30.2 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

第三十章 二次函数 30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 学习目标 1.会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式. 2.会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点、对称轴及最值. 3.能根据条件求出抛物线的表达式. 学习重难点 熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 会用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 难点 重点 表达式 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 y随x的变化情况 最大（或最小）值 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 向上 x=h 当x<h时,y随x的增大而减小; 当x>h时,y随x的增大而增大 有最低点(h,k). 当x=h时,y最小=k 向下 x=h 当x<h时,y随x的增大而增大; 当x>h时,y随x的增大而减小 有最高点(h,k). 当x=h时,y最大=k 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 (h,k) (h,k) 复习导入 3 如何将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式呢？ 新知探究 知识点1 一般式与顶点式的转化 2 提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项 4 归纳 每个二次函数y=ax2+bx+c 都可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式： 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 这种求顶点坐标的方法叫公式法 5 做一做 对比二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质，填写二次函数y=ax2+bx+c的相关问题的表格： 表达式 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 y随x的变化情况 最大（或最小）值 y=ax2＋bx＋c (a>0) y=ax2＋bx＋c (a<0) 向上 向下 当x<-时,y随x的增大而减小; 当x>-时,y随x的增大而增大 当x<-时,y随x的增大而增大; 当x>-时,y随x的增大而减小 当x=-时, y最小= 当x=-时, y最大= 6 例题解读 求抛物线y=x2+2x-1的对称轴和顶点坐标,并画出它的图像. 例2 解:∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2， ∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,-2). (1)列表: x … -3 -2 -1 0 1 … y=x2+2x-1 … 2 -1 -2 -1 2 … (2)在直角坐标系中,描点,连线,即得二次函数y=x2+2x-1的图像,如图. 7 1.在求一般形式的二次函数的图像的对称轴及顶点坐标时,通常有两种方法: 一是先将其配方,化y=ax2+bx+c为y=a(x-h)2+k的形式; 二是直接利用公式求顶点坐标. 2.若抛物线与x轴有交点,则最好选取交点进行描点,特别是在画抛物线的草图时,应注意以下五点: 开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点. 归纳 8 根据下列条件,确定抛物线的表达式. (1)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐标为(-3,5). (2)抛物线y=ax2+bx-6经过点A(-1,3)和B(2,-6). 例3 解:(1)∵y=-2x2+px+q= . ∴ ∴p=-12,q=-13. 所以该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13. (2)点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式, 即 解得 所以该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6. 10 随堂演练 1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k的形式,结果为 (　　) A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2 D 11 2.关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(　　) A．图象与y轴的交点坐标为(0，1) B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3 D 12 3.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=2x2-12x+3； （2）y=-5x2+80x-319. 解：原式= 2(x2-6x)+3 = 2（x2-6x+9）-18+3 = 2（x-3）2-15 对称轴为x=3， 顶点为（3，-15）. 原式= -5(x2-16x)-319 = -5(x-8)2+1 对称轴为x=8， 顶点为（8，1）. = -5(x2-16x+64)+320-319 13 4.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） 归纳提升 B x=-1 2 O A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ 14 5.已知二次函数y＝ax2＋bx的图象过点(6，0)，(－2，8)． (1)求二次函数的解析式； (2)写出它的对称轴和顶点坐标． 解：(1)∵y＝ax2＋bx的图象过点(6，0)，(－2，8)， ∴ ∴二次函数的解析式为 15 (2)二次函数配方后为y= ∴二次函数的对称轴为x=3， 顶点坐标为. 16 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 图像 性质 y=a 配方法 开口方向 对称轴 y随x的变化情况 顶点坐标 最值 顶点式 公式法 17 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $$