体积（精确到）． (2)如果用容积为的容器来盛这些酒精，为了不使酒精溢出，酒精的温度应保持在多少摄氏度（精确到）？ 【例2】（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）科学家探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强随温度t（℃）变化的函数解析式是，其图象为如图所示的射线． (1)根据图象求出上述气体的压强p与温度t的函数解析式； (2)当压强时，求上述气体的温度． 【例3】（23-24八年级下·上海长宁·期末）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 【例4】（23-24八年级下·上海青浦·期末）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止． (1)写出水池中水的体积V(m3)与进水时间t(h)之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)当t=0时，求V的值；当V=70时，求t的值； (3)请在下列平面直角坐标系中画出这个函数的图像． 【例5】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头．小明同学做了水龙头漏水实验，每隔10秒观查量筒中水的体积，记录的数据如表（漏出的水量精确到1毫升），已知用于接水的量筒最大容量为100毫升． 时间t（秒） 10 20 30 40 50 60 70 量筒内水量v（毫升） 4 6 8 10 12 14 16 （1）在图中的平面直角坐标系中，以（t,v）为坐标描出上表中数据对应的点； （2）用光滑的曲线连接各点，你猜测V与t的函数关系式是______________． （3）解决问题： ①小明同学所用量筒开始实验前原有存水 毫升； ②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时，所需时间是_____秒； ③按此漏水速度，半小时会漏水 毫升． 【核心考点七 一次函数应用之新定义问题】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）定义：一次函数与（a，b为常数且）叫做一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是______； (2)若，一次函数与它的交换函数的图象交于点P． ①求点P的横坐标； ②两个函数图象与y轴的交点分别为点A和点B，求的面积（用含b的代数式表示）． 【例2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）定义：我们称与为孪生函数． (1)如果与为孪生函数，求a，b的值． (2)如图，已知过点的孪生函数图象与x轴围成的的面积是12，求满足条件的孪生函数． 【例3】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 若关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求出该方程的衍生点M的坐标； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点，且与相交于点C，在（2）中求得的点M在的内部，求m的取值范围． 【例4】（23-24八年级下·上海金山·期末）阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行. 解答下面的问题： （1）求过点P（1，4）且与已知直线y＝－2x－1平行的直线的函数表达式，并画出直线l的图象； （2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线：y＝kx＋t ( t＞0)与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式. 【例5】（24-25八年级下·上海宝山·期中）我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k、b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ； ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ． (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与一次函数的图像相交于两点， ①求该一次函数的表达式． ②一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积． ③在一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【核心考点八 一次函数应用之存在性问题】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需要60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需要65元． (1)求甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ (2)设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如表所示： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当时，y与x之间的函数关系式． 【例2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在x轴上，且直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)若在y轴上存在点P使，直接写出点P的坐标． 【例3】（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中满足． (1)填空：________，________； (2)如果在第三象限内有一点，在轴负半轴上有一点，使得的面积与的面积相等，求出点的坐标； (3)在（2）问的条件下，在轴上存在点，使为等腰三角形，求出点的坐标． 【例4】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化．通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系． 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量． (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______． (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，则小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且与交于点． (1)求点和点的坐标 (2)求直线的表达式； (3)在线段上是否存在一点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【核心考点九 一次函数应用之动点问题】 【例1】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为4．    (1)求，，三点的坐标； (2)若动点在线段和射线上运动，当时，求点的坐标． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，点是直线上的一个动点，连接． (1)求和的长； (2)若的面积是面积的，求点的坐标． 【例3】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线．    (1)求直线的表达式； (2)已知点，当时，求点的坐标． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至处停止，记点运动的路程为，三角形的面积为，与的关系如图所示，请回答下列问题：    (1)图2中 ， ； (2)分别求出点在线段，和上运动时与的关系式； (3)当三角形的面积为时，求点运动的路程． 【例5】（23-24八年级下·上海金山·期末）平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在轴上有一动点，过点作直线垂直于轴，交直线于点，交直线于点． ①当时，求的面积； ②当的长为4时，求点的坐标． 【核心考点十 一次函数应用之最值问题】 【例1】（2024·四川泸州·三模）某乡镇果蔬生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，利民超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． (1)该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元，求的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案． (3)在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的取值范围． 【例2】（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【例3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，电阻与温度之间的函数式为． (1)当时，求与之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？ 【例4】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x、y轴的距离中的最大值等于点N到x、y轴的距离中的最大值，则称M，N两点为“等值点”． 下图中的点，点即为“等值点”． (1)已知点C的坐标为． ①在点中，是点C的“等值点”的是点 ；（填D、E或F） ②若点与点C是“等值点”，直接写出点G坐标： ； (2)若是一次函数图象上的两点，且M、N为“等值点”，求k的值． 【例5】（23-24八年级下·河南信阳·期末）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … (1)列表，写出表中a，b的值：__________，_________； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (2)观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________． ①函数的图像关于y轴对称； ②当时，函数有最小值，最小值是； ③在自变量x的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大； ④函数与x轴必有两个交点； (3)已知函数的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式的解集． 【核心考点十一 一次函数应用之其他问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图所示为1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都一样．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：cm）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 (1)依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由． (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，则此时碗的数量最大为多少个？ 【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来计算出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.1 (1)y与x的函数关系式； (2)当秤钩所挂物重是6.9斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 【例4】（24-25八年级下·河北保定·期中）藁城宫灯是石家庄藁城著名的特色传统手工艺品，始于东汉、盛于隋唐，因进贡宫廷故名“宫灯”．以造型优美、易于保存等特点驰名中外，李老师计划购进—批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元，两商店售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折卖． 设李老师购买宫灯的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个宫灯，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【例5】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）某地区山峰的高度每增加，气温大约降低，气温和高度的函数关系如图所示． (1)求高度为时的气温； (2)求T关于h的函数表达式； (3)测得山顶的气温为，求该山峰的高度． 【变式训练1 一次函数应用之分配方案问题】 1．（23-24八年级·全国·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 2．（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）国庆期间，鲁能巴蜀中学团委决定组织同学们观看电影《我和我的祖国》，《中国机长》和《攀登者》，小明准备到电影院提前购票．已知三部电影单价之和为100元，计划购买三部电影票总共不超过135张；其中《攀登者》票价为30元，计划购买35张，《中国机长》至少购买25张，《我和我的祖国》数量不少于《中国机长》的2倍粗心的小明在做预算时将《我和我的祖国》和《中国机长》的票价弄反了，结果实际购买三种电影票时的总价比预算多了112元，若三部电影票的单价均为整数，则小明实际购买这三部电影票最多需要花费 元． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 4．（23-24八年级下·云南大理·期末）为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 【变式训练2 一次函数应用之最大利润问题】 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 2．（2024·上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是 元． 3．（24-25八年级下·全国·期末）某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 【变式训练3 一次函数应用之行程问题】 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）甲乙两地相距880千米，一辆汽车平均以每小时110千米的速度从甲地开往乙地，t小时后汽年距离乙地s千米，则s与t之间的关系式为 ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）李叔叔从西安驾车回汉中，全程共，他以的速度匀速行驶．设表示李叔叔行驶的时间，表示李叔叔与汉中的距离． (1)写出y与x之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数． (2)当时，求y的值． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某地出租车计费方法如图，表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答下列问题： (1)该地出租车的起步价是__________元； (2)当时，求y与x之间的函数解析式； (3)若某乘客付出租车车费25元，则这位乘客此次乘出租车__________km． 【变式训练4 一次函数应用之工程问题】 1．（2024·北京东城·二模）两个变量满足的函数关系如图所示．    ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24九年级·安徽阜阳·期中）某工程队承建30千米的管道铺设工程，预计工期为60天，设施工天时未铺设的管道长度是千米，则关于的关系式是 . 3．（2024·贵州黔东南·模拟预测）为稳步推进5G网格建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成的工程，已知甲队每天完成的工程量是乙队的倍；当两队各完成的工程时，甲队比乙队少用天． (1)甲、乙两队每天完成的工程量分别是多少千米? (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工天，则乙队参与施工________天（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若甲队单独施工一天的费用是万元，乙队单独施工一天的费用是万元，且要求两队施工的天数之和不超过天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，施工总费用最少?并求出最少费用. 4．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． (1)前2天乙队平均每天挖管道________米； (2)求段及段所在直线的函数解析式（不写自变量的取值范围）； (3)开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？ 【变式训练5 一次函数应用之几何问题】 1．（24-25八年级下·全国·期末）8个边长为2的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 3．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 4．（24-25八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，正方形的边长为，动点从点出发，在正方形的边上由运动，设运动的时间为，的面积为，与的函数图象如图所示，请回答下列问题： (1)点在上运动时间为 ，在上运动的速度为 ， (2)求出点在上运动时与的函数解析式； (3)当为何值时，的面积为． 【变式训练6 一次函数应用之体积问题】 1．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）下图是一个瓶子盛入某种液体时，总质量（）与所盛液体体积（）的关系图象，请根据图象所提供信息计算空瓶子的质量（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）实验表明，某种气体的体积随着温度的改变而改变，它的体积公式可用计算，已测得当时，体积；当时，，则 ． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知水池中有 800 立方米的水，每小时抽50立方米． (1)写出剩余水的体积V（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式； (2)求出t的取值范围，并画出函数图象； (3)6小时后池中还有多少水？ (4)几小时后，池中还有200 立方米的水？将池中水全部放完，需几小时？ 4．（2024·河北保定·一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离与注水时间之间的函数图象如图2所示． (1)求直线的解析式，并求出容器注满水所需的时间． (2)求正方体铁块的体积． 【变式训练7 一次函数应用之新定义问题】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·海南·阶段练习）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为．已知平面直角坐标系中，点、．若存在点，使得点是一对“斜关点”，点，也是一对“斜关点”，且，则点的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”． (1)已知“分边折叠函数” ①直接写出该函数与y轴的交点坐标； ②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围； (2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为______． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 【变式训练8 一次函数应用之存在性问题】 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广西河池·二模）已知部分鞋子的型号“码”数与鞋子长度“”之间存在一种换算关系如下： 型号/码（设为x） 20 36 42 长度/ （设为y） 15 23 26 这种换算可以用一种函数关系去模拟，通过画图、观察、猜想，得出y与x之间的函数表达式为： ． 3．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图 所示，梯形的上底，下底，，，点M从点C出发向点D移动，连接，，假设阴影部分的面积是y，的长度为x． (1)写出变量y与x之间的关系式； (2)在点M的移动过程中，是否存在阴影部分的面积等于梯形面积的，若存在，求出x的值；若不存在，简单说明理由． 4．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练9 一次函数应用之动点问题】 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（　  　） A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，点P是y轴上的动点，当的周长最小时，的面积是 ． 3．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，高．动点由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设的长为x，的面积为S． (1)请写出S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)当x分别取10，5，3时，计算出相应的S的值． 4．（24-25八年级下·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练10 一次函数应用之最值问题】 1．（23-24八年级下·四川自贡·期末）如图、在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．若点在直线上，点在线段上，则的最大值是（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2024·广东肇庆·二模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线分别与x轴、y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)求（1）中函数的最大值． 4．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）端午节来临之际，某公司组织同型号20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果 A B C 每辆汽车载货量（吨） 8 6 5 每吨水果获利（万元） 0.25 0.3 0.2 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【变式训练11 一次函数应用之其他问题】 1．（24-25八年级下·山西晋中·阶段练习）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额（元）的函数关系如图所示．小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，甲、乙两卡所需费用、（单位：元）与入园次数（单位：次）的函数关系如图所示．当满足 时，． 3．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）高空的气温与距地面的高度有关，某地地面气温为，且已知离地面距离每升高，气温下降，请直接写出该地空中气温与高度之间的关系式，并求距地面处的气温T． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期末）红色景区不仅是历史的见证，也是文化的传承．为了激发学生的爱国情怀和民族自豪感．实验中学王老师带领全班学生去枣园革命旧址参观学习，为了更加清楚的了解革命历史信息，王老师特意请来专业人员为他们讲解，讲解的收费标准为：学生每人5元，成人每人10元．设（名）表示王老师带领的学生人数，（元）表示所需支付的讲解总费用． (1)写出与之间的关系式； (2)当时，求的值． 1．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）某校七年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（　　） A．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟 B．步行的速度是千米/时 C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了分钟 D．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地 2．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）一次函数：和有下列结论： ①当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为3，则； ②当时，函数与函数的图象有两个交点，则； ③当时，图象上有两点（a，b）、（c，d），则； ④直线交于点P（25，10），则方程的解为x=25； 其中正确的结论序号为（　　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 4．（2024·重庆·一模）甲、乙两名同学在一段2000m长的笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（ ） A． B． C． D． 6．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 7．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 8．（2024·北京石景山·二模）某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打 折销售，后四周最多盈利 元． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 ． 10．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则m的取值范围是 ． 11．（24-25八年级下·上海闵行·期中）小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖． (1)小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ (2)写出甲、乙两个商店中，收款（元）关于购买本数（本）的关系式． (3)小明现有24元钱，最多可买多少个本子？ 12．（2024·江苏南京·中考真题）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示． (1)求与函数关系式； (2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？ 14．（2024八年级下·上海·专题练习）已知学生宿舍、便利店、篮球馆依次在同一条直线上，便利店离宿舍，篮球馆离宿舍．小明从宿舍出发，先匀速步行到达便利店买饮用水，在便利店停留，之后匀速步行到达篮球馆，在篮球馆锻炼了后，匀速骑行返回宿舍．如图所示图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 20 60 95 小明离宿舍的距离 ___________        ___________        ___________        ___________        （Ⅱ）填空：小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为 ___________； （Ⅲ）当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅳ）当小明离开便利店时，同宿舍的小杰从宿舍出发，匀速骑行直接前往篮球馆，如果小杰比小明提前到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 15．（2024·吉林长春·一模）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这摞碗的总高度（厘米） 5.5 7 8.5 10 11.5 【建立模型】 （1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律． （2）求与的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度． 【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一次函数的应用（6个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之几何问题 题型六 一次函数应用之体积问题 题型七 一次函数应用之新定义问题 题型八 一次函数应用之存在性问题 题型九 一次函数应用之动点问题 题型十 一次函数应用之最值问题 题型十一 一次函数应用之其他问题 知识点01 理解一次函数的基本形式 掌握一次函数的定义，即形如 y = ax + by=ax+b 的线性关系，其中 aa 和 bb 为常数，分别代表斜率和截距。 了解一次函数图像的特点，例如，当 a > 0a>0 时，函数图像是上升的；当 a < 0a<0 时，函数图像是下降的。 知识点02利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 知识点03 一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 知识点04 选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 知识点05 利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 知识点06 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 【核心考点一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（2024·上海徐汇·三模）刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． 【答案】(1) (2)刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量是千克 【分析】（）根据“不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用”即可解答； （）根据与之间的函数关系式为，令即可解答． 本题考查了一次函数的实际应用，审清题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵刘阿姨所支付的快递费用为元，与之间的函数关系式为， ∴令,则， ∴， 答：刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量是千克． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】(1)，； (2)当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【例3】（2024·上海青浦·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，见解析 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）令，分别求出，，即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 【例4】（2024·上海闵行·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 【例5】（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 【核心考点二 一次函数应用之最大利润问题】 【例1】（24-25八年级下·上海徐汇·开学考试）红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； (2)有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元 【分析】对于（1），设A种树苗的单价，可表示B种树苗的单价，再根据总价等于4000，求出解； 对于（2），先列出不等式组，求出解集，可得方案，然后列出一次函数表示总费用，再根据一次函数的性质得出最低费用即可． 【详解】（1）解：设A种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，根据题意得：， 解得：， ， 答：A种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； （2）解：设购买A种树苗棵，则购买种树苗棵，其中为正整数，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 取20，21，22，23，24，25， 有6种购买方案， 设总费用为元， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为475， 此时， 答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质等，确定等量关系和不等关系是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·上海静安·期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与（盒）之间的函数关系式． (2)如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ 【答案】(1)， (2)选择方案甲更省钱 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意建立函数解析式是关键． （1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可； （2）根据（1）中解析式，求出当时，两个函数的函数值，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ； （2）解：当时， （元）， （元）， ， ∴选择方案甲更省钱． 【例3】（24-25八年级下·上海长宁·开学考试）奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 (2)再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设分别购进款纪念币、款纪念币枚，由题意得：，据此即可求解； （2）设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为，；结合即可求解； 【详解】（1）解：设分别购进款纪念币、款纪念币枚， 由题意得： 解得： ∴购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 （2）解：设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为， 则 ∵ 解得： 又∵随的增大而减小 ∴当时，取最大值，且 此时： 故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 【例4】（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）4月23日是世界读书日，某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，这两类图书的进价和售价如下表： 类型 进价（元本） 售价（元本） 36 38 45 50 该书店计划用4500元购进这两类图书（每类图书都要购进），设购进类图书本，类图书本． (1)求关于的函数关系式； (2)进货时，类图书的购进数量不少于60本，若书店全部售完这些图书可获利元，求关于的函数关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当购进A类图书60本，B类图书52本时书店所获利润最大，最大利润为380元 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意列出函数解析式是关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）根据题意先确定自变量的取值范围，再根据一次函数性质确定最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得 500， ； （2）解：由题意得 ， ，， ， ， 随的增大而减小， 当时，的值最大，为， 此时． 答：当购进类图书60本，类图书52本时书店所获利润最大，最大利润为380元． 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期中）为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下： 饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 200 乙 300 已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同． (1)求的值； (2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件． ①求销售完这两种饰品的最大利润； ②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【答案】(1)a的值为100 (2)①销售完这两种饰品的最大利润为41000元；②m的最大值为40 【分析】（1）由题意：用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论； ②设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴a的值为100； （2）解：①设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元， 由题意得：， 其中， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值y， 答：销售完这两种饰品的最大利润为41000元； ②设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元， 由题意得：， ∵， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y的最小值， 解得：， ∴m的最大值为40． 【核心考点三 一次函数应用之行程问题】 【例1】（24-25八年级下·上海松江·期中）如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？ 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2)货车离甲地的距离是 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键理解题意； （1）根据路程=速度×时间可进行求解函数关系式，然后根据函数关系式可判断是否是一次函数； （2）根据（1）中函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 与之间的关系式是， ∴y是x的一次函数； （2）解：由（1）得：把代入，则有： ； 答：货车离甲地的距离是． 【例2】（24-25八年级下·上海宝山·期中），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 【答案】(1)解析式为；解析式为 (2)小时或小时后，甲乙两人相距 【分析】本题考查的是一次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设解析式为，根据题意经过点， ∴ 解得： ∴解析式为 设解析式为，根据题意经过点 ∴ 解得： ∴解析式为 （2）解：依题意，或 解得：或 ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 【例3】（23-24八年级下·上海金山·期末）近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，锻炼健身逐渐成为了一新风尚．浉河沿岸环河公园（如图1）是一个风景秀美的开放型“体育场”， 在蓝天碧水、绿树成荫中享受骑行魅力．城市骑行，不仅可以锻炼身体，享受户外，还可以发现更多城市美好，周末甲、乙两人相约从沿河绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图2所示． (1)当和时，乙骑行的速度分别是 和 ； (2)当和时，求与之间的函数表达式； (3)通过计算说明，何时甲骑行在乙的前面？ 【答案】(1)； (2) (3)分钟后甲骑行在乙的前面． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，利用待定系数法求解函数关系式是解题的关键． （1）由图象利用速度路程时间可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）可利用甲，乙两人骑行的路程相等列不等式，计算可求解． 【详解】（1）解：当时，乙的骑行速度是：， 当时，乙骑行的速度是：， 故答案为：；； （2）解：当时，， 当时，设， 将，代入上式， ， 解得， ； （3）解：由题意得， 解得． 答：分钟后甲骑行在乙的前面． 【例4】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多久能充满，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计如下两组实验． 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量(%)与充电时间t(小时)的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量(%)与行驶里程(千米)的关系，数据记录如表1． 表1：汽车行驶过程 已行驶里程(千米) 电量(%) 【建立模型】（1）结合表1的数据求出仪表盘显示电量(%)与行驶里程(千米)之间的函数表达式； 【解决问题】（2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车平均每小时行驶千米，行驶小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间? 【答案】（1）；（2）要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电小时 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的实际运用，一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，即可． （1）根据图表，设，把将，代入，解出，，即可； （2）根据题意，先求出满电时行驶小时的路程，再求出剩余电量，假设充电充了小时，应增加电量：；根据题意，求出剩余路程，此时满电状态下剩余电量为，得到应耗电量为，根据，解出，即可． 【详解】解：（1）根据表中数据可以得出仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）之间的函数关系为一次函数，设， 将，代入 ∴得， 解得：， ∴仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）之间的函数解析式为：； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， ∴在服务区未充电前电量显示为， 假设充电充了小时，应增加电量：， ∴再次出发时电量为，剩余路程， ∴满电状态下剩余电量为， ∴应耗电量为， ∴， 解得：． 答：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电小时． 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期中）下面是某项目化学习小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题． 【项目主题】品味经典． 【童话故事】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到了终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达了终点 【分组探究】 A组成员用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，y1、y2分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1.    根据图1回答下列问题 问题1：赛跑的全程是 米，乌龟比兔子早到达终点 分钟； 问题2：乌龟在这次比赛中的平均速度是 米／分钟： 问题3：试解释图中线段的实际意义： B组成员对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和A组的数据一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，小组成员根据故事情节绘制如图2的图象．    问题4：图2中，自变量x表示兔子和乌龟所行的时间，因变量、表示所行的路程，在乌龟行进过程中，当乌龟和兔子相距100米时，自变量x是多少？ 【答案】（1）1200；10；（2）20；（3）兔子在距离起点400米的地方开始睡觉，睡了40分钟；（4）当乌龟和兔子相距100米时，自变量x是15或25 【分析】本题考查一次函数的应用、方程思想： （1）从图象中获取信息即可求解； （2）从图象中获取信息即可求解； （3）从图象中获取信息即可求解； （4）分两种情况：当兔子和乌龟相遇前和当兔子和乌龟相遇后，由此列出方程即可求解； 能从函数图象获取作息是解题的关键． 【详解】解：（1）由图可得： 赛跑的全程是1200米，乌龟比兔子早到达终点分钟， 故答案为：1200；10； （2）（米/分钟）， 答：乌龟在这次比赛中的平均速度是20米／分钟， 故答案为：20； （3）由图得：线段的实际意义是兔子在距离起点400米的地方开始睡觉，睡了40分钟， 故答案为：兔子在距离起点400米的地方开始睡觉，睡了40分钟； （4）由图得： 兔子的速度为：（米/分钟）， 乌龟的速度为：（米/分钟）， 当兔子和乌龟相遇前, 依题意得：， 解得：， 当兔子和乌龟相遇后， 依题意得：， 解得：， 答：当乌龟和兔子相距100米时，自变量x是15或25． 【核心考点四 一次函数应用之工程问题】 【例1】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）甲、乙两个工程组同时挖掘济枣高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了 天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）读图直接写出答案； （2）利用已知两点的坐标，待定系数求出值，写出关系式，根据图上条件标出自变量取值范围； 【详解】（1）由图象可知，甲乙合作共挖掘了天，甲单独挖掘了天，即甲组比乙组多挖掘天. 故答案为:. （2）设乙组停工后关于的函数解析式为：, 把代入得： ，解得 ， ∴函数关系式为：． 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）翔志琼公司修筑一条公路，开始修筑若干天以后，公司抽调了一部分力量去完成其他任务，所以施工速度有所降低．修筑公路的里程y（千米）和所用时间x（天）的关系用下图所示的折线OAB表示，其中OA所在的直线是函数y=0.1x的图象，AB所在直线是函数y=x+2的图象． （1）求点A的坐标； （2）完成修路工程后，公司发现如果一直按开始的速度修筑此公路，可提前20天完工，求此公路的长度． 【答案】（1）（60，6）；（2）此公路的长度为10千米． 【详解】试题分析：（1）点A为折线OA和折线AB的交点，将两个函数解析式联立起来，求出交点坐标即可；（2）将两个函数的时间x分别用里程y表示，再根据题意列方程求解. 试题解析： （1）由题意得：， 解得：， ∴点A的坐标为（60，6）； （2）由y=0.1x，y=x+2得： x=10y，x=15（y－2）， 根据题意得： 15（y－2）－10y=20， 解得y=10. 答：此公路的长度为10千米. 点睛：掌握一次函数的应用. 【例3】（2024·上海虹口·二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工完成此项工程多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若由甲队先施工天，再由甲、乙两队共同施工天，正好完成该工程，请直接写出与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若每天需支付甲队费用1000元，每天需支付乙队费用2000元，且完成工作总天数不超过24天，则如何安排甲队先施工天数，使总施工费用最少，并求出最少费用． 【答案】（1）甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需20天；（2）；（3）当时，元 【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需天，根据工作量相同列方程求解即可； （2）利用甲，乙完成的工作量之和为，列关系式，整理可得答案； （3）利用（2）的结论，根据甲，乙完成的工作时间列出函数解析式，再求解自变量的范围，利用一次函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）设乙队单独完成此项工程需天，则甲队单独完成此项工程需天．根据题意，得 ． 解这个方程，得． 经检验：是所列方程的解． 所以． 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需20天． （2）由题意得： ． （3）设总施工费用元．根据题意，得 ． ∵，∴．解得：． ∵，∴随增大而减小． ∴当时，（元） 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用及利用一次函数求费用的最小值问题，掌握以上知识是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作基地农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？ (3)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是元 (2)那么再次购买了鹰嘴桃斤，水晶梨为斤 (3)w关于n的函数关系式，购买的鹰嘴桃为斤时，商场的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为元，则水晶梨的单价为元，根据“购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元”即可列式计算； （2）设再次购买了鹰嘴桃斤，则水晶梨为斤，根据“再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，”即可列式计算； （3）依题意，得，因为，随着的增大而增大，结合，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得 解得 则（元） 水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是元； （2）解：设再次购买了鹰嘴桃斤，则水晶梨为斤 依题意，得 解得 则（千克） ∴那么再次购买了鹰嘴桃斤，水晶梨为斤； （3）解：∵若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元， ∴购买水晶梨的数量为斤 依题意，得 则随着的增大而增大 ∵经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤 ∴ ∴w关于n的函数关系式 则当时，由最大值，且为 ∴购买的鹰嘴桃为斤时，商场的利润最大，最大利润为元 【例5】（23-24八年级下·上海·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 【答案】(1)180，90，360，900 (2) (3) (4)6（天） 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （3）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （4）根据前三问求出公路总长即可解答． 【详解】（1）解：根据函数图象可得乙工程队每天修路（米）， ∵当修了a（米）时，乙工程队用了2天，甲工程队用了4天， ∴甲工程队每天修路（米）， ∴，， 故答案为：180，90，360，900； （2）解：设甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，将点代入得， ∴甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （3）解：设乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得：， ∴乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （4）解：公路总长为（米）， 甲、乙两工程队从开始就合作施工，每天修路（米）， ∴需要（天）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． 【核心考点五 一次函数应用之几何问题】 【例1】（23-24八年级下·上海虹口·期中）直线交x轴于点，交轴于点，与直线交于点C． (1)求交点的坐标； (2)直接写出当取何值时． (3)在轴上取点使得，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）联立方程组，可求解； （2）结合图象可求解； （3）先求出点P坐标，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：联立方程组可得∶ 解得 点的坐标为． （2）解：如图，当时，． （3）解：直线交x轴于点，交轴于点， 点，点． 在轴上取点使得， ． 点或． 或 ． 或． 【例2】（23-24八年级下·全国·期末）已知函数 与 的图象相交于点，如图． (1)求出两个函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)一个函数的解析式为；另一个函数的解析式为 (2) 【分析】主要考查的知识点为一次函数的图象和性质，函数解析式的求法与三角形面积的计算， （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）先求出点B的坐标，再求三角形面积即可． 【详解】（1）解∶将点代入， 得：， 解得， ∴一个函数的解析式为； 将点代入， 得， 解得： ∴另一个函数的解析式为 （2）令中的， 得， 解得， 即直线与x轴交于点， 即阴影部分的面积为 ． 【例3】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点 (1)求直线的函数表达式； (2)点为轴上一点，若的面积为12，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一次函数与几何图形， 对于（1），先求出点M的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式； 对于（2），设点C的坐标，根据面积相等列出方程，求出解即可. 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， 解得， ∴点. ∵一次函数经过点，点， ∴， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴. 设点，根据题意，得 ， 解得或14， ∴点C的坐标为或. 【例4】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，边在x轴上，已知点，，点P是边所在直线上一点，过点P分别作于点D，于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)设点P的横坐标为m， ①当点P在边上时，求四边形的周长（用含m的代数式表示）； ②关于B，C，D三点，当其中一点是另外两点构成线段的中点时，请直接写出四边形的周长． 【答案】(1)； (2)①m+9；②12或32或40 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法即求函数表达式，矩形的判定，坐标与图形性质，一次函数的性质，解决本题的关键是分类思想的应用． （1）利用待定系数法即可得直线的函数表达式； （2）①表示出、的长，即可得四边形的周长； ②分三种情况写出四边形的周长即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）①∵点P的横坐标为m，直线的解析式为， ∴， ∵，点，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形的周长为； ②∵，，， ∴， 由①知，四边形是矩形， 当D是的中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为； 当C是的中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为； 当B是的中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为； 综上，四边形的周长为12或32或40． 【例5】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)，；，； (2)图见解析；函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）由题意得四边形是矩形，可得，；证可得，即可求解； （2）描点画图即可； （3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，； ，； （2）解：描点画图如下： 由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 （3）解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当时， 【核心考点六 一次函数应用之体积问题】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）酒精的体积与温度之间的关系在一定范围内近似地符合一次函数关系．现测得一定量的酒精在时的体积是，在时的体积是 (1)估算这些酒精在时的体积（精确到）． (2)如果用容积为的容器来盛这些酒精，为了不使酒精溢出，酒精的温度应保持在多少摄氏度（精确到）？ 【答案】(1) (2)及以下 【分析】（1）根据酒精的体积与温度之间的关系在一定范围内近似地符合一次函数关系列出一次函数解析式，再分别代入20和30求出对应体积； （2）由题意可得，，即，求出t的取值范围即可． 【详解】（1）根据题意，设酒精的体积V与温度t之间的关系是为． ∴有， 解之得， ∴． ∴这些酒精在时，即时， 当时，， 当时，， ∴这些酒精在时的体积约在之间． （2）由题意得，， ∴ 解得， ∴应保持在及以下． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，列出一次函数的解析式是解题关键． 【例2】（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）科学家探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强随温度t（℃）变化的函数解析式是，其图象为如图所示的射线． (1)根据图象求出上述气体的压强p与温度t的函数解析式； (2)当压强时，求上述气体的温度． 【答案】(1)； (2)气体的温度是225℃ 【分析】(1)已知函数解析式为，如图可知图象经过的坐标，把坐标代入关系式求出b，k即可得到函数解析式； (2)把p=200代入解析式即可求出气体温度． 【详解】（1）解：由图象可得函数的图象过点A(0，110)，B(25，120)， 可得， 解得k=， ∴函数解析式为：， 答：气体的压强p与温度t的函数解析式为：； （2）解：当p=200×103pa时，由(1)得： ， 解得t=225， ∴气体的温度为225， 答：当压强为200×103Pa时，气体的温度为225． 【点睛】此题主要考查了待定系数法确定函数解析式，利用函数解决实际问题．解题的关键是明确图象过点A(0，110)，B(25，120)． 【例3】（23-24八年级下·上海长宁·期末）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 【答案】（1）2；（2）y＝2x+30；（3）10 【分析】（1）比较第一、二两个量桶可知，放入三个球，水面上升6cm，由此可求放入一个小球量桶中水面升高的高度； （2）根据（1）的结论可知，放入小球x（个）后，量桶中水面的高度，即可得到y与x的一次函数关系式； （3）根据（2）可以得出y＞49，再进行求解即可得出答案． 【详解】解：（1）36-30=6（cm）, 6÷3=2（cm） 故答案为：2； （2）设y＝kx+b，把（0，30），（3，36）， 代入得：， 解得， 即y＝2x+30； （3）由2x+30＞49， 得x＞9.5， 即至少放入10个小球时有水溢出． 【点睛】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． 【例4】（23-24八年级下·上海青浦·期末）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止． (1)写出水池中水的体积V(m3)与进水时间t(h)之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)当t=0时，求V的值；当V=70时，求t的值； (3)请在下列平面直角坐标系中画出这个函数的图像． 【答案】(1)V=10+5t（0≤t≤16）； (2)10；12 (3)见解析 【分析】（1）根据容器中水量的变化情况得出关系式即可； （2）将t=0，V=70代入计算即可； （3）列表法可以画出函数的图象． 【详解】（1）解：由题意，得V=5t+10． ∵5t+10≤90， ∴t≤16． ∵t≥0， ∴0≤t≤16． 答：水的体积V（m3）与进水时间t（h）之间的函数表达式为V=10+5t（0≤t≤16）； （2）解：当t=0时， V=10； 当V=70时，即70=10+5t 解得：t=12； （3）解：列表为 t 0 16 V=5t+10 10 90 描点并连线，这个函数的图像为： ， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值及由函数值求自变量的值的运用，列表法画函数图象的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 【例5】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头．小明同学做了水龙头漏水实验，每隔10秒观查量筒中水的体积，记录的数据如表（漏出的水量精确到1毫升），已知用于接水的量筒最大容量为100毫升． 时间t（秒） 10 20 30 40 50 60 70 量筒内水量v（毫升） 4 6 8 10 12 14 16 （1）在图中的平面直角坐标系中，以（t,v）为坐标描出上表中数据对应的点； （2）用光滑的曲线连接各点，你猜测V与t的函数关系式是______________． （3）解决问题： ①小明同学所用量筒开始实验前原有存水 毫升； ②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时，所需时间是_____秒； ③按此漏水速度，半小时会漏水 毫升． 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）①2；②490，,360． 【分析】（1）根据每个点（t，v）的值作点 （2）根据作图猜测V与t的函数关系是二元一次方程，代入点求解即可得出具体函数关系式 （3）根据V与t的函数关系式，分别得出①②③的解 【详解】解：（1） （2）设 ，分别代入（10,4）、（20,6）求解得 （3） ①令t=0，V=2 ②令V=100，t=490 ③令t=1800，V=362， 【点睛】本题考查了坐标作图、二元一次方程的猜想及证明、代入求解，属于二元一次方程关系式作图类题目 【核心考点七 一次函数应用之新定义问题】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）定义：一次函数与（a，b为常数且）叫做一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是______； (2)若，一次函数与它的交换函数的图象交于点P． ①求点P的横坐标； ②两个函数图象与y轴的交点分别为点A和点B，求的面积（用含b的代数式表示）． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据交换函数的定义作答即可； （2）①先求出的交换函数为：，联立：，即可求解；②先求出一次函数和与y轴的交点坐标为(0,b)、(0,2)，即可得AB=b-2，结合交点P的横坐标为1，以及，即可求解． 【详解】（1）的交换函数为：， 故答案为：； （2）①的交换函数为：， 联立：， 即有：， ∵， ∴， ∴，即， 故交点P的横坐标为1； ②当x=0时，，， ∴一次函数和与y轴的交点坐标为(0,b)、(0,2)， ∵， ∴AB=b-2， ∵交点P的横坐标为1， 又∵， ∴， 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质以及根据一次函数求解其与坐标轴的交点等知识，掌握一次函数的性质以及新定义交换函数的含义是解答本题的关键． 【例2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）定义：我们称与为孪生函数． (1)如果与为孪生函数，求a，b的值． (2)如图，已知过点的孪生函数图象与x轴围成的的面积是12，求满足条件的孪生函数． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据题中所给孪生函数的定义可直接进行求解； （2）由题意易得过点A的李生函数为，进而可得，，然后可求，则，最后代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ，解得， ∴，； (2)由题意得：过点A的李生函数为， 令时，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的表达式为，直线的表达式为， ∴过点A的孪生函数为． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 若关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求出该方程的衍生点M的坐标； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点，且与相交于点C，在（2）中求得的点M在的内部，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程，一次函数的综合应用： （1）计算判别式，得到该方程总有两个不等的实数根即可； （2）因式分解法解一元二次方程得到其两根，从而得到该方程衍生点M的坐标； （3）由，令，，知点M在上直线，由直线与的边交于点，交于点得到，从而得到m的范围． 【详解】（1）解：， ∵， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的衍生点为． （3）∵直线与x轴交于点A， ∴， 由（2）得，， 令，， ∴， ∴点M在直线上，刚好和的边交于点， 令，则， ∴， ∵点M在的内部， ∴； ∴； 【例4】（23-24八年级下·上海金山·期末）阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行. 解答下面的问题： （1）求过点P（1，4）且与已知直线y＝－2x－1平行的直线的函数表达式，并画出直线l的图象； （2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线：y＝kx＋t ( t＞0)与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式. 【答案】（1）y＝—2x＋6，图象见详解： （2）△的面积关于的函数表达式为 【分析】试题分析：（1）设直线l的函数表达式为y＝k x＋b，根据平行的性质可得k＝—2，再根据直线l过点（1，4），即可求得直线l的函数表达式，最后根据描点法即可做出直线的图象； （2）先分别求得直线l分别与y轴、x轴的交点A、B的坐标，再根据l∥，可设直线为y＝—2x＋t，从而表示出C点的坐标为（，0），由t＞0可判断C点在x轴的正半轴上，再分C点在B点的左侧与C点在B点的右侧两种情况结合三角形的面积公式分析即可. 【详解】（1）设直线l的函数表达式为y＝k x＋b. ∵直线l与直线y＝—2x—1平行，∴k＝—2. ∵直线l过点（1，4），∴—2＋b＝4，∴b＝6. ∴直线l的函数表达式为y＝—2x＋6，直线的图象如图： （2）∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B， ∴点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）. ∵l∥， ∴直线为y＝—2x＋t. ∴C点的坐标为（，0）. ∵t＞0， ∴＞0. ∴C点在x轴的正半轴上.   当C点在B点的左侧时，; 当C点在B点的右侧时，. ∴△的面积关于的函数表达式为 【点睛】本题考查一次函数的综合题，本题知识点多，综合性强，难度较大，主要考查学生对一次函数的知识的熟练掌握情况. 【例5】（24-25八年级下·上海宝山·期中）我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k、b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ； ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ． (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与一次函数的图像相交于两点， ①求该一次函数的表达式． ②一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积． ③在一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①3；②1或 (2)）①；②18；③存在，或 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，绝对值的意义，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）①根据题目中给出的函数定义用待定系数法进行求解即可；②根据题目中给出的函数定义分情况用待定系数法进行求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②利用函数与数轴的交点求出，利用三角形面积公式进行求解即可；③先求出的中垂线表达式，与函数解析式联立即可得出结果． 【详解】（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，， ， ②点在这个一次函数的演变函数图象上， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：①3；②1或； （2）解：①将两点代入一次函数， ， 得：， ， 将代入，代入得： 解得： ， ； ②， ， ∵设一次函数与y轴交于点D， ， ， ， ； ③， ∴线段的中点为， 设点， ，， ， 整理得：，即 含点P的直线函数解析式为：， 联立解得：  ， ， 联立解得：  ， ． 【核心考点八 一次函数应用之存在性问题】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需要60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需要65元． (1)求甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ (2)设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如表所示： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当时，y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是10元/件、15元/件 (2)y与x之间的函数关系式为（） 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次函数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键． （1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得关于a、b的二元一次方程组，求解即可． （2）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得： ， 解得：． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10元/件、15元/件． （2）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得： ， 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为（）． 【例2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在x轴上，且直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)若在y轴上存在点P使，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，求一次函数的解析式以及图形面积等知识． （1）由直线与直线关于y轴对称，可得出，再利用待定系数法即可求出直线的函数解析式 （2）设点P的坐标为：，根据三角形的面积公式即可求出y值，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线关于y轴对称， ∴， ∵ ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得： ∴直线的函数解析式为 （2）设点P的坐标为：， ∴， 解得：或， 故点P的坐标为：或． 【例3】（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中满足． (1)填空：________，________； (2)如果在第三象限内有一点，在轴负半轴上有一点，使得的面积与的面积相等，求出点的坐标； (3)在（2）问的条件下，在轴上存在点，使为等腰三角形，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题是三角形的综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质和判定，两点的距离，三角形面积等知识， （1）由非负数性质即得，； （2）设直线交轴于点，根据，列等式可得的长，从而可以得点的坐标； （3）分三种情况讨论：，和，根据坐标与图形的性质和两点的距离公式解答即可． 解题的关键是运用分类讨论的思想解决有关于等腰三角形的问题． 【详解】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，3； （2）如图1，设直线交轴于点， 由（1）知：，， ， ， 三角形的面积， 设直线的解析式为：， ，解得：， 直线的解析式为：， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为； （3），， ， 当为等腰三角形时，存在以下三种情况： ①如图2，， 点B和点Q关于点M横坐标所在直线对称， 点Q的横坐标为：， 点的坐标为； ②如图3，， 点的坐标为或； ③如图4，， 设点的坐标为， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【例4】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化．通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系． 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量． (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______． (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，则小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温（） (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由表格可设函数解析式为，然后代入两个值进行求解即可； （3）根据（2）中解析式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可知在这个变化过程中，气温（t）是自变量； 故答案为气温（）； （2）解：设函数解析式为，由表格得： ， 解得：， ∴传播速度与气温的关系式可以表示为； （3）解：由（2），可知，由题意得： ∴， 所以小乐与燃放烟花所在地大约相距． 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且与交于点． (1)求点和点的坐标 (2)求直线的表达式； (3)在线段上是否存在一点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解题关键． （1）令，，即可求解； （2）将、代入即可求解； （3）设点，分类讨论，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：令，则； ∴ 令，则，得； ∴ （2）解：∵ ∴ 将、代入得： ， 解得： ∴直线的表达式为： （3）解：∵直线的表达式为： ∴ 设点 则： ： ， 解得： ∴ ： ， 解得：（舍）或 ∴ ： ， 解得：（舍）或（舍） ∴综上所述：或 【核心考点九 一次函数应用之动点问题】 【例1】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为4．    (1)求，，三点的坐标； (2)若动点在线段和射线上运动，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）先求出点A的坐标为，再利用待定系数法求出一次函数的解析式为，即可求出点B、C的坐标； （2）先求出，然后分两种情况讨论：当点M在线段上运动时，当点M在射线上运动时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， ∴点A的坐标为， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴点； （2）解：由（1）得：， ∴， 当点M在线段上运动时，设点M的坐标为， ∵， ∴，即， 解得： ， ∴点M的坐标为； 当点M在射线上运动时，设点M的坐标为， ∵， ∴，即， 解得： ， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，点是直线上的一个动点，连接． (1)求和的长； (2)若的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用． （1）分别令，进行求解即可； （2）设点，根据进行求解即可． 正确的求出点的坐标，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，当时，；当时，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 设点， 则：， 解得：， ∴或． 【例3】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线．    (1)求直线的表达式； (2)已知点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)的坐标或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分别表示出即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 、点在直线上， ，解得， 直线的表达式为； （2）解：直线交轴于，， ，， 过点作轴于， ，，， ，， 设点， ，或， 的坐标或 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，一次函数与面积问问题．掌握从点的坐标―线段长度－图形面积的转换时解题关键． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至处停止，记点运动的路程为，三角形的面积为，与的关系如图所示，请回答下列问题：    (1)图2中 ， ； (2)分别求出点在线段，和上运动时与的关系式； (3)当三角形的面积为时，求点运动的路程． 【答案】(1)， (2)；； (3)或 【分析】（1）根据点的运动轨迹，当点运动到点和点时，三角形的面积最大，根据点的运动路程为，与的关系图，可知，，；根据长方形的性质，得出，；再根据三角形的面积公式，求出和； （2）根据点的运动轨迹，当点在上，则是直角三角形，；当点在上运动时，；当点在上运动时，则是直角三角形，，即可； （3）根据三角形面积等于时，分类讨论：①在上运动时，即时，②在上运动时，即，即可． 【详解】（1）∵动点从点出发，沿的方向运动至处停止， ∴当点运动到点和点时，三角形的面积相等且最大， ∴由图可知，当三角形的面积最大时，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴当点运动到点和点时，三角形的面积为：； 当点运动到点时，运动的路程：， ∴； 故答案为：，． （2）由（1）得，，， ∴当点在上，则是直角三角形，， ∴； 当点在上运动时，， ∴； ③当点在上运动时，为直角三角形， ， ∴， ∴． （3）当三角形面积等于时， ∴①在上运动时，即时， ∴， ∴； ②在上运动时，即时， ∴， ∴； ∴点点运动的路程为或． 【点睛】本题考查函数图象与几何的综合，解题的关键是掌握动点问题的函数图象，动点的运动轨迹． 【例5】（23-24八年级下·上海金山·期末）平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在轴上有一动点，过点作直线垂直于轴，交直线于点，交直线于点． ①当时，求的面积； ②当的长为4时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】（1）把点分别代入，，即可求解； （2）①根据题意可得点、点横坐标都为，从而得到点的坐标为，的坐标为，进而得到，即可求解；②分两种情况讨论：若点在点上方，若点在点下方，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点， ，解得， ∴正比例函数的表达式为； 又∵一次函数的图象过点， ， ， ∴一次函数的表达式为； （2）解：①根据题意得：点、点横坐标都为，且点G、F分别在直线，上， ∴点的坐标为，的坐标为， ， ； ②∵点， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， 若点在点上方， ， 解得； ； 若点在点下方， ， 解得， ． ∴当的长为4时，点的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，以及求三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【核心考点十 一次函数应用之最值问题】 【例1】（2024·四川泸州·三模）某乡镇果蔬生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，利民超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． (1)该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元，求的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案． (3)在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的取值范围． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)有种购买方案，方案：购买甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案：购买甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案：购买甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克 (3) 【分析】 （1）根据“该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，根据总价单价数量结合投入资金不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各购买方案； （3）设超市获得的利润为元，根据总利润每千克的利润销售数量可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润每千克的利润销售数量结合捐款后的利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论． 【详解】 解：（1）依题意，得：， 解得：． 答：的值为，的值为． （2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 有种购买方案，方案：购买甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案：购买甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案：购买甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克． （3）设超市获得的利润为元，则． ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为． 依题意，得：， 解得：． 【点评】 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，找出利润最大的购物方案． 【例2】（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【答案】(1)A型产品生产了200件，B型产品生产了300件 (2)利润的最大值是72000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点， （1）根据该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润； 解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【详解】（1）设A型产品生产了m件，则B型产品生产了件， 由题意得：， 解之得：， ， ∴A型产品生产了200件，B型产品生产了300件； （2）由题意得： ， 随若x的增大而增大， 当时，y有最大值72000， 答：利润的最大值是72000元． 【例3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，电阻与温度之间的函数式为． (1)当时，求与之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？ 【答案】(1)当时，y与x的关系式为：； (2)温度x取值范围是． 【分析】（1）设关系为，将代入求k； （2）将分别代入两个函数关系式求出x的值，据此即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为． ∵过点， ∴． ∴当时，y与x的关系式为：； （2）解：对于，当时，得； 对于，当时，得； 答：温度x取值范围是． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 【例4】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x、y轴的距离中的最大值等于点N到x、y轴的距离中的最大值，则称M，N两点为“等值点”． 下图中的点，点即为“等值点”． (1)已知点C的坐标为． ①在点中，是点C的“等值点”的是点 ；（填D、E或F） ②若点与点C是“等值点”，直接写出点G坐标： ； (2)若是一次函数图象上的两点，且M、N为“等值点”，求k的值． 【答案】(1)①E；②或 (2) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解绝对值方程，新定义： （1）①找到x、y轴距离最大为4的点即可得到答案；②根据点到x、y轴的距离中的最大值等于4，求出的值，再根据“等值点”概念进、可得到答案； （2）根据“等值点”概念分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①点C的坐标为到x、y轴的距离中的最大值为4， 到x、y轴的距离中的最大值为5， 到x、y轴的距离中的最大值为4， 到x、y轴的距离中的最大值为2， ∴是点C的“等值点”的是点E； 故答案为：E ②∵点与点C是“等值点”，且， 当时，， 此时， 解得：或4（舍去）， ∴点G坐标为； 当时，， 此时， 解得：或（舍去）， ∴点G坐标为； 综上所述，点G坐标为或； 故答案为：或 （2）解：∵是一次函数图象上的两点， ∴， ∴点， ∵M、N为“等值点”， 若，即时，或， 解得：（舍去）或（舍去）； 若，即或时，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，． 【例5】（23-24八年级下·河南信阳·期末）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … (1)列表，写出表中a，b的值：__________，_________； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (2)观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________． ①函数的图像关于y轴对称； ②当时，函数有最小值，最小值是； ③在自变量x的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大； ④函数与x轴必有两个交点； (3)已知函数的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；；图见解析 (2)①② (3)或 【分析】（1）已知解析式，代入x的值，即可算出对应的y值，即可得出答案； （2）结合图像即可分析函数的对称性、增减性、最值、交点问题； （3）结合图像分析不等式与函数的关系，即可得出结论． 【详解】（1）函数， 令，可得， 故； 令，可得， 故， 故答案为：；． 描点、连线，在画出该函数的图像如下： （2）由函数的图像可得： ①函数的图像关于轴对称，①正确； ②当时，函数有最小值，最小值是，②正确； ③自变量时，函数的值随自变量的增大而增大；自变量时，函数的值随自变量的增大而减小，③错误； ④由于恒成立，故函数的图像与轴不可能有交点，④错误， 故答案为：①②． （3）不等式表现在图像上， 即函数的图像比函数的图像低， 因此观察图像可得到的解集为：或． 【点睛】本题考查了新函数的研究方法，在学习一次函数，反比例函数以及二次函数时的通用方法是本题解题的关键． 【核心考点十一 一次函数应用之其他问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图所示为1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都一样．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：cm）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 (1)依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由． (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，则此时碗的数量最大为多少个？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)碗的数量最多为11个 【分析】（1）考查了一次函数的实际应用，理解与之间的数量关系是解题的关键. （2）根据不超过31.2cm以及依据前问的与之间的函数解析式列出一元一次不等式进行求解即可. 【详解】（1）解： ． 理由：由表中的数据，的增量不变，y的增量也不变， ∴y是的一次函数．设， 由题意得，解得． ∴y与的函数解析式为． （2）设碗的数量有个， 由题意得． 解得． ∴的最大整数解为11． 答：碗的数量最多为11个． 【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】(1)材料加热时，与的函数关系式为；停止加热进行锻造时与的函数关系式为： (2) 【分析】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解，进而得出答案即可． 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得， 解得：， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． ∴材料加热时，与的函数关系式为：， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． （2）解：把代入中， 得， ． 答：锻造的操作时间为． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来计算出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.1 (1)y与x的函数关系式； (2)当秤钩所挂物重是6.9斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 【答案】(1) (2)秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． （1）依题意，设y与x之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入（1）的解析式即可求解． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 根据表中数据有当时，，当时，， ∴， 解得 所以y与x的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得． 答：秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米． 【例4】（24-25八年级下·河北保定·期中）藁城宫灯是石家庄藁城著名的特色传统手工艺品，始于东汉、盛于隋唐，因进贡宫廷故名“宫灯”．以造型优美、易于保存等特点驰名中外，李老师计划购进—批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元，两商店售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折卖． 设李老师购买宫灯的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个宫灯，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选择乙商店比较合算，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）将代入，可以得到相应的y的值，从而可以得到甲商店一张会员卡的价格； （2）根据题目中的数据，可以写出的函数表达式； （3）先写出李老师准备买40个宫灯，选哪个商店比较合算，然后写出理由即可． 【详解】（1）解：, 当时，. 即甲商店一张会员卡的价格为100元， 故答案为： 100； （2）解：根据题意得， 即的函数表达式为：； （3）解：李老师准备买40个宫灯，则选乙商店比较合算， 理由：当时，，， ∵， ∴若李老师准备买40个宫灯，则选择乙商店比较合算． 【例5】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）某地区山峰的高度每增加，气温大约降低，气温和高度的函数关系如图所示． (1)求高度为时的气温； (2)求T关于h的函数表达式； (3)测得山顶的气温为，求该山峰的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用， （1）由题意得，高度增加，则气温降低，列式计算即可求出； （2）设T关于h的函数表达式为，采用待定系数法即可求出； （3）当时，代入解析式即可． 【详解】（1）解：由题意得，高度增加，则气温降低 ， 所以． 所以高度为时的气温大约是． （2）解：设T关于h的函数表达式为，则 ，     解得 所以 T关于h的函数表达式为． （3）解：当时， ， 解得． 答：该山峰的高度大约为． 【变式训练1 一次函数应用之分配方案问题】 1．（23-24八年级·全国·假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 2．（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）国庆期间，鲁能巴蜀中学团委决定组织同学们观看电影《我和我的祖国》，《中国机长》和《攀登者》，小明准备到电影院提前购票．已知三部电影单价之和为100元，计划购买三部电影票总共不超过135张；其中《攀登者》票价为30元，计划购买35张，《中国机长》至少购买25张，《我和我的祖国》数量不少于《中国机长》的2倍粗心的小明在做预算时将《我和我的祖国》和《中国机长》的票价弄反了，结果实际购买三种电影票时的总价比预算多了112元，若三部电影票的单价均为整数，则小明实际购买这三部电影票最多需要花费 元． 【答案】3990 【分析】设《我和我的祖国》和《中国机长》的电影票单价分别为x元和y元，购《我和我的祖国》和《中国机长》的电影票为a张和b张；根据题意得方程即可解决问题； 【详解】解：设《我和我的祖国》和《中国机长》的电影票单价分别为x元和y元，购《我和我的祖国》和《中国机长》的电影票为a张和b张； 由题意：x+y＝70， ∴y＝70﹣x， 根据题意得， 解得：25≤a﹣b≤50， ax+by﹣ax﹣by＝ax+b（70﹣x）﹣a（70﹣x）﹣bx＝ax+70b﹣bx﹣70a+ax﹣bx＝70b﹣70a﹣2bx+2ax＝112 ∴ax﹣bx＝35a﹣35b+56， ∴（x﹣35）（a﹣b）＝56＝2×28， ∴ 解得：， ∴b+28≥2b， ∴b≤28，a≤56， ∴b最大＝28，a最大＝56， ∴这三部电影票最多需要花费 ax+by＝ax+b（70﹣x）+35×30＝ax+70b﹣bx+1050＝ax﹣bx+70b+1050＝35a﹣35b+70b+1050＝35a+35b+1050=35（a+b）+1050≤35×84+1050＝3990， 答：小明实际购买这三部电影票最多需要花费3990元． 故答案为：3990． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数及不等式进行求解. 3．（2024八年级下·上海·专题练习）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 【答案】(1) (2)当时，到甲批发店购买更划算；当时，甲、乙两个批发店购买一样划算；当时，到乙批发店购买更划算 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， 对于（1），甲批发店根据数量乘以单价可得关系式，乙批发店分两种情况：，，可得关系式； 对于（2），分三种情况计算讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 当时，； 当时，， ∴； （2）解：设他在同一个批发店一次购买苹果的数量为，根据题意得， ， 解得 ， 当时，到甲批发店购买更划算； 当时，甲、乙两个批发店购买一样划算； 当时，到乙批发店购买更划算． 4．（23-24八年级下·云南大理·期末）为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1)（，且x为整数） (2)当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键， （1）根据题意，可得函数关系式，根据，即可求自变量取值范围； （2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案． 【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆， 由题意得：， 即与的函数解析式为：， 由题意得：，解得：， 即自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：由（1）得：费用为（，且x为整数） ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最小， 最低为（元）， 答：当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用元． 【变式训练2 一次函数应用之最大利润问题】 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 2．（2024·上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是 元． 【答案】6600 【分析】根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 【详解】解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 3．（24-25八年级下·全国·期末）某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元， 由题意得，， 解得， 答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）解：由题可得，， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ 【答案】(1)x，y的值分别为8，12 (2)不能 【分析】本题主要考查了二元一次方程方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数解析式成为解题的关键． （1）先根据题意列出方程组，然后求解即可； （2）先根据题意列出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得：， ∴x，y的值分别为8，12． （2）解：设甲种水果售出，则乙种水果售出，该平台利润为w元，则 ， ∵， ∴w随m增大而增大， ∵ ∴当时，w最大，且最大值为2400元． ∴每天售完1000kg水果获利无法达到2500元． 【变式训练3 一次函数应用之行程问题】 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发两小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：，解得： 则，故此项不符合题意； D．由上可知，故此项错误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）甲乙两地相距880千米，一辆汽车平均以每小时110千米的速度从甲地开往乙地，t小时后汽年距离乙地s千米，则s与t之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，直接利用总路程行驶的距离距离乙地的距离进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：，t的取值范围是：． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）李叔叔从西安驾车回汉中，全程共，他以的速度匀速行驶．设表示李叔叔行驶的时间，表示李叔叔与汉中的距离． (1)写出y与x之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数． (2)当时，求y的值． 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用．解答关键是理解题意，正确列出函数关系式． （1）根据速度、路程、时间关系列函数关系式，然后利用一次函数定义判断即可； （2）将x=1.5代入（1）中函数关系式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 根据一次函数的定义，可知y是x的一次函数， 与x之间的函数关系式为，y是x的一次函数． （2）解：当时，． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某地出租车计费方法如图，表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答下列问题： (1)该地出租车的起步价是__________元； (2)当时，求y与x之间的函数解析式； (3)若某乘客付出租车车费25元，则这位乘客此次乘出租车__________km． 【答案】(1)7 (2) (3)14 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是7元； （2）设当时，y与x的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论； （3）将代入（2）的解析式就可以求出x的值． 【详解】（1）解：由图象可得，该地出租车的起步价是7元； 故答案为：7； （2）解：设当时，y与x的函数关系式为，代入、得 ，解得， ∴y与x的函数关系式为； （3）解：把代入函数关系式为得， 解得． 答：这位乘客此次乘出租车． 故答案为：14． 【变式训练4 一次函数应用之工程问题】 1．（2024·北京东城·二模）两个变量满足的函数关系如图所示．    ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据函数图象及题意可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，此函数为正比例函数，比例系数为；当时，函数值没有发生变化；当时，y随x的增大而减小，比例系数为，所以通过函数图象可知情境①②符合该函数图象所表示的意义，③不符合； 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数图象所给的信息是解题的关键． 2．（23-24九年级·安徽阜阳·期中）某工程队承建30千米的管道铺设工程，预计工期为60天，设施工天时未铺设的管道长度是千米，则关于的关系式是 . 【答案】 【分析】先求出预计每天的工作量，再根据题意即可列出关系式. 【详解】∵某工程队承建30千米的管道铺设工程，预计工期为60天， ∴预计每天施工0.5千米， 故施工天时，关于的关系式是 故填 【点睛】此题主要考查函数关系式，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式. 3．（2024·贵州黔东南·模拟预测）为稳步推进5G网格建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成的工程，已知甲队每天完成的工程量是乙队的倍；当两队各完成的工程时，甲队比乙队少用天． (1)甲、乙两队每天完成的工程量分别是多少千米? (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工天，则乙队参与施工________天（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若甲队单独施工一天的费用是万元，乙队单独施工一天的费用是万元，且要求两队施工的天数之和不超过天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，施工总费用最少?并求出最少费用. 【答案】(1)甲队每天完成的工程量为，乙队每天完成的工程量为． (2) (3)安排甲队施工天，乙队施工天，总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题考查分式方程，一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意，得到等量关系，列出方程，进行计算，掌握一次函数的图象和性质，即可． （1）设乙队每天完成，则甲队每天完成，根据题意，列出方程，即可； （2）根据题意，甲队参与施工天，得甲队完成的工程量为：，推出乙队完成的工程量为：，再根据工作效率乘以工作时间等于工作总量，即可； （3）设施工的总费用为元，则；根据施工天数总和不超过30天，得；最后根据一次函数的增减性，即可． 【详解】（1）设乙队每天完成，则甲队每天完成 ∴ 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴甲队每天完成的工程量为． 答：甲队每天完成的工程量为，乙队每天完成的工程量为． （2）∵甲队参与施工天， ∴甲队完成的工程量为：， ∴乙队完成的工程量为：， ∴乙队施工的天数为：， 故答案为：． （3）设施工的总费用为元， ∴， ∵施工天数总和不超过天， ∴， ∴， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， ∴（万元）， ∴乙队施工的天数为：， 答：安排甲队施工天，乙队施工天，总费用最少，最少费用为万元． 4．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． (1)前2天乙队平均每天挖管道________米； (2)求段及段所在直线的函数解析式（不写自变量的取值范围）； (3)开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？ 【答案】(1)150 (2)；； (3)4天 【分析】本题考查了一次函数的应用．理解函数图象代表的意义是解决本题的关键，应注意：函数问题也可以用一元一次方程解决． （1）由函数图像可知，乙队2天挖了300米，用即可得出答案． （2）用待定系数法分别求出段及段的解析式即可． （3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】（1）解：米， 故答案为：150． （2）设段的函数解析式为， 把点代入得， 解得：， 段的函数解析式为； 设段的函数解析式为（，b为常数，且）． 将和分别代入， 得 解得 段的函数解析式为； （3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时， 得， 解得． ∴开始挖掘后，4天时甲、乙两队所挖管道长度相同． 【变式训练5 一次函数应用之几何问题】 1．（24-25八年级下·全国·期末）8个边长为2的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质．根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长是解题的关键．设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式． 【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 由此可知直线l经过， 设直线l解析式为， 则，解得：， ∴直线l解析式为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）把，代入求得k的值，结合图象即可求得． 【详解】解：（1）由题意可知点，代入得，， ； 故答案为：； （2）由题意可知，， 把代入得， ，解得； 把代入得， ，解得； 由图象知与矩形的边有两个公共点， 或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，令．求出的值；再令求出的值，即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则； 令则， （2）解：由（1）知，， ， 的面积为10， ． 即， 或． 4．（24-25八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，正方形的边长为，动点从点出发，在正方形的边上由运动，设运动的时间为，的面积为，与的函数图象如图所示，请回答下列问题： (1)点在上运动时间为 ，在上运动的速度为 ， (2)求出点在上运动时与的函数解析式； (3)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)， (2) (3)或时，的面积为 【分析】本题主要考查正方形的性质，一次函数的运用，理解动点的运用，掌握一次函数图形的性质是解题的关键． （1）根据函数图示的信息计算即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当点在上时；当点在上时；由三角形面积的方法计算方法即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ∴， 由函数图象可得，时，， ∴，即, ∴， ∴， ∴点在上运动时间为， 如图所示，当点在上时，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点在上运动时，是定值，即， ∴时，点在上运用， ∴运动速度为， 故答案为：，； （2）解：设与的函数解析式为，图形过点， ∴， 解得，， ∴与的函数解析式为； （3）解：根据图示，当点在上时，， 解得，， ∴； 当点在上时，， 解得，； ∴或时，的面积为． 【变式训练6 一次函数应用之体积问题】 1．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）下图是一个瓶子盛入某种液体时，总质量（）与所盛液体体积（）的关系图象，请根据图象所提供信息计算空瓶子的质量（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得，在一次函数图象上，待定系数法求解析式，进而即可求解． 【详解】解：依题意，设，将，代入得， 解得： ∴， 当时，， 即空瓶子的质量， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）实验表明，某种气体的体积随着温度的改变而改变，它的体积公式可用计算，已测得当时，体积；当时，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用．待定系数法求出气体的体积随着温度的关系式即可． 【详解】解：∵当时，；当是，， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知水池中有 800 立方米的水，每小时抽50立方米． (1)写出剩余水的体积V（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式； (2)求出t的取值范围，并画出函数图象； (3)6小时后池中还有多少水？ (4)几小时后，池中还有200 立方米的水？将池中水全部放完，需几小时？ 【答案】(1) (2)，画图见解析， (3)6小时后，池中还剩500立方米的水 (4)12小时后，池中还有200立方米的水，16小时后，池中水全部放完 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理清题意、正确列出函数关系式是解答本题的关键． （1）根据函数的概念和已知条件即可列出关系式：即可， （2）由由，即可得出时间t的取值范围，画出图象即可； （2）根据（1）中的函数关系式，将代入计算即可得出池中的水； （3）把，以及代入函数关系式可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）解：由， ∴， ∴， 画图如下： ． （3）解：当时， ∴； ∴6小时后，池中还剩500立方米的水 （4）解：当时， ， 当， 解得：； ∴12小时后，池中还有200立方米的水，16小时后，池中水全部放完． 4．（2024·河北保定·一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离与注水时间之间的函数图象如图2所示． (1)求直线的解析式，并求出容器注满水所需的时间． (2)求正方体铁块的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出得解析式即可，令时，求出值； （2）根据图像确定出正方形的高即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点和代入中， 得，解得， ∴直线的解析式为． 令，即，解得， 故容器注满水所需的时间为． （2）解：由图像段可知正方体的高为， 即正方体的边长为， 故正方体的体积为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式． 【变式训练7 一次函数应用之新定义问题】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P是“成双点”， 即线段上的点为“成双点”， 同理线段上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ，解得：， ∴k的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 2．（24-25八年级下·海南·阶段练习）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为．已知平面直角坐标系中，点、．若存在点，使得点是一对“斜关点”，点，也是一对“斜关点”，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要了考查新定义——“斜关点”．解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握，解绝对值方程． 设，由根据“斜关点”定义列方程，解方程即可得到答案． 【详解】设点， ∵点、，点A、E是一对“斜关点”， 点B、E也是一对“斜关点”，且， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点E的坐标为或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”． (1)已知“分边折叠函数” ①直接写出该函数与y轴的交点坐标； ②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围； (2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为______． 【答案】(1)①，②或 (2) 【分析】（1）①求出当时，的值即可得到答案；②分别求出当时，的函数值和的函数值，然后令函数经过求出的对应函数函数值的对应坐标即可得到答案； （2）先求出函数与直线的交点坐标，与y轴的交点坐标，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）①当时， ， ∴该函数与y轴的交点坐标为； ②令，代入得， 令经过点， ∴， ∴． 同理，令，代入得， 令经过点， ∴， ∴． 综上分析得，当或时，与该函数只有一个交点． （2）解：∵， ∴函数与y轴的交点坐标为，与直线的交点坐标为， ∵“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为， ∴， ∴， ∴（m等于0时，直线与y轴重合，不符合题意）， 解得． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ∴． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， 设， ∵， ， ∴， ， 即或， 解得或， ∴或． 【变式训练8 一次函数应用之存在性问题】 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，由，当点三点共线时有最大值为，则，过作于点，则，由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，然后代入一次函数解析式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴当点三点共线时有最大值为， ∵的最大值为， ∴， 过作于点，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴当时，，解得：， ∴点的横坐标是， 故选：． 2．（2024·广西河池·二模）已知部分鞋子的型号“码”数与鞋子长度“”之间存在一种换算关系如下： 型号/码（设为x） 20 36 42 长度/ （设为y） 15 23 26 这种换算可以用一种函数关系去模拟，通过画图、观察、猜想，得出y与x之间的函数表达式为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意判断出y与x是一次函数是解题的关键．通过画图猜想，这种函数是一次函数；设，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：通过表格画图象如下：由图象观察得到这种换算符合一次函数的关系． 设 当；时，， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图 所示，梯形的上底，下底，，，点M从点C出发向点D移动，连接，，假设阴影部分的面积是y，的长度为x． (1)写出变量y与x之间的关系式； (2)在点M的移动过程中，是否存在阴影部分的面积等于梯形面积的，若存在，求出x的值；若不存在，简单说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据题意列出函数关系式． （1）根据，代入相关数据即可得； （2）根据阴影部分的面积等于梯形面积的列方程进行求解即可得． 【详解】（1）∵的长度为x， ∴ ∴； （2）不存在，理由： 假设存在，则 解得， ∴不存在． 4．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的坐标分别为、 (2) (3)存在．点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，直角三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，直线分别交轴，轴于，两点，当时，求出点，当时，求出点，即可； （2）根据第一象限内的点到轴的距离为，则点的纵坐标为，根据点在直线上，求出点的坐标，设直线的解析式为，即可； （3）根据是直角三角形，分类讨论：当边为斜边，；当边为直角边，；当边为直角边，；进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于，两点, ∴当时，, ∴点； ∵当时，, ∴点． （2）解：∵第一象限内的点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 当边为斜边，； ∵， ∴点与点重合， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵线段在第一象限， ∴点在的负半轴， ∴设点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵点在上，点是轴上一动点， ∴； 综上所述，当点，时，是直角三角形． 【变式训练9 一次函数应用之动点问题】 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（　  　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为的长，然后根据直线的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接、、， 由轴对称的性质得：， 周长为， 由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， ， 点为的中点， ，， 点为点关于的对称点， ， 又， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，，即轴， ， 则， 即周长的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，利用轴对称将周长转化为两定点间的折线段长，利用两点之间线段最短找出最小值是解题关键． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，点P是y轴上的动点，当的周长最小时，的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，轴对称确定最短路线问题，熟记最短距离的确定方法是解题的关键．作点B关于y轴的对称点C，连接交y轴于点P，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，然后求解即可求出的坐标，再计算的面积即可． 【详解】作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时的周长最小， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P坐标为， ∴． 3．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，高．动点由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设的长为x，的面积为S． (1)请写出S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)当x分别取10，5，3时，计算出相应的S的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了函数关系问题，解题的关键是利用三角形的面积公式． （1）根据三角形的面积公式列出关系式即可求解； （2）将值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）当时，； 当时，； 当时，； 4．（24-25八年级下·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，点的坐标是或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的表达式为：，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． （3）设直线的表达式为，把代入，求出直线的表达式为，因为三角形的面积是三角形的面积的，得出点的横坐标为1或，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， ∵过点的直线与直线相交于点， ∴把和分别代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， （2）解：∵，， ∴， ∴， （3）解：存在，过程如下： 设直线的表达式为，把代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵三角形的面积是三角形的面积的， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为1或， 当点的横坐标为1时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 在中，当时，， 则点的坐标为， 当点的横坐标为时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 综上，点的坐标是或或． 【变式训练10 一次函数应用之最值问题】 1．（23-24八年级下·四川自贡·期末）如图、在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．若点在直线上，点在线段上，则的最大值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先求出点A的坐标，然后求出直线的解析式，再把代入两个函数得到的表达式，根据的取值范围即可求出最大值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，即点， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 故选：C． 2．（2024·广东肇庆·二模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线分别与x轴、y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 【答案】2 【分析】分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】根据题意，得 ， 解得， ∴m的最大值为1，最小值为 ∴m的最大值与最小值之差为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了直线解析式交点坐标的计算，熟练掌握求交点的坐标是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广西河池·期末）某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)求（1）中函数的最大值． 【答案】(1)， (2)1300 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一次函数的性质； （1）根据剩余的现金等于总现金减去购买费用可得函数解析式，再根据批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克，以及最大现金数的购买量可得自变量的取值范围； （2）根据一次函数的增减性可得答案 【详解】（1）解：由题意可得，y与x的函数解析式为：， 其中，x的取值范围是：； （2）解：由（1）可知， ∴随x的增大而减小， 当x取最小值时，y有最大值，即时，y值最大， 即， 答：函数的最大值为1300. 4．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）端午节来临之际，某公司组织同型号20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果 A B C 每辆汽车载货量（吨） 8 6 5 每吨水果获利（万元） 0.25 0.3 0.2 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【答案】(1)（且为整数）； (2)A水果车辆2辆，B水果车辆14辆，C水果车辆4辆时获利最大，最大利润为33.2万元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用： （1）设装运A种水果的车辆为辆，装运B种水果的车辆为辆，则运C种水果的车辆辆．根据题意，列出等式，即可求解； （2）由利润车辆数每车水果获利可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设装运A种水果的车辆为辆，装运B种水果的车辆为辆，则运C种水果的车辆辆． ， （且为整数）； （2）解： ， 随的增大而减小， 时，（万元） 答：装载A水果的汽车2辆，B水果的汽车14辆，C水果的汽车2辆时获利最大，最大利润为33.2万元． 【变式训练11 一次函数应用之其他问题】 1．（24-25八年级下·山西晋中·阶段练习）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额（元）的函数关系如图所示．小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 根据图示，可得小丽用元去购买该种水果，数量应超过，应根据点，运用待定系数法求出解析式，即求解． 【详解】解：根据图示，当时，， ∵小丽用元去购买该种水果， ∴小丽购买的水果数量应超过， 已知点， ∴设由此函数解析式为：， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵小丽用元去购买该种水果， ∴， 解得，， ∴她购买的数量为， 故选：D ． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，甲、乙两卡所需费用、（单位：元）与入园次数（单位：次）的函数关系如图所示．当满足 时，． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数与不等式的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．根据图象可知，在的上方，即可求解． 【详解】解：结合函数图象可知，当时，， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）高空的气温与距地面的高度有关，某地地面气温为，且已知离地面距离每升高，气温下降，请直接写出该地空中气温与高度之间的关系式，并求距地面处的气温T． 【答案】；距地面处的气温T为． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．直接利用空中气温地面温度上升高度，进而得出该地空中气温与高度之间的关系式；将代入（1）中所求的函数关系式，计算即可求出答案． 【详解】解：∵离地面距离每升高，气温下降， ∴该地空中气温与高度之间的关系式为：； 当时，． 即距地面处的气温T为． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期末）红色景区不仅是历史的见证，也是文化的传承．为了激发学生的爱国情怀和民族自豪感．实验中学王老师带领全班学生去枣园革命旧址参观学习，为了更加清楚的了解革命历史信息，王老师特意请来专业人员为他们讲解，讲解的收费标准为：学生每人5元，成人每人10元．设（名）表示王老师带领的学生人数，（元）表示所需支付的讲解总费用． (1)写出与之间的关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)210 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据学生每人5元，有x名学生，成人每人10元，只有王老师一名成人即可得到与之间的关系式； （2）把代入函数解析式即可求值． 【详解】（1）解：∵学生每人5元，有x名学生，成人每人10元，只有王老师一名成人， ∴； （2）解：时，． 1．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）某校七年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（　　） A．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟 B．步行的速度是千米/时 C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了分钟 D．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的图象逐项判断即可求解，看到函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，骑车的同学比步行的同学晚出发分钟，故正确，不合题意； 由函数图象可知，步行分钟走了千米，所以步行的速度是千米/时，故正确，不合题意； 由函数图象可知， 骑车的同学从出发到追上步行的同学用了分钟，故正确，不合题意； 由函数图象可知，骑车的同学比步行的同学提前分钟到达目的地，故错误，符合题； 故选：． 2．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①点在轴正半轴；②点在轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【详解】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， ， ，． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点在轴正半轴上时，， ； ②当点在轴负半轴上时，， ．    故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）一次函数：和有下列结论： ①当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为3，则； ②当时，函数与函数的图象有两个交点，则； ③当时，图象上有两点（a，b）、（c，d），则； ④直线交于点P（25，10），则方程的解为x=25； 其中正确的结论序号为（　　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】（1）根据三角形面积公式得到，再解方程即可得到的b1值； （2）由函数y=|x﹣2|可知函数的最低点为（2，0），把（2，0）代入求得，直线与平行时，．进而求出k2的取值范围． （3）当时，解析式为，把（a，b）、（c、d）两点代入解析式整理可得：，进而可以求出（a﹣b）（c﹣d）． （4）根据函数交点与方程组的关系可知，两函数交点为P（25，10），则该点对应的x=25，y=10为方程组的解，进而可以得出结论． 【详解】解：①当时，则一次函数为， 则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣，0），与y的坐标为（0，）， 因为一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为3， 所以，解得， 故①不正确； ②当时，则一次函数为， ∵y=|x﹣2|≥0， ∴函数y=|x﹣2|的最低点为（2，0）， 把（2，0）代入得，， 解得：． 当直线与平行时，， 故当时，图象与函数y=|x﹣2|的图象有两个交点，则且． 故②不正确； ③当时，解析式为， ∵（a，b）、（c、d）在图象上， 把（a，b）、（c、d）两点代入解析式整理可得：， ∴， ∴， 故③正确； ④根据函数交点与方程组的关系可知，两函数交点为P（25，10），（） 则该点对应的为方程组的解， 方程组，①﹣②得：， ∴x=25是的解． 故④正确． 正确的是③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与面积问题，交点问题，以及方程组的相关问题．解题的关键是结合图象，利用定义对各个问题进行解答．解面积问题的时候要注意分类讨论，结果可能不唯一．解交点问题时，要注意结合函数图象来分析，还要注意本题要求是一次函数，所以一次项系数不为0． 4．（2024·重庆·一模）甲、乙两名同学在一段2000m长的笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的最大距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：当甲骑到终点时所用的时间为：2000÷8＝250（s）， 此时甲乙间的距离为：2000﹣200﹣6×250＝300（m）， 乙到达终点时所用的时间为：（2000﹣200）÷6＝300（s）， ∴最高点坐标为（250，300）． 甲追上乙时，所用时间为（s） 当0≤x≤100时，设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b1， 有 解得： 此时y＝﹣2x+200； 当100＜x≤250时，设y关于x的函数解析式为y＝k2x+b2， 有 解得： 此时y＝2x﹣200； 当250＜x≤300时，设y关于x的函数解析式为y＝k3x+b3， 有 解得： 此时y＝-6x+1800． ∴整个过程中y与x之间的函数图象是C． 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的关键点，利用待定系数法求得每段函数解析式． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平移的性质，勾股定理，平行四边形的面积等知识，明确线段扫过的面积为平行四边形的面积是解题关键．根据题意，线段扫过的面积为平行四边形的面积，先利用勾股定理求出，再根据平移的性质得到，即点的纵坐标为4，进而求出其横坐标为5，得到，从而得到，即可求出平行四边形面积得到答案． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点A、B的坐标分别为、， ， ，， ， ， 点的纵坐标为4， 点在直线上， ， 解得：，即， ， ， 即线段扫过的面积为16， 故选：C． 6．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 【答案】4500 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 7．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【答案】56 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，先求出的函数解析式为，再求出时的函数值，即可解答． 【详解】解：设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 当时，， ∴购买3千克这种水果需要付56元， 故答案为：56． 8．（2024·北京石景山·二模）某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打 折销售，后四周最多盈利 元． 【答案】 七 72000 【分析】根据题意，分析出折扣应该在8折以下，然后列出折扣与利润的一次函数表达式，利用一次函数的性质即可得出结论． 【详解】设后四周的利润为w，折扣为x， 由题意，前两周已售出40件， ∴剩余360件应在余下4周内售完， 由表格分析可知，折扣在8折及以下时，无法满足尽快售完的条件， ∴要满足条件应该选择8折以上的折扣， ∴， 其中，， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取最大值，此时， ∴当折扣为7折时，后四周利润最大，最大利润为72000元， 故答案为：7；72000． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用问题，准确建立一次函数解析式并分析出自变量的取值范围是解题关键． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质和待定系数法求函数解析式．由割补法得求分割点A的位置是解题关键． 如图，利用正方形的性质得到，由于直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则，然后根据三角形面积公式计算出的长，从而可得点坐标．再由待定系数法求出直线l的解析式. 【详解】解：如图， 经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， 而， ， ， 点坐标为，． 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为 故答案为． 10．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由题意知，当，时，直线图象上存在覆盖的特征点，则有，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当，时，直线图象上存在覆盖的特征点， ∴， 解得： ∴的取值范围为：． 故答案为：．． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键与难点在于根据题意列不等式． 11．（24-25八年级下·上海闵行·期中）小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖． (1)小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ (2)写出甲、乙两个商店中，收款（元）关于购买本数（本）的关系式． (3)小明现有24元钱，最多可买多少个本子？ 【答案】(1)甲商店，理由见解析 (2)甲商店：；乙商店： (3)小明用24元最多可买28本 【分析】此题考查了一次函数的应用，函数关系式，解题时首先认真审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，然后解答即可． （1）根据题意，到甲购买10本以上，第11本按标价的卖，如果买20本，则付款，到乙买收款：即可得到答案； （2）当时，分别根据题意列出函数关系式，即可得到答案； （3）将分别代入（2）中函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：甲商店． 甲店收款为：（元， 乙店收款为：（元， ， 买20本时，到甲店购买省钱； （2）解：甲商店：时，，即； 乙商店：时，，即； （3）解：将代入得： ， 所以24元钱最多在甲商店可买28本， 将代入得： ， 所以24元钱最多在乙商店可买26本， 答：小明用24元最多可买28本． 12．（2024·江苏南京·中考真题）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得， ， ， ， 该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示． (1)求与函数关系式； (2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用数形结合的思想解答即可； （1）根据函数图像可以设出函数解析式，函数图像过点，，从而可以求出函数的解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 则， 解得，， 即与函数关系式是； （2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，设销售单价应定为元/千克， ， 解得，或， 又， 解得，， 故， 即商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元． 14．（2024八年级下·上海·专题练习）已知学生宿舍、便利店、篮球馆依次在同一条直线上，便利店离宿舍，篮球馆离宿舍．小明从宿舍出发，先匀速步行到达便利店买饮用水，在便利店停留，之后匀速步行到达篮球馆，在篮球馆锻炼了后，匀速骑行返回宿舍．如图所示图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 20 60 95 小明离宿舍的距离 ___________        ___________        ___________        ___________        （Ⅱ）填空：小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为 ___________； （Ⅲ）当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅳ）当小明离开便利店时，同宿舍的小杰从宿舍出发，匀速骑行直接前往篮球馆，如果小杰比小明提前到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（Ⅰ），，2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）；（Ⅳ） 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （Ⅰ）根据图象及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； （Ⅱ）根据“篮球馆离宿舍的距离这个过程所用时间”计算即可； （Ⅲ）利用待定系数法求解，并写成分段函数的形式； （Ⅳ）根据题意，作出小杰离宿舍的距离y关于时间x的图象并利用待定系数法求其关系式，根据相遇时二人离宿舍的距离相等列方程，求出x值，代入函数求出对应y的值即可． 【详解】解：（Ⅰ）当时，小明骑行速度为， 当时，小明离宿舍的距离为； 当时，； 当时，； 当时，小明骑行速度为， 当时，小明离宿舍的距离为． 故答案为：，，2，1． （Ⅱ）（Ⅰ）中已求出，小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为． 故答案为：． （Ⅳ） 当时，设小明离宿舍的距离y于时间x关系式为为常数，且． 将坐标代入， 得， 解得， ； 当时，； 当时，设小明离宿舍的距离y于时间x关系式为（为常数，且）． 将坐标和代入， 得， 解得， ． 综上，小明离宿舍的距离y于时间x关系式为． （Ⅳ）如图，小杰离宿舍的距离y于时间x图象如所示．    由题意可知，点A坐标为，点B坐标为． 设的函数关系式为（k、b为常数，且） 将坐标和分别代入， 得， 解得， 的函数关系式为； 当二人相遇时，二人离宿舍的距离相等，得，解得， 二人离宿舍的距离为， 他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 15．（2024·吉林长春·一模）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这摞碗的总高度（厘米） 5.5 7 8.5 10 11.5 【建立模型】 （1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律． （2）求与的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度． 【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】[图见解析]；（1）这些点在一条直线上 （2）当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米 [结论应用]：一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）描点并连线，观察这些点的分布特点； （2）利用待定系数法求出与的函数关系式，将代入函数关系式，求出对应的值即可； （3）将函数关系式代入，求出的最大值即可． 【详解】[建立模型] 解：（1）如图， 这些点在一条直线上． （2）设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得 解得 与之间的函数关系式为． 时，． 当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米． [结论应用] 时，， 所以一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里． 学科网（北京）股份有限公司 $$