29.4 切线长定理-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

第二十九章 直线与圆的位置关系 29.4 切线长定理* 学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 2.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. 学习重难点 掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. 难点 重点 问题引入 如图，已知⊙O 及圆外一点P.如何过点P作出⊙O 的切线呢？ 过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ O P 如图，连接OP，以OP为直径作圆，交⊙O于A，B两点.连接PA，PB. 新知探究1 知识点1 切线长定理 O P A B PA，PB是⊙O的切线吗？猜想线段PA，PB具有怎样的数量关系？你能证明你的猜想吗？ PA，PB都是⊙O的切线，且PA=PB 已知：如图，P是☉O外一点，PA，PB分别与☉O相切于点A，B. 求证：PA=PB. O P A B 证明：如图，连接OA，OB，OP. 在Rt△OAP和Rt△OBP中， ∵PA，PB分别与☉O相切于点A，B， ∴PA⊥OA，PB⊥OB.∴∠OAP=∠OBP=90°. 又∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP. ∴PA=PB. 易得∠APO=∠BPO.即圆外一点与圆心的连线平分过这点的两条切线所形成的夹角. 5 切线长的定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 归纳 切线长与切线的区别 切线是一条与圆相切的直线. 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长. O P A B 6 切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等. 归纳 符号语言表达 ∵ PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴ PA=PB . O P A B 拓展结论 PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △APB △AOB B P O A C E D ★切线长问题辅助线添加方法 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点. 例1 已知：如图，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A，B，Q为劣弧AB上异于点A，B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA，PB相交于点C，D. 求证：△PCD的周长等于2PA. 例题解读 O P A B Q D C 证明：∵PA，PB，CD都是⊙O的切线， ∴PA=PB ， CQ=CA，DQ= DB. ∴△PCD的周长= PC+PD+CD = PC+PD+CQ+DQ = PC+PD+CA+DB = PA+PB=2PA. 从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？ 知识点2 三角形的内切圆 新知探究2 O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 10 用尺规作圆，使其与已知三角形的三边都相切. 已知：如图，△ABC. 求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切. 分析：要求作的圆与△ABC的三边都相切，则这个圆的圆心到△ABC三边的距离都相等，所以圆心是三角形两个内角平分线的交点，圆的半径是交点到三角形一边的垂线段的长. 例2 A B C 11 作法：如图. （1）分别作∠B和∠C的平分线BM和CN.设BM与CN交于点I. （2）过点I作ID⊥BC，垂足为D. （3）以点I为圆心、ID的长为半径作⊙I.⊙I即为所求. 12 如图，作IE⟂AC，IF⟂AB，垂足分别为E，F.由作图过程可知ID=IE=IF.因为⊙I的半径为ID，所以⊙I与△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点F，D，E. B ┐ A C I ┐ ┐ F D E 13 三角形的内切圆 1.与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆. 归纳 2.称这个圆的圆心为三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. 5.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. B ┐ A C I ┐ ┐ F D E 14 归纳 B ┐ A C I ┐ ┐ F D E ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 15 随堂演练 1.如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，D，C 为⊙ O 上一点， 且∠BCD=130°，则∠A的度数是( ) A.70° B.85° C.80° D.100° C 16 2.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11 cm，BC=14 cm，CA=13 cm，则AF的长为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.9 cm C 17 3.如图，已知VP，VQ为⊙T的切线，P，Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm. 若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm. 3 18 4.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数. 解：由切线长定理可知PA ＝ PB. ∵ PA是⊙O的切线. ∴ ∠OAP ＝ 90°. ∵ ∠BAC=25°，∴ ∠BAP=65°. 又∵ PA＝PB，∴ ∠ABP＝∠BAP ＝ 65°. ∴ ∠P ＝ 180°-∠BAP-∠ABP ＝ 50°. 19 5.如图，AB，BC，CD 分别与⊙ O 相切于点E，F，G， 若∠ BOC=90°，求证：AB ∥ CD． 归纳提升 证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°. 又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线． ∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG. ∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°. ∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°， 即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD. 20 6. 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID． 21 课堂小结 切线长定理 切线长 三角形的内切圆 定义 画法 内心 定义 定理 22 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$