2.5.2 矩形的性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第2章 四边形 2.5 矩 形 2.5.2 矩形的性质 学习目标 1．探索并证明矩形的判定定理： 三个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 2．会运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形. 学习重点、难点 矩形的判定定理及其应用. 重点： 难点： 判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”的探索与证明. 知识回顾 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 课时导入 动脑筋 类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 证明猜想 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 知识讲解 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 应用： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，我们猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？ 思考 你能证明这一猜想吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线相等且平分. 等腰梯形的对角线也相等. 动脑筋 证明猜想 已知：如图,在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线， AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形. 证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义）. A B C D 知识讲解 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 应用： 在平行四边形 ABCD 中， ∵AC = BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. A B C D 例1 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB + ∠ABC = 180°. ∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线， F A B D C H E G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证∠AED = ∠EHG = 90°. ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴ ∠BAE + ∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC = 90°. 例2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是 △ABC 外角 ∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ 90°. 证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC ＝ ∠CEA ＝ 90°. ∴四边形 ADCE 为矩形． 随 堂 小 测 1. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 两点，AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、∠MCA、∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 3. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD (矩形的对角线相等)， AO＝BO＝CO＝DO (矩形的对角线互相平分). ∵ AE＝BF＝CG＝DH， ∴ OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∵EO＋OG＝FO＋OH，即 EG＝FH， ∴四边形 EFGH 是矩形. 4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°， ∴∠ADC = 90°. 又∵△ABC 中，AB = 5，BC = 12，AC = 13， 满足 132 = 52 +122，即 ∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形． A B C D 5.如图，在　 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC = AC， OB=OD= BD. 又∵OA = OD， ∴AC = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 6. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点D 以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3 cm/s 的速度运动．点 P、Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．问经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？ 解：设经过 y s，四边形 PQBA 为矩形， 即 AP＝BQ. ∴ y＝26－3y，解得 y＝6.5. 即经过 6.5 s，四边形 PQBA 是矩形． P Q 小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$