30.5 二次函数与一元二次方程的关系-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

第三十章 二次函数 30.5 二次函数与一元二次方程的关系 学习目标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 3.利用二次函数的图像求一元二次方程根的近似值. 学习重难点 理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 利用二次函数的图像求一元二次方程根的近似值. 难点 重点 问题导入 1.下列方程与函数形式上有何联系? x2-2x-3=0,y=x2-2x-3 2.方程的根与函数图像有什么关系? 方程左边的式子就是函数表达式中“=”右边的式子. 函数值y=0时x的值,即函数图像与x轴交点的横坐标. 3 如图所示,已知同一直角坐标系中抛物线y=x2+2x-3,y=x2-6x+9,y=x2-4x+6. （1）这三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况分别是怎样的? 新知探究 知识点1 一元二次方程的根与二次函数图像的关系 1 x O y = x2－6x＋9 y = x2－4x＋6 y = x2＋2x－3 y 这三条抛物线与x轴分别有两个交点、有一个交点、没有交点 4 （2）当y=0时,这三条抛物线的表达式对应的方程分别是x2+2x-3=0,x2-6x+9=0,x2-4x+6=0,它们根的情况分别是怎样的? 1 x O y = x2－6x＋9 y = x2－4x＋6 y = x2＋2x－3 y 这三个方程的根的情况分别是有两个不相等的实数根-3和1、有两个相等的实数根3和3、没有实数根. 5 （3）上述三个方程根的情况与它们所对应的三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况具有怎样的关系? 二次函数 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－4x＋6 y = x2－6x＋9 y = x2＋2x－3 0个 x2-4x+6=0无解 1个 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 2个 -3, 1 x2+2x-3=0，x1=-3,x2=1 / 6 归纳 一般地，抛物线y=ax2+bx+c和x轴相交（或不相交）的情况与一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况有如下对应关系： 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的位置关系 有两个 公共点 有一个 公共点 无公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况 有两个 不相等的实根 有两个 相等的实根 没有实根 b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0 7 做一做 不画图像，说明下列抛物线和x轴相交（或不相交）的情况. 解：（1）因为b2-4ac=8>0，所以抛物线和x轴相交，有两个公共点； （2）因为b2-4ac=-7<0，所以抛物线和x轴不相交，无公共点； （3）因为b2-4ac=0，所以抛物线和x轴相交，有一个公共点. 8 例 新知探究 知识点2 利用二次函数求一元二次方程根的近似值 求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.(结果精确到0.1) 解：如图,画出二次函数y=x2-2x-6的图像. 观察画出的抛物线,设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2,不妨设x1<x2. 9 现在来求x1的近似值. （1）容易看出： 当x=-2时，y>0；当x=-1时，y<0，且在-2<x<-1范围内，y随x的增大而减小，所以-2<x1<-1. （2）取-2和-1的中间数-1.5（中间数为），代入表达式中试值.当x=-1.5时，y=（-1.5）2-2×（-1.5）-6=-0.75<0；当x=-2时，y>0.在-2<x<-1.5范围内，y随x的增大而减小，所以-2<x1<-1.5. （3）取-2和-1.5的中间数-1.75，代入表达式中试值.当x=-1.75时，y=（-1.75）2-2×（-1.75）-6=0.5625>0；当x=-1.5时，y<0.在-1.75<x<-1.5范围内，y随x的增大而减小，所以-1.75<x1<-1.5. 10 （4）取-1.75和-1.5的中间数-1.625，代入表达式中试值.当x=-1.625时，y=（-1.625）2-2×（-1.625）-6=-0.109 375<0；当x=-1.75时，y>0.在-1.75<x<-1.625范围内，y随x的增大而减小，所以-1.75<x1<-1.625. x1≈-1.7即为精确到0.1的近似值. 11 总结 利用二次函数求一元二次方程根的近似值 1.用描点法作二次函数的图像； 2.观察图像，确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标； 3.确定方程的近似根. 当函数图像与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解： ①观察函数图像与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围. 12 ②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数 m 和 n (m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如下：取 m 和 n 的平均数，计算出当时的函数值y2，将y2与自变量分别为 m 和 n 时的函数值ym，yn比较，若函数值y2，ym异号，说明所求根在m和之间，再取m和的平均数，计算函数值； 13 若函数值y2，yn异号，说明所求的根在和 n 之间，再取和 n 的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. ③按照①②的方法估计出方程的另一个根. 14 随堂演练 1. 已知方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1=−1，x2=3，那么可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为 。 2. 若关于x的函数y=kx2+2x−1与x轴仅有一个交点，则实数k的值为 . （-1，0）、（3，0） -1 15 3. 小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( ). A. 无解 B. x=−1 C. x=4 D. x1=−1，x2=4 D x y O -1 4 16 4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 B 17 5.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 归纳提升 解：(1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点. 18 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝. 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x有两个交点， 且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 19 课堂小结 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程根的情况 求一元二次方程根的近似值 二次函数与x轴的交点个数 一元二次方程根的情况 判别式的符号 20 绿卡图书—走向成功的通行证 21 $$