17.1一元二次方程（3种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.1一元二次方程（3种题型基础练+能力提升练） 题型一：一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则？部分可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A． B． C． D． 4．下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 5．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（   ） A．2或 B．2 C． D．且 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）若方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）关于的方程． (1)当取何值时，方程为一元二次方程？ (2)当取何值时，方程为一元一次方程？ 题型二：一元二次方程的一般形式 10．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．1 C．4 D． 11．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（   ） A． B． C．0，1 D． 12．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）一元二次方程的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 13．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 14．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 . 15．（24-25九年级上·北京·开学考试）把一元二次方程化成一般形式为 16．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 17．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 题型三：一元二次方程的解 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 19．（22-23九年级上·河北保定·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 20．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，则方程必有一根为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 21．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知远方程的一个根，则 ． 22．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出有一个根为1的关于x的一元二次方程： ． 23．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）对于一元二次方程，若二次项系数是2，则下列说法错误的是（    ） A．二次项是 B．一次项是 C．常数项是1 D．是它的一个根 24．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … A． B． C．或 D．或 25．（2023·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（   ） A． B． C． D．或 26．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 27．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 一、解答题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 2．当k取何值时，关于x的方程（k2﹣1）x2+（k﹣1）x+1=0是一元二次方程？ 3．试说明：对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 4．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 6．已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 7．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 8．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 9．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 10．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 11．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 12．已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式． 13．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 14．我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则___________． 15．若关于的一元二次方程的一个根是，且满足b=，求． 16．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知是一元二次方程的解，求的值． 17．已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 18．设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.1一元二次方程（3种题型基础练+能力提升练） 题型一：一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，所以A选项是一元二次方程； B、含有x和y两个未知数，不符合一元二次方程的定义； C、当时，不是一元二次方程； D、分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义． 故选A． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则？部分可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得？部分一定是只含有未知数x，且未知数x的最高次为2的整式，据此可得答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴？部分一定是只含有未知数x，且未知数x的最高次为2的整式， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义得出，，求出即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 即且， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 4．下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 【答案】②③⑤ 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是， 故答案为： ②③⑤． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 5．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，可知，二次项的系数不为0，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 7．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（   ） A．2或 B．2 C． D．且 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）若方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，先把方程化为一般式，再根据二次项系数不为0进行求解即可． 【详解】解：∵方程，即是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）关于的方程． (1)当取何值时，方程为一元二次方程？ (2)当取何值时，方程为一元一次方程？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】（1）令二次项系数不为零即可求解； （2）令二次项系数为零且一次项系数不为0即可求解． 【详解】（1）要使方程为一元二次方程， 则， 即时，原方程是一元二次方程； （2）要使方程为一元一次方程， 则，， 即且， 可知时，原方程是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，解题关键是掌握它们的概念，将一个方程化简后如果形如，则它为一元二次方程，而一元一次方程则应抓住两个关键：①只含有一个未知数，②未知数的次数是1的整式方程． 题型二：一元二次方程的一般形式 10．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．1 C．4 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟记二次项，一次项，常数项的概念，并加以应用．根据一元二次方程 ()中，为一次项系数，即可得出结果． 【详解】解：一元二次方程中，二次项为，一次项为，常数项为， ∴一次项系数是； 故选：D． 11．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（   ） A． B． C．0，1 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式解答，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是． 故选：B 12．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）一元二次方程的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程定义直接得出本题答案． 【详解】解：一元二次方程的常数项为， 故选：D． 13．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】整理为一般形式后，根据一次项的系数为−1，列方程求解即可． 【详解】化成一般形式后, ∴m=1 故选B 【点睛】解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·北京·开学考试）把一元二次方程化成一般形式为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，掌握一元二次方程的基本形式是解题关键．将方程两边展开，然后移项合并同类项，即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 16．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】根据一元二次方程的定义列不等式式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不为零是解题的关键． 17．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的一般形式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键． 【详解】解： ∵一元二次方程化成一般式为， 故选：A． 题型三：一元二次方程的解 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 19．（22-23九年级上·河北保定·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴这个方程为， 故选：B． 20．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，则方程必有一根为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当x＝1方程ax2+bx+c＝0可化为a+b+c＝0； ∴方程必有一根为1． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键． 21．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知远方程的一个根，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的解 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义．把代入已知方程可以得到，代入求值即可． 【详解】解：∵远方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出有一个根为1的关于x的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，首先理解一元二次方程的定义；只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；理解根的概念；使方程左右两边相等的数就是方程的解． 【详解】解：如： 检验方法；符合一元二次方程定义，代入1方程左右两边相等， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）对于一元二次方程，若二次项系数是2，则下列说法错误的是（    ） A．二次项是 B．一次项是 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的根，化为一般式可判断A，B，C，把代入方程验证可判断D． 【详解】解：∵， ∴． A．二次项是，正确； B．一次项是，正确； C．常数项是1，正确； D．当时，，所以不是它的一个根，故不正确； 故选D． 24．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或． 故选：C． 25．（2023·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义 【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴且， 解得：． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 26．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入原方程，变形得，再将代数式去括号展开，将整体代入展开后的代数式，求解即可，解题关键是利用整体代入法． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的根， ， ， ． 27．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】(1)；， (2)，， 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解 【分析】本题是规律探索题，考查了一元二次方程及其解； （1）根据规律直接写出方程及其解即可； （2）根据规律可写出第n个方程及其解，把两个解代入方程中检验即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 一、解答题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义、一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可； （2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 2．当k取何值时，关于x的方程（k2﹣1）x2+（k﹣1）x+1=0是一元二次方程？ 【答案】k≠±1 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据二次项的系数不为0求解即可． 【详解】由题意得：k2﹣1≠0， 解得：k≠±1， 故当k≠±1时，关于x的方程（k2﹣1）x2+（k﹣1）x+1=0是一元二次方程． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，用到的知识点为：一元二次方程存在的条件是二次项系数不为0． 3．试说明：对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的定义 【分析】本题考差了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握形如的是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，通过证明即可． 【详解】证明：， ∵， ∴，则， ∴， ∴对于任意实数，关于的方程都是一元二次方程． 4．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程． 【答案】(1)m＝3 (2)m＝±1或m＝0，m＝2 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案； （2）根据一元一次方程的定义，可得答案． 【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得 ， 解得m＝3． 当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程． （2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得 m+1＝0或或m-1=0， 解得m＝±1或m＝0，m＝2， 当m＝±1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、绝对值非负性、一元二次方程的一般形式 【详解】解：（1）设a＝3k，b＝4k，c＝5k（），则3k＋4k＋5k＝12， 解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． （2）由题意得a＝2，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． 6．已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 【答案】二次项系数是：，一次项系数是：，常数项是：；参数m的取值范围是 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义 【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m的取值范围． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：， 由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件，即． 可知它的各项系数分别是 二次项系数是：， 一次项系数是：， 常数项是：． 参数m的取值范围是． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题． 7．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； (2)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； (3)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； (4)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； (5)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； (6)，二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0． 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式 【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （3）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （4）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （5）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （6）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：将化为一般形式为： ， 则：二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； （2）将化为一般形式为： 则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； （3）将化为一般形式为： 则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； （4）将化为一般形式为： 则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； （5）将化为一般形式为： 则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； （6）将化为一般形式为： 则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键． 8．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 9．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． （1）将代入原方程即可； （2）将代入原方程即可； （3）将代入原方程即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即； （2）解：将代入原方程得：，即； （3）解：将代入原方程可得：， ∴． 10．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 11．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程是凤凰方程，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由题意得：， 是关于x的凤凰方程， ， 即， 解得：． 12．已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式． 【答案】，一般形式是： 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解 【分析】把代入一元二次方程，求出的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， 解得或， ， ， ， 此时的一元二次方程的一般形式是：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解、分式化简求值 【分析】利用一元二次方程的解可得出，将其代入的化简结果中即可求出答案． 【详解】解：∵x是一元二次方程的实数根， ∴． ， ∴代数式的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键． 14．我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则___________． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)4或16 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解 【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定； （2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值． 【详解】（1）解：方程是倍根方程， 理由如下： 由方程， 解得，， ， 方程是倍根方程； （2）解：由方程， 解得，， 方程是倍根方程， 或， 得或， 故或， 故答案为：4或16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 15．若关于的一元二次方程的一个根是，且满足b=，求． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解、二次根式有意义的条件 【分析】将代入原方程即可求得之间的关系，再根据已知条件即可求得的值． 【详解】解：将代入方程， 得：； 又∵满足等式， ∴，； ∴， ∴； 则． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 16．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知是一元二次方程的解，求的值． 【答案】17 【难度】0.4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值问题，根据已知代数式化简所求代数式是解题的关键．根据题意可知，从而得到，，然后代入化简得到，由，故方程两边同时除以得到，代入即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的解 ， 方程两边同时除以得到，即 的值为17． 17．已知方程是关于的一元二次方程． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的定义 【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可； （2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可. 【详解】解：化简，得 ． 方程是关于的一元二次方程，得 ，解得， 当时，方程是关于的一元二次方程； 由一次项系数为零，得． 则原方程是，即． 因式分解得， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程. 18．设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值． 【答案】-3 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程的解 【分析】先把x=-2代入方程，得到关于p，q的等式，把有关的项合并后，令它的系数部分为0，就可求出方程p、q的值． 【详解】解：把-2代入方程，9-4-p+2p+q=0， ∴-×（4+p）+（2p+q+9）=0， ∵p、q是整数， ∴p=-4，q=-1， ∴p-q=-4+1=-3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．当方程中有一根是无理数，字母系数为整数时，把有关无理数的项合并一起后，令它的系数部分为0，就可求出方程中字母系数的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$