八年级下学期开学考试 重难点检测卷（考试范围：八上全部内容）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列图标，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，与交于点O，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在下列实数中：，0，，，，，无理数的个是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，，直线．当直线l沿射线方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形的边分别相交于点E，F．设直线向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图所示，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（    ） A． B． C． D．2 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若某个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 12．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 13．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求 ． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为 ． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数（、是常数，且），的图像交于点，则关于的不等式的解集为 ． 17．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，、分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在长方形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．动点在直线上，点在线段上，当是以为斜边的等腰直角三角形，则直线的的解析式为 ． 三、解答题（10小题，共84分） 19．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中） （1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在图中直线l上找一点P，使的长最短． （2）在图2的中，试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 22．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角中，，．点是线段上一点，过点作的垂线，交直线于点，连接，取的中点，连接，． (1)当点在线段上时，试写出与的关系，并说明理由； (2)当点在线段外时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请举出反例；若成立，请画出图形，并说明理由． 24．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，解答下列各题 (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，求的值． 25．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求这个一次函数的图像与轴的交点坐标． 26．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 27．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴正半轴上，如果在第一象限存在点使得，且点在直线的右侧，则称点是线段的“等腰点”，已知点是线段的“等腰点”． (1)如图1，已知、，则在坐标、、中，能够是线段的“等腰点”的点是______，此时长为______； (2)如图2，已知、，且，求“等腰点”点的坐标； (3)如图3，已知、，满足，且，直接写出的最大值． 28．（24-25八年级上·江苏南京·期末）几何的构图联想中，中点的构图方向是非常重要的思维念头，在和中，，，，，是的中点，连接，探究下列问题： 【初步探究】 （1）如图，当与无重叠时，    若，，则的范围是 ； 求证：； 【模型再研】 （2）如图②，当与有重叠时，写出与所满足的位置关系，并说明理由．    【结论运用】 （3）已知直线与直线交于点，连接，若，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列图标，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，与交于点O，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在下列实数中：，0，，，，，无理数的个是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根、立方根，先化简，再结合无限不循环小数即为无理数，即可作答． 【详解】解：依题意，， ，都是无理数， ∴无理数的个数是2个， 故选：B 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平移变换以及关于轴对称点的性质，利用平移的性质得出点的坐标，再直接利用关于轴对称点的性质得出点坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点向右平移个单位长度，得到点，则， 作点关于轴的对称点，得到点， 点的坐标是． 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 8．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算、数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 9．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，，直线．当直线l沿射线方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形的边分别相交于点E，F．设直线向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图所示，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到的长，过点A作于点P，即可求出的长，最后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，当直线l移动到经过点A时， ∵，直线， ∴，且此时， ∴， ∴． 过点A作于点P， ∴． 如图，当直线l由点A移动到经过点C时，交于点N，结合图象可知． 如图，当直线l由点C移动到经过点D时，结合图象可知， ∴． 结合图象又可直接得出． ∴四边形的面积是． 故选C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解答本题的关键是明确题意，正确作出辅助线，利用数形结合的思想解答． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，设，，，由勾股定理得，，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理得，， 即， , ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若某个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根的知识，理解并掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题关键．一个正数的平方根有两个，互为相反数，据此列一元一次方程并求得的值，即可作答． 【详解】解：∵某个正数的两个平方根分别是与 ∴ 解得 ∴， 则这个正数为 故答案为：9 12．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2． 13．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =， 故答案为：12． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段中点的坐标计算，正确理解线段中点的坐标计算是解题的关键．利用线段中点的计算公式计算，即得答案． 【详解】解：是线段的中点， ， 解得， ． 故答案为：10． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数（、是常数，且），的图像交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到，当时，函数的图象都在函数的图象的上方，由此得到不等式，即的解集． 【详解】解：如图所示，一次函数与的图像交于点， ∴不等式，即的解集为 故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，、分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，得到，，推出，得到四边形的周长的最小值为，根据对称的性质、正方形的性质和勾股定理可求出、，即可解决问题． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接， ，， ， ， 四边形的周长的最小值为， 正方形的边长为， ，，， ， 四边形的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质，构造三角形是解题的关键． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在长方形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．动点在直线上，点在线段上，当是以为斜边的等腰直角三角形，则直线的的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分点在下方和在上方，两种情况进行讨论求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：设点． ①当点在下方时，如图，过点作，交轴于点，交于点．则：，， ∴， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ∴， ∴， ． ， ∴点，点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴； ②当点在的上方时，如图，过点作，交轴于点，交的延长线于点． 同理，可证， ， ，所以， 点， 同①法可得直线的解析式为：． 故答案为：或 三、解答题（10小题，共84分） 19．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，实数的混合运算， （1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算乘方运算，除法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中） （1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在图中直线l上找一点P，使的长最短． （2）在图2的中，试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）①画图见解析，②P点见解析；（2）作图见解析 【分析】（1）①根据轴对称的性质作图即可． ②连接，交直线于点，则点即为所求． （2）结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，分别作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 本题考查作图—轴对称变换、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接，交直线于点，连接， 此时，此时为最小值， 则点即为所求． （2）如图所示：则点即为所求． 22．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． （1）由得，由得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）先由，，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角中，，．点是线段上一点，过点作的垂线，交直线于点，连接，取的中点，连接，． (1)当点在线段上时，试写出与的关系，并说明理由； (2)当点在线段外时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请举出反例；若成立，请画出图形，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)成立，理由见详解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键在于掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）当点在线段上时，观察知道在直角中，，在直角中，，即可证明出结果； （2）当点在线段外时，（1）中的结论还成立，画出图形同理应用第（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在直角中，，取的中点， ， 过点作的垂线， ， 又在直角中，取的中点， ， ； （2）解：成立，图形如下： 理由如下：，， ， 在直角中，取的中点， ， 过点作的垂线， ， 又在直角中，取的中点， ， ． 24．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，解答下列各题 (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了点的坐标特点与图形； （1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案； （2）根据点P到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，由点在第二象限，得出解方程求出，再代入求值可得． x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐标等于零；点在象限注意横纵坐标的符号，利用到轴、轴的距离相等构造方程是解题关键． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标； （2）解：∵点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：， ∴． 25．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求这个一次函数的图像与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）设这个一次函数的表达式为：，然后把点和代入中，进行计算即可解答； （2）根据轴上的点纵坐标为，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为：， 把点和代入中可得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：当时，， 解得：， ∴这个一次函数与轴的交点坐标为． 26．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为，由于返回时间与去时行驶时间相同，可以得到小丽在景区游玩时间； （2）先求出汽车行驶时每小时的耗电量，可知到达景点时汽车剩余电量为； （3）用待定系数法可得线段所表示的与之间的函数表达式． 【详解】（1） 电动汽车每小时的充电量为 小丽往返均匀速行驶 返回时间与去时行驶时间相同，即为： 段占用时间为 段时间为： 故答案为：； （2）汽车每小时的耗电量均相同，且到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同 耗电量为： 到达景点时汽车剩余电量为： （3）段时间为：，且到达景点时汽车剩余电量为： 汽车每小时的耗电量为，返回时间为 当小丽回家时，剩余电量为： 设段的函数表达式为： 将代入可得： 解得： 段的函数表达式为： 【点睛】本题考查一次函数的应用以及待定系数法求解析式，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 27．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴正半轴上，如果在第一象限存在点使得，且点在直线的右侧，则称点是线段的“等腰点”，已知点是线段的“等腰点”． (1)如图1，已知、，则在坐标、、中，能够是线段的“等腰点”的点是______，此时长为______； (2)如图2，已知、，且，求“等腰点”点的坐标； (3)如图3，已知、，满足，且，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点距离计算公式分别求出点P为对应三个坐标时的长即可得到结论； （2）过点P作轴交x轴于F，过点B作于E，证明，利用全等三角形的性质和线段的和差关系求出的长即可得到答案； （3）取中点D，连接，证明是等边三角形；利用勾股定理求出，则可得到，求出，根据，可得当O、P、D三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵点是线段的“等腰点”， ∴， 当点P的坐标为时，则， ∴此时满足，符合题意， ∴； 当点P的坐标为时，则， ∴此时不满足，不符合题意； 当点P的坐标为时，则， ∴此时不满足，不符合题意； 综上所述，能够是线段的“等腰点”的点是，此时长为； （2）解：如图所示，过点P作轴交x轴于F，过点B作于E，则， ∵、， ∴， ∵点是线段的“等腰点”， ∴， ∵，轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，取中点D，连接， ∵点是线段的“等腰点”， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ∵、， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴当O、P、D三点共线时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，熟知两点距离计算公式是解题的关键． 28．（24-25八年级上·江苏南京·期末）几何的构图联想中，中点的构图方向是非常重要的思维念头，在和中，，，，，是的中点，连接，探究下列问题： 【初步探究】 （1）如图，当与无重叠时，   若，，则的范围是 ； 求证：； 【模型再研】 （2）如图②，当与有重叠时，写出与所满足的位置关系，并说明理由．    【结论运用】 （3）已知直线与直线交于点，连接，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；详见解析 （2），理由见解析 （3） 【分析】（1）倍长中线至，构造三角形全等，找到与线段相等的线段等量代换即可； （2）倍长中线至，证明≌和≌，进而证明； （3）取的中点，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】（1）①证明：延长至点，使得，    ∵是的中点， ∴ ， 在和中， ∴≌ ∴ ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． ② 由①知，， ∴ ， ∴ ， 又 ，， ∴ ， ∴ ， 在和中， ∴ ≌， ∴，即． （2），理由如下： 证明：延长至点，使得，    ∵是的中点， ∴ ， 在和中， ∴ ≌， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， 又 ，， ∴ ，即， ∴ ， 在和中， ∴≌ ∴， 又 ， ∴ ， ∴ ， 即． （3）如图：    取的中点，连接、， 则，， 由（2）知， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了中线倍长、全等三角形的构造和证明、勾股定理、三角形的三边关系，熟练掌握数形结合思想和辅助线的作法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$