2.6.1 菱形的性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第2章 四边形 2.6 菱 形 2.6.1 菱形的性质 学习目标 1．理解菱形的概念以及菱形与平行四边形的关系. 2．探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，对角相等. 3．了解菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的对称轴. 4．能用菱形的性质进行简单的计算和推理. 学习重点、难点 菱形的性质定理及其应用. 重点： 难点： 性质定理“菱形的对角线互相垂直”的探索与证明. 课时导入 观察 观察图中的平行四边形，它们有什么特点？ 它们的邻边相等. 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 有一个角是直角 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 思考 平行四边形 菱形 邻边相等 知识讲解 菱形的概念： 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 平行四边形 菱形 一组邻边相等 活动 在一张菱形纸片上画出两条折痕，折叠这张纸片(如图)，并回答以下问题： 问题1 菱形是轴对称图形吗? 如果是，指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量 上有什么关系? 菱形的两条对角线有什么关系? 证明猜想 (1) AB = BC = CD =AD； (2) AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵AB = AD， ∴AB = BC = CD =AD. A B C O D 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证： (2)∵AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分). 在等腰△ABD 中， ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC = ∠BAC. 同理可证∠DCA = ∠BCA， ∠ADB = ∠CDB，∠ABD = ∠CBD. A B C O D 知识讲解 菱形的性质： 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 菱形的四条边都相等，对角相等，对角线互相平分. 菱形的对角线互相垂直. 菱形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？ 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 由于菱形是特殊的平行四边形，因此 O 思考 把图中的菱形 ABCD 沿直线 DB 对折，点 A 的对应点是______， 点 C 的对应点是_____， 点 D 的对应点是_____，点 B 的对应点是_____，边 AD 的对应边是 ，边 CD 的对应边是 ，边 AB 的对应边是 ，边 CB 的对应边是 . 点 C 点 A 边 CD 点 B 点 D 边 AD 边 CB 边 AB 菱形是轴对称图形，两条对角 线所在直线都是它的对称轴. 做一做 由此得到 问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， 则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE. E 动脑筋 问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. A B C D O 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. ∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO + AC·DO = AC(BO + DO) = AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 菱形的面积计算有如下方法： (1) 一边长与对边的距离(即菱形的高)的积； (2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； (3) 两条对角线长度乘积的一半． 知识讲解 菱形的面积： 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角线 BD 长 10 cm. 求：(1) 对角线 AC 的长度； (2) 菱形 ABCD 的面积. 解：(1) ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠AED = 90°， (2)菱形ABCD的面积 ∴AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm). D B C A E 例 随 堂 小 测 1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD 的周长是 (　　) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 第1题图 C 2.如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　） A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm B 第2题图 3. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______. 6 cm 4. 根据右图填一填： （1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，那么它的边长是______. （2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_______. （3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则菱形的边长是_______. 3 cm 30° A B C O D 5 cm （4）菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角线长为 11 cm，菱形的周长为_________. 44 cm （5）菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2 ，那么菱形最短的那条对角线长为_______. 8 cm 5.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD ＝ 12 cm，AC ＝ 6 cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6 cm，BD＝12 cm， ∴AO＝3 cm，BO＝6 cm. 在 Rt△ABO 中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4× ＝ (cm)． 6.如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF. 证明：连接 AC. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF. 证明：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB . ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC＝∠DAE.  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA . ∴AO＝BE . 7.如图，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE，AE 交 BD 于 O，且∠DAE = 2∠BAE，求证：OA = EB. A B C D O E 8.如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12， ∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12 ＝ 30. ∴S菱形ABCD＝ 4S△AOB＝ 4×30 ＝ 120. 又∵菱形两组对边的距离相等， ∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h. ∴13h＝120，得 h＝ . 9.如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到 0.01 m和 0.1 m2 ). A　 B　 C　 D　 O　 解：∵花坛 ABCD 是菱形， 归纳：菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是 60°时，菱形被分为以 60°为顶角的两个等边三角形. 小结 菱形的性质 菱形的性质 有关 计算 边 1. 周长 = 边长的四倍 2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半 角 对角线 1. 两组对边平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 是中心对称图形和轴对称图形 对称性 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$