八年级下学期开学考试 重难点检测卷（考试范围：八上全部内容）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若点在第二象限，则的取值范围是（      ） A． B． C．或 D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象不可能为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知点B和点E关于直线对称，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 8．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（23-24九年级下·全国·单元测试）不等式组的解集是 ． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为 ． 13．（23-24八年级上·浙江·期末）已知点，把点向上平移6个单位得到点．若点和关于轴对称，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点E在边上，点F在边上，将等边沿折叠，使点A落在边上的点D的位置，，若的长是1，则等边的边长为 ． 15．（24-25八年级上·浙江·假期作业）如图，以的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为 ． 16．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式（组）： (1) (2) 18．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图） (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上找到一点，使的值最小 19．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)求的面积． (2)若点是轴上一点，且，求点的坐标． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 21．（22-23八年级下·浙江嘉兴·开学考试）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表：    课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 从A点向东走到B点，测得． 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上． 从A点出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得，． 测量示意图          (1)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． (2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 22．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 23．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中、满足关系式．点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为t秒． (1) ， ，点的坐标是 ； (2)在点的运动过程中，用含的式子表示点的坐标； (3)在点的运动过程中，连接、，当三角形的面积是12时，直接写出的值． 24．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A选项中的图形，无论怎么折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； B选项中的图形，无论怎么折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； C选项中的图形，无论怎么折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； D选项中的图形，对折后可以重合，属于轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案． 【详解】解：且， ， ， 点是线段中垂线与的交点， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集．熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先分别解出不等式组的每一个不等式的解集，再找出其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若点在第二象限，则的取值范围是（      ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得：， 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象性质，根据，经过第几象限，从而判断，的取值情况，据此即可作答． 【详解】解：A、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、三象限，得，不符合题意； B、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，不符合题意； C、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，自相矛盾，符合题意； D、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第二、三、四象限，得，不符合题意； 故选：C 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知点B和点E关于直线对称，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．如图，连接．设．证明，根据，构建方程求解． 【详解】解：如图，连接． ∵B，E关于对称， ． ， ． ，． ， ． ． ． ． 设，，，， ． 解得． ． 故选：C． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，明确C、P、Q在同一直线上时，取最小值是解题的关键． 连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到，，当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴，， ∵，点Q、P分别是的中点， ∴，， 当C、Q、P在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为：， 故选：D． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先求出不等式组的解集，再根据关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，可以求得的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴， 故选：B． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系内点的平移运动，由题意得，若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点” 反向运动次即可，可以分为两种情况先向右个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是 向右平移个单位得到 , 故矛盾，不成立；先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意，读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解题的关键. 【详解】解：由题意得，若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点” 反向运动次即可，可以分为两种情况： 先向右个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是 向右平移个单位得到 , 故矛盾，不成立； 先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意， ∴点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即， ∴最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ， 故选：． 10．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点代入两个函数关系式，可求出，结合可求出的范围，进而可判断②③；当时，原点到直线的距离最大，结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵直线与的图象交于点， 当时，， ∴当时，， ∴关于的方程的解是，故①正确； ∵直线与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴过一、二、三象限，随的增大而增大， 由直线与的图象交于点，作图如下： 由图可知，不等式的解集是，故②正确； ∵与的图象交于点， ∴当时，， ∴直线一定经过定点，故③正确； 如图，当时，原点到直线的距离最大 ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得；故④错误； 综上，正确的结论是①②③； 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，属于常考题型，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（23-24九年级下·全国·单元测试）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 故答案为： 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握其定义，三角形三边数量关系是解题的关键． 根据三角形三边数量关系，等腰三角形的定义确定等腰三角形的三边的长，由此即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边长为和， 当腰长是5时，，符合题意， 此时周长为：； 当腰长是9时，，符合题意， 此时周长为； ∴该三角形的周长为或， 故答案为：或 ． 13．（23-24八年级上·浙江·期末）已知点，把点向上平移6个单位得到点．若点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、点的平移以及解一元一次方程等知识，理解并掌握平面直角坐标系中点的平移特征以及关于坐标轴对称的点的特征是解题关键．首先根据点的平移确定点的坐标，在结合关于轴对称的点的坐标特征为“横坐标相等，纵坐标互为相反数”列出关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点向上平移6个单位得到点， 则点， 又∵点和关于轴对称， ∴， 解得． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点E在边上，点F在边上，将等边沿折叠，使点A落在边上的点D的位置，，若的长是1，则等边的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、翻折变换的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BD的长或AE的长是解题的关键．设，则，求得，由折叠得，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江·假期作业）如图，以的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理等知识，根据等腰三角形的定义和勾股定理求出，，，再根据勾股定理求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中．若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了面积相等问题，用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是利用三角形的面积公式求出的长． 【详解】如图，过作于，易知， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， 而， ， ， ∴A点坐标为， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为： 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 18．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图） (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上找到一点，使的值最小 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （2）连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 【详解】（1）如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点，    ∴即为所求； （2）如图，连接交于，利用得到，    ∴点即为所求． 19．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)求的面积． (2)若点是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的面积公式及坐标与图形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点的坐标分别为，点的坐标为，求出，得出，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点M的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：依题意，设点M的坐标为， 则：， ∵， ， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【答案】(1)图象见解析，一次 (2)； (3)这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求出一次函数解析式是关键． （1）根据表格数据，画出函数图象，从图象观察符合一次函数图象特征即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先计算出一天的漏水量，再计算出一月的漏水量，最后与1600作除法运算即可． 【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示： 从所画图象看，符合一次函数的特征． 故答案为：一次； （2）解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； （3）解：一天， 一天的盛水量， 一月的盛水量， 可供一人饮用（天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 21．（22-23八年级下·浙江嘉兴·开学考试）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表：    课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 从A点向东走到B点，测得． 从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上． 从A点出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得，． 测量示意图          (1)第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． (2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 【答案】(1)第二小组的方案可行，证明过程见详解 (2)证明方法见详解 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据题意可得，可证，所以，由此即可求解； （2）选择第一小组，可证是等腰直角三角形，可得，可得河宽；选择第三小组，可证是等腰三角形，可得，可得河宽． 【详解】（1）证明：第二小组的方案可行，理由如下， ∵点在点的正北方，从点向正东走到点， ∴， ∵点在点的正东，从点向南走到点， ∴点三点共线，， ∴， ∵树，标杆，人在一条直线上， ∴，且， ∴， ∴， ∴第二小组的方案可行； （2）解：第一小组，根据题意，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽； 第三小组，根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴河宽． 22．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了新定义“相伴方程”，正确理解新定义“相伴方程”，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的方法是解题关键． （1）分别求解方程和不等式组，然后根据“相伴方程”的定义，即可获得答案； （2）分别求解不等式组和方程，结合“相伴方程”的定义可得关于的不等式组，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴，解得． 23．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中、满足关系式．点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为t秒． (1) ， ，点的坐标是 ； (2)在点的运动过程中，用含的式子表示点的坐标； (3)在点的运动过程中，连接、，当三角形的面积是12时，直接写出的值． 【答案】(1)6；； (2)当时，；当时，；当时， (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质： （1）由非负数的性质得，，解得，，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当时，②当时；③当时，分别求解即可； （3）分点P在点上，点P在上，两种情形根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵a，c满足关系式， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴； （2）解：由（1）可知， ①当时，点P在上，此时，； ②当时，点P在上，此时，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则； ③当时，点P在上，此时，， ∴； （3）解：当点P在上，此时， ∴， 解得； 当点P在上时，此时， ∴， 解得； 综上所述，或。 24．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$