七年级下学期开学考试 重难点检测卷（考试范围：七上全部内容）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

七年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较，，，这四个数，其中最小的是（    ） A． B． C． D．0 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）据浙江省统计局统计，2023年上半年全省生产总值为3871700000000元．数3871700000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（      ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一个长方形和四个相同的小正方形按图1，图2所示的两种方式摆放，则该长方形的周长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）大约从20世纪50年代开始，许多国家流传着这样一个数学猜想，其原理如下图数值转换器．若开始输入的值是5，则第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2025次输出的结果是（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的解是负整数，m是整数，则所有满足条件方程的解的和为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如左图是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如右图，先将甲玻璃棒竖直向上提起4，露出水面部分高度为，保持甲玻璃棒离容器底部4不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起6，发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为（   ） A．7.5 B．8.0 C．8.5 D．9.0 10．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（20-21八年级上·辽宁锦州·期中）比较大小： ． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）某工厂甲乙两个车间计划每月生产3600个零件，上月甲车间产量比原计划增长了，乙车间产量比原计划增长了，因此两车间共生产了4000个零件，那么甲、乙车间上月实际生产的零件数分别是 ． 14．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下面每个大正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律填空： （1）第4个图中，中间数字 ； （2）第n个图中，五个数字的和为 （用含n的代数式表示）． 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) ； (2) ． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 19．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中． 20．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求的值． 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，平面内四点，按下列要求作图（保留作图痕迹并标注相关字母）． (1)画射线； (2)画直线： (3)连结，并延长至点，使得； (4)在直线上找一点，使得最小． 22．（24-25七年级上·浙江·期中）浣东初中组织七年级学生参加秋季研学活动，共有m名教师与n名学生参加．学校咨询了甲、乙两家旅行社，两家旅行社给出了不同的报价．甲旅行社：教师全价，80元/人，学生半价，40元/人；乙旅行社：全部成员，六折优惠，即48元/人．两家旅行社提供的服务项目与服务质量相同． (1)用含m、n的代数式分别表示两家旅行社的收费． (2)当，时，选择哪家旅行社总价更优惠？ 23．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如，如图所示的数轴上，点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数，点B表示数1，且，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中点______是点A，B的“关联点”． (2)点A表示数，点B表示数14，P为数轴上一个动点． ①若点P在点B的左侧，且P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数． ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 24．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知O是直线上的一点，是直角，平分． 【猜想】 如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表：求与的数量关系． 【探究】 小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由． 【拓展】 将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间秒，为的角平分线，当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较，，，这四个数，其中最小的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和绝对值，有理数大小比较．先计算相反数和绝对值，再根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．依此即可求解． 【详解】解：，， 因为，，， 所以，即， 所以其中最小的数是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）据浙江省统计局统计，2023年上半年全省生产总值为3871700000000元．数3871700000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解： 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（      ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了对无理数大小的估算能力，能准确理解并运用算术平方根知识是解题的关键．先化简的值，再运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：C ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一个长方形和四个相同的小正方形按图1，图2所示的两种方式摆放，则该长方形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，整式化简的应用，根据是4个小正方形的边长，用代数式表示出小正方形的边长；再根据长方形的长由a和两个小正方形的边长组成，用代数式表示出长方形的长；最后根据长方形的宽为a，即可表示出长方形的周长． 【详解】解：小正方形的边长：， 长方形的长： 长方形的周长：， 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键．把代入方程求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，是方程的解， ∴， 解得：， 则原方程为：， 解得：， 故选：A 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）大约从20世纪50年代开始，许多国家流传着这样一个数学猜想，其原理如下图数值转换器．若开始输入的值是5，则第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2025次输出的结果是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据题目所给运算程序，先计算出前几次输出结果，得出一般规律是关键．从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1次输出的结果是16， 第2次输出的结果是8， 第3次输出的结果是4， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， ， 从第3次开始，数出结果每3次按照4，2，1的顺序循环， ， 第2025次输出的结果为4， 故选：D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的解是负整数，m是整数，则所有满足条件方程的解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．先用含m的式子表示出方程的解，再根据题中的条件求出所有满足条件方程的解，最后加在一起便是结果． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程解是负整数，m是整数， ∴或或， ∴或或， ∴所有满足条件方程的解的和为， 故选：B． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如左图是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如右图，先将甲玻璃棒竖直向上提起4，露出水面部分高度为，保持甲玻璃棒离容器底部4不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起6，发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为（   ） A．7.5 B．8.0 C．8.5 D．9.0 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 根据题意，得等量关系为：将甲玻璃棒竖直向上提起，露出水面部分高度为5，则水面下降了，说明容器的底面积是两个玻璃棒底面积的6倍，设两个玻璃棒底面积为，容器的底面积为y，玻璃棒高为h，乙露出水面部分高度为，则，解方程即可求解． 【详解】解∶设两个玻璃棒底面积为，容器的底面积为y，玻璃棒高为h，乙露出水面部分高度为， 依题意得：， 解得． 再将乙玻璃棒竖直向上提起6，甲璃棒比乙玻璃棒低，甲在水中的部分为， 则， 解得． 故乙玻璃棒露出水面部分高度为． 故选∶C． 10．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（20-21八年级上·辽宁锦州·期中）比较大小： ． 【答案】/小于 【分析】题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根据估算和的大小，推出结果． 【详解】解：因为 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）某工厂甲乙两个车间计划每月生产3600个零件，上月甲车间产量比原计划增长了，乙车间产量比原计划增长了，因此两车间共生产了4000个零件，那么甲、乙车间上月实际生产的零件数分别是 ． 【答案】2240件，1760件 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意设甲车间计划生产x个零件，则乙车间计划生产个零件，利用上月甲车间产量比原计划增长了，乙车间产量比原计划增长了，则两车间共生产了4000个零件，进而得出等式求出答案，根据题意表示出甲、乙两车间生产的零件个数是解题关键． 【详解】解：设甲车间计划生产x个零件，则乙车间计划生产个零件，根据题意可得： ， 解得：， 则（件）， 故甲车间实际生产零件：（件）， 乙车间实际生产零件：（件）． 故答案为：2240件，1760件． 14．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下面每个大正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律填空： （1）第4个图中，中间数字 ； （2）第n个图中，五个数字的和为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 -29 / 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现图形中数字的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现图形中五个数的变化规律，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 图形中左上角的数字依次为1，5，9，…， 所以第n个图中左上角的数字可表示为：； 图形中左下角的数字依次为：4，8，12，…， 所以第n个图中左下角的数字可表示为：； 图形中右上角的数字依次为：2，6，10，…， 所以第n个图中右上角的数字可表示为：； 图形中右下角的数字依次为：3，7，11，…， 所以第n个图中右下角的数字可表示为：； 因为， 所以中间的数字可由右上角和左下角数字的积减去左上角和右下角数字的积求得． 当时， ， 则， 所以． 故答案为：． （2）由题知， 图形中的中间数字依次为：， 所以第n个图中中间数字可表示为：． 所以第n个图中，五个数字的和为：． 故答案为：． 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， 即，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，故②正确； ，， ， 又， ，故③正确； ，， ， ，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2)35 (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”，立方根，算术平方根定义． （1）根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确解答的前提．去括号、合并同类项即可化简，再代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 当时， 原式． 20．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将，代入中进行化简即可求解； （2）将代入（1）中化简后的式子计算即可求解； （3）根据题意得出，再计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， 的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，平面内四点，按下列要求作图（保留作图痕迹并标注相关字母）． (1)画射线； (2)画直线： (3)连结，并延长至点，使得； (4)在直线上找一点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了直线、射线、线段中点及两点之间线段最短，利用直线、射线、线段中点及两点之间线段最短是解题关键． （1）根据射线的定义，可得答案； （2）根据直线的定义，可得答案； （3）根据线段中点的定义，可得答案， （4）根据两点之间线段最短，可得答案． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）解：如图，直线即为所作； （3）解：线段及点即为所作； （4）如图，点P即为所作； 22．（24-25七年级上·浙江·期中）浣东初中组织七年级学生参加秋季研学活动，共有m名教师与n名学生参加．学校咨询了甲、乙两家旅行社，两家旅行社给出了不同的报价．甲旅行社：教师全价，80元/人，学生半价，40元/人；乙旅行社：全部成员，六折优惠，即48元/人．两家旅行社提供的服务项目与服务质量相同． (1)用含m、n的代数式分别表示两家旅行社的收费． (2)当，时，选择哪家旅行社总价更优惠？ 【答案】(1)A旅行社元，B旅行社元 (2)选择甲旅行社总价更优惠 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，用含m，n的代数式分别表示两家旅行社的收费即可； （2）把m、n的值代入（1）中得出的代数式计算求值，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）甲旅行社的收费：元， 乙旅行社的收费：元； （2）当，时， 甲旅行社的收费为：（元）， 乙旅行社的收费为：（元）， ∵， ∴选择甲旅行社总价更优惠． 23．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如，如图所示的数轴上，点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数，点B表示数1，且，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中点______是点A，B的“关联点”． (2)点A表示数，点B表示数14，P为数轴上一个动点． ①若点P在点B的左侧，且P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数． ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 【答案】(1)、； (2)①或或；②38或62或26 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴及数轴上两点的距离： （1）通过验证，，，，与A、B点的距离即可； （2）①根据列方程求解； ②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴是点A，B的“关联点”； ∵，， ∴不是点A，B的“关联点”； ∵，， ∴， ∴是点A，B的“关联点”； ∵，， ∴不是点A，B的“关联点”． 故答案为：、； （2）①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”， 设点P表示的数为x， （I）当P在点A的左侧时，则有：，即， 解得； （Ⅱ）当点P在A，B之间时，有或，则有：或， 解得或． 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧， （I）若点P是A，B的“关联点”，有 ，则有：， 解得 ； （II）若点B是A，P的“关联点”， 则或，则有：或， 解得 或； （Ⅲ）若点A是B，P的“关联点”则，则有：， 解得 ． 综上，点P表示的数为38或62或26． 24．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知O是直线上的一点，是直角，平分． 【猜想】 如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表：求与的数量关系． 【探究】 小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由． 【拓展】 将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间秒，为的角平分线，当时，求的值． 【答案】【猜想】；【探究】；【拓展】或 【分析】猜想：由角平分线的定义结合角的和差运算可得，从而可得结论； 探究：结合角的和差运算可得，从而可得结论； 拓展：先得出，则，再分两种情况讨论当时和时，再建立方程求解即可． 【详解】解：猜想：； ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 探究：符合，理由如下： ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 拓展：①当时，，则， ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ②当时，，则， ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，余补角的定义，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解决问题是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$