29.5 正多边形与圆-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

第二十九章 直线与圆的位置关系 29.5 正多边形与圆 学习目标 1.理解正多边形及其半径、边心距、中心、中心角等概念. 2.会用尺规作圆的内接正方形和正六边形. 3.应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 学习重难点 理解正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 会用尺规作圆的内接正方形和正六边形. 难点 重点 情境引入 观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形. 量一量下列图形的边和角，概括它们的共同特点. 新知探究1 知识点1 正多边形的概念 各边相等,各角也相等 正多边形的概念 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 归纳 5 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 思考 矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等； 菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等. 正多边形各边相等、各角相等，缺一不可 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 思考 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. 怎样把一个圆进行四等分？依次连接各等分点，得到一个什么图形？ 知识点2 圆的内接正n边形 新知探究2 · 作两条互相垂直的直径即可把圆四等分. 依次连接各等分点，得到一个正四边形. 8 把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n边形.我们把这个正n边形叫做圆的内接正n边形，这个圆叫做正n边形的外接圆. 定义 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 9 1.中心：外接圆的圆心叫做正多边形的中心. 正多边形的有关概念 2.半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. 3.中心角：每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 4.边心距：中心到边的距离叫做正多边形的边心距. 如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆.点O为这个正六边形的中心，OA为半径，∠AOB为中心角，OH的长为边心距. 10 1.只要将圆n（n≥3）等分，就可以画出正n边形.如何将一个圆n等分呢？ 2.正五边形的中心角是多少度？如何将圆五等分，画正五边形呢？ 思考 通过等分圆心角，可以画正多边形. 对于一些特殊情形，可以用尺规作圆的内接正多边形. 11 例1 用尺规作圆的内接正方形. 已知：如图，⊙O. 求作：正方形ABCD内接于⊙O. 例题解读 作法：（1）如图，作两条互相垂直的直径AC，BD. （2）顺次连接AB，BC，CD，DA. 由作图过程可知，四个中心角都是90°，所以AB=BC=CD=DA.因为AC，BD都是直径，所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 即四边形ABCD为⊙O的内接正方形. D A B C O · O 如图，△ABC为⊙O的内接正三角形.如果⊙O的半径为r,求这个正三角形的边长和边心距. 解：如图,连接OB,过点O作OD⊥BC，垂足为D.在Rt△OBD中， ∵∠OBD=30°，OB=r， ∴OD=，BD=r，BC=2BD=r. 即这个正三角形的边长为r，边心距为. 例2 D 13 圆内接正多边形的辅助线 1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形. · O A B C D E F M r R O 边心距r 边长一半 半径R B M 中心角一半 14 有关公式 1. 正n 边形的每个内角都等于 2. 正n 边形的每个中心角都等于 3. 正n 边形的每个外角都等于 4. 设正n 边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： （1）半径、边长、边心距的关系为R2=r2+ （2）周长l=na； （3）面积S= 15 随堂演练 1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ） A．60° B．45° C． 36° D． 30° C · A B C D E O 16 2.下列说法正确的是（ ） A.各边都相等的多边形是正多边形 B.一个圆有且只有一个内接正多边形 C.圆内接正四边形的边长等于半径 D.圆内接正n边形的中心角度数为 D 17 3.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于( ) A.36° B.18° C.72° D.54° A 18 4. 填表. 圆内接正多边形 半径 边长 边心距 周长 面积 正三角形 2 正方形 1 正六边形 2 1 2 8 4 2 2 12 19 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2. 则半径为， ∴⊙O的面积为 20 6.如图，要拧开一个边长为a=6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？ 归纳提升 A C B D 解：如图，∠ABC=120°. AB＝BC＝a, AC＝b. 过B作BD⊥AC于点D, 则AD=DC=b. 在Rt△ABD中，∠BAC=30°, ∴BD= AB=3mm. ∴b=2AD=6 mm. 即扳手张开的开口b至少要6 mm. 21 课堂小结 正多边形与圆 有关概念 正多边形的画法 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 有关公式 正多边形 圆的内接正n边形 正多边形的有关计算 正n边形的外接圆 正多边形的中心、半径、中心角、边心距 22 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$