29.3 切线的性质和判定-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

第二十九章 直线与圆的位置关系 29.3 切线的性质和判定 学习目标 1.理解并掌握切线的性质定理与判定定理. 2.运用切线的性质定理与判定定理解决简单的几何问题. 学习重难点 掌握切线的性质定理与判定定理. 运用切线的性质定理与判定定理解决简单的几何问题. 难点 重点 复习回顾 判定直线与圆的位置关系有哪两种方法？ 1.根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； 2.由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断. 用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分 （1）直线l与☉O相交 _________ （2）直线l与☉O相切 _________ （3）直线l与☉O相离 _________ d<r d=r d>r 在我们的生活中，经常会遇到直线与圆相切的情形.如沿直线行驶的自行车车轮与车印，可以看成直线与圆相切的具体实例. 新知引入 知识点1 切线的性质 直线与圆相切时，还有哪些性质呢？ 5 如图，直线l为⊙O 的一条切线，切点为T，OT为半径.在直线l上任取一点P，连接OP.观察OT和OP的数量关系，猜想OT与切线l具有怎样的位置关系. 新知探究1 P O l T OT⊥l 你能证明你的猜想吗？ 证明：如图，假设OT与l不垂直. 过点O作OP⊥l,垂足为P. 因为OP是垂线段， 所以OP<OT（垂线段最短）,即圆心O到直线l的距离小于圆的半径. 由此得到直线l与⊙O相交. 这和直线l与⊙O相切矛盾， 所以OT⊥l. P O l T 7 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. 归纳 几何语言 ∵直线l切⊙O于点Ａ， ∴OA⊥l . A l O 8 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 归纳 垂直于切线 直线经过切点 直线经过圆心 知二推一 直线经过切点 经过圆心 (半径)垂直于切线 垂直于切线 经过圆心 直线经过切点 垂直于切线 直线经过切点 经过圆心 练一练 1.如图，在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，BC过圆心O，∠BAC=63°，求∠ABC的度数。 解：因为AC与⊙O相切于点C，BC过圆心O， 所以BC⟂AC，△ABC是直角三角形. 在Rt△ABC中，因为∠BAC=63°，∠ACB=90°， 所以∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=27°. 即∠ABC的度数的度数为27°. 如图，OA为⊙O的半径，直线l过点A，且l⊥OA. （1）如果用r表示⊙O半径的长，d表示圆心O到直线l的距离，那么r与d具有怎样的数量关系呢？ （2）直线l是⊙O的切线吗？ 知识点2 切线的判定 新知探究2 A l o 因为l⊥OA，垂足为A，所以d=r，因此l与⊙O相切，直线l是⊙O的切线. 12 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 归纳 几何语言 O A C B ∵BC⊥OA于A，OA为⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线. 两个必备条件： 1.直线过半径的外端; 2.直线垂直于这条半径. 13 2.如图， 已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上，点D 在⊙ O 上，连接CD，且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线. 证明：如图，连接OD. 由题意可知CD=OD=OA= AB=2. ∵ OC=2 ，∴ OD2+CD2=OC2. ∴∠ ODC=90°，即OD ⊥ CD. 又∵点D 在⊙ O 上，∴ CD 是⊙ O 的切线. 14 归纳 判定直线与圆相切的方法 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l l r d A l O 15 3.如图，AB为⊙ O的直径，PD切⊙O于点C， 交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD. (1)求∠D的度数. (2)若CD=2，求BD的长. 16 解：（1）如图，连接OC. ∵ AO=CO，∴∠ OAC= ∠ ACO. ∴∠ COD=2 ∠ CAD. 又∵∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠ COD. ∵ PD 切⊙ O 于点C， ∴ OC ⊥ PD，即∠ OCD=90° . ∴∠ D=45° . （2）由(1)可知△ OCD 是等腰直角三角形. ∴ OC=CD=2. 由勾股定理，得OD= ∴ BD=OD－OB= 17 归纳 1.证切线时辅助线的添加方法 有交点，连半径,证垂直; 无交点，作垂直,证半径. 2.有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 3.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 18 随堂演练 1.下列说法正确的是 （ ） A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线 B 19 2.如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为31°，过C点的切线PC 与AB 的延长线交于点P，则∠P 等于( ) A.24° B.25° C.28° D.30° C 20 3.如图，在△ ABC 中，AB=6，以点A 为圆心，3 为半径的圆与边BC 相切于点D， 与AC，AB 分别交于点E 和点G，点F 是优弧GE 上一点，∠CDE=18°，则∠ GFE 的度数是( ) A.50° B.48° C.45° D.36° B 21 4.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线. 22 5.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切. 归纳提升 O A B C D 证明：过点O作OE⊥AC于点E. ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB, ∴ OE＝OD. ∵ OD是⊙O的半径, ∴ AC是⊙O的切线. E 23 6. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD. 求证：CD为⊙O的切线. 证明: ∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC. ∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OCB=∠DBC, ∴OC∥BD. ∵BD⊥CD，∴OC⊥CD， ∴CD为⊙O的切线. 24 7.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E. 求证：CD与小圆相切. 证明：连接OE，过O作OF⊥CD，垂足为F． 　　∵AB与小圆O切于点E，∴OE⊥AB． 　　又∵AB=CD， 　　∴OF=OE，又OF⊥CD， 　　∴CD与小圆O相切． F ∟ 25 课堂小结 切线的性质和判定 切线的性质 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 性质定理 常作辅助线 26 绿卡图书—走向成功的通行证 27 $$