30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

第三十章 二次函数 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数* 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的表达式. 2.会根据待定系数法解决二次函数的相关问题. 学习重难点 会根据待定系数法解决二次函数的相关问题. 会用待定系数法求二次函数的表达式. 难点 重点 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 复习回顾 2个 2个 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 3 已知不共线的三点A(1，3)，B(2，-2)，C(-1，1)，怎样确定过这三点的二次函数y = ax2+bx+c的表达式呢？ 新知探究 知识点1 一般式法确定二次函数 解：将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数y = ax2+bx+c中, 得，解得 所求二次函数的表达式为y=-2x2+x+4. 待定系数法 4 思考 用待定系数法求二次函数表达式的过程与求一次函数表达式的过程有哪些相同点与不同点？ 相同点： 两者都是先确定表达式的形式，再求出待定的系数. 不同点： 一次函数代入两个点，出现两个方程. 二次函数代入三个点，出现三个方程. 5 例题解读 已知三点A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，求由这三点所确定的二次函数的表达式. 例1 解：设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数表达式中，得解得 所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+1. 1.设一般式 2.坐标代入 3.解方程组 4.写出表达式 6 归纳 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为 y=ax2+bx+c； ②将三个点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组； ③解方程组得到 a，b，c 的值； ④把待定系数换掉，写出函数表达式. 7 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)求这条抛物线的表达式. 例2 解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ， 将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入 得3=a(0-4)2-1,解得a=， ∴这条抛物线的表达式为：y=(x-4)2-1. 已知顶点，一般设顶点式. 知识点2 顶点式法确定二次函数 已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点式法. 其步骤是： ①设函数的表达式是 y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式. 归纳 9 已知二次函数与x轴两交点横坐标为1，3，且图像过（0，-3），求二次函数的表达式. 知识点3 交点式法确定二次函数 例3 解：∵抛物线与x轴两交点横坐标为1，3 ∴ 设y=a(x-1)(x-3). ∵图像经过（0，-3）， ∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1， ∴ y=-(x-1)(x-3), 即二次函数的表达式为 y=-x2+4x-3. 已知与x轴两交点，一般设交点式. 10 归纳 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点式法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 11 总结 用待定系数法求二次函数表达式的技巧： 1.若已知抛物线上不共线三点的坐标(x1，y1),(x2，y2),(x3，y3), 则设一般式y＝ax2＋bx＋c; 2.若已知抛物线的顶点(h,k)或者对称轴x=h， 则设顶点式 y=a(x-h)2+k; 3.若已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）， 则设交点式y=a(x-x1)(x-x2). 12 随堂演练 1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( ). A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2 D 13 2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点，则a+c= ． 3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其表达式为 . 4.已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1，0)和(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，2)，则该二次函数的表达式为_______________. -2 y=-7(x-3)2+4 y=-x2+x+2 14 5.已知二次函数经过点（0，2），（1，0）和（-2，3），求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将（0,2），（1,0），（-2,3）的坐标分别代入表达式，得 2=c， 0=a+b+c， 3=4a-2b+c. 解这个方程组，得 c=2. a= ， b= ， ∴二次函数表达式为y= . 15 6.已知二次函数当x=-1时，有最小值-4，且当x=0时，y=-3，求二次函数的表达式. 归纳提升 解:设y=a(x+1)2-4， 将(0，-3)代入，得 a(0+1)2-4=-3， 解得a=1， ∴二次函数的表达式为y=(x+1)2-4. 16 7.已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过（1，1）与（2，3）两点，求这个二次函数的表达式. 解：由题意把（1，1）与（2，3）y=x2＋bx+c得, 1=1+b+c， 3=4+2b+c. 解得 b=-1， c=1. ∴二次函数表达式为y=x2-x+1. 17 课堂小结 用待定系数法求二次函数表达式 顶点式法 交点式法 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k 一般式法 y=a(x-x1)(x-x2) 18 绿卡图书—走向成功的通行证 19 $$