4.5 第2课时 建立一次函数模型解决数据预测类型的问题-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第4章 一次函数 4.5 一次函数的应用 第2课时 建立一次函数模型解决数据预测类型的问题 课时导入 动脑筋 奥运会早期，男子撑杆跳高的记录如下表所示： 年份 1900 1904 1908 高度(m) 3.33 3.53 3.73 观察这个表中第二行的数据，你能为奥运会的撑杆跳高记录与奥运会年份的关系建立函数模型吗？ 上表中每一届记录比上一届的记录提高了 0.2 m，可以尝试建立一次函数模型. 用 t 表示从 1900 年起增加的年份，那么，奥运会男子撑杆跳高的记录 y(m) 与 t 之间的函数表达式可以设为 y = kt + b. 由于 t = 0 (即1900年) 时，撑杆跳高的记录为 3.33 m； t = 4 (即1904年) 时，记录为 3.53 m，因此 b = 3.33， 4k + b = 3.53. 解得 k = 0.05， b = 3.33. 于是 y = 0.05t + 3.33. ① 当 t = 8 时，y = 3.73，这说明 1908 年的撑杆跳高记录也符合公式①. 公式①就是奥运会早期男子撑杆跳高记录 y 与 t 之间的函数表达式. 能利用公式 ① 预测 1912 年奥运会男子撑杆跳高记录吗 ？ y = 0.05×12 + 3.33 = 3.93. 实际上，1912 年奥运会男子跳高记录约为 3.93 m. 这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近做预测，结果与实际情况比较吻合. 能利用公式 ① 预测 20 世纪 80 年代，譬如 1988 年奥运会男子撑杆跳高的记录吗？ y = 0.05×88 + 3.33 = 7.73. 然而，1988 年奥运会的男子撑杆跳高记录是 5.90 m，远低于 7.73 m. 这表明用所建立的函数模型远离已知数据做预测是不可靠的. 例 请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系： 指距 x（cm） 19 20 21 身高 y（cm） 151 160 169 (1) 求身高 y 与指距 x 之间的函数表达式； (2) 当李华的指距为 22 cm 时，你能预测他的身高吗？ 解：设身高 y 与指距 x 之间的函数表达式为 y = kx + b. 将 x = 19， y = 151 与 x = 20，y = 160 代入上式，得 19k + b = 151， 20k + b = 160. （1） 求身高 y 与指距 x 之间的函数表达式； 解得 k = 9，b = -20. 于是 y = 9x - 20. ① 将 x = 21，y = 169 代入①式也符合. 公式①就是身高 y 与指距 x 之间的函数表达式. 解：当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178. 因此，李华的身高大约是 178 cm. （2）当李华的指距为 22 cm 时，你能测算他的身高吗？ 随 堂 小 测 1.小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据： x (厘米) … 22 23 24 25 26 … y (码) … 34 36 38 40 42 … （1）根据表中提供的信息，在同一直角坐标系中描出相应的点，你能发现这些点的分布有什么规律吗？ 解：这些点在一条直线上，如图所示. 30 32 38 36 34 40 23 25 24 21 22 27 26 y (码) x(厘米) O （2）据说某篮球巨人的鞋子长 31 cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？ 解：我们选取点（22，34）及点（25，40）的坐标代入y = kx + b中，得 22k + b = 34， 25k + b = 40. 解得 k = 2，b = -10. ∴ 一次函数的表达式为 y = 2x - 10. 把 x = 31 代入上式，得 y = 2×31 - 10 = 52. ∴可以得到某篮球巨人穿 52 码的鞋子. 2. 世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(℉)计量法. 两种计量法之间有如下的对应关系： x/℃ 0 10 20 30 40 50 y/℉ 32 50 68 86 104 122 (1) 在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想 y 与 x 之间的函数关系； (2) 确定 y 与 x 之间的函数表达式，并检验； (3) 华氏 0 度时的温度应是多少摄氏度？ (4) 华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？ (1) 在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想 y 与 x 之间的函数关系； 解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y 与 x 之间的函数关系为一次函数. (2) 确定 y 与 x 之间的函数表达式，并检验； 解：设 y ＝ kx＋b，把 (0，32) 和 (10，50) 代入得 解得 经检验，点 (20，68)，(30，86)， (40，104)，(50，122) 的坐标均 能满足上述表达式， ∴y 与 x 之间的函数表达式为 (3)华氏 0 度时的温度应是多少摄氏度？ 解：当 y ＝ 0 时， 解得 ∴华氏 0 度时的温度应是 ℃. (4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？ 解：把 y ＝ x 代入， 解得 ∴ 华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40. 3.下图是用棋子摆成的“上”字 ，则第 n 个图共有多少枚棋子？ 图1 图2 图3 图4 解：先列表： x 1 2 3 … y 6 10 14 … 描点：如图所示. 我们发现图形的形状为一条直线，故可设该直线为 y = kx + b. 选取点（1，6）及 点（2，10）的坐标代入 y = kx + b 中， 得 k+b=6， 2k+b=10. 解得 k = 4，b = 2. ∴一次函数的表达式为 y = 4x + 2. 令 x = n，则 y = 4n + 2. ∴ 第 n 个图形有 (4n+2) 棋子. 小结 一次函数模型的应用 ①将实验得到的数据在平面直角坐标系中描出 ②观察这些点的特征，确定选用的函数模型，并根据已知数据求出具体的函数表达式 ③进行检验 ④应用这个函数模型解决问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$