2.5.1 矩形的性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第2章 四边形 2.5 矩 形 2.5.1 矩形的性质 学习目标 1．理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形的关系. 2．探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形对角线相等. 3．会用矩形的性质定理进行推理和计算. 4．理解矩形是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，过每组对边的中点的直线都是矩形的对称轴. 学习重点、难点 矩形的性质定理及其应用. 重点： 难点： 探索并证明性质定理“矩形的对角线相等”以及“矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴”. 课时导入 观察 在小学，我们初步认识了长方形，观察下图中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？ 你还能举出其他的例子吗？ 矩形 活动 1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请注意观察. 知识讲解 矩形的概念： 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形. 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是矩形. 活动 2： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. (1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本，课桌，铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 证明猜想 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B = ∠D，∠C = ∠A， AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B = ∠C = ∠D = ∠A = 90°. 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证： ∠B = ∠C = ∠D = ∠A = 90°. A B C D 证明猜想 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°. 在△ABC 和△DCB 中， ∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴AC = DB. A B C D O 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 知识讲解 矩形的性质： 矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线相等且互相平分. 应用： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，∴∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 例 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形. ∴AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴OA = OB. 又∵∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴OA = AB = 4. ∴AC = BD = 2OA = 8. A B C D O 矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？ 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 由于矩形是平行四边形，因此： O 思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 做一做 随 堂 小 测 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， 下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C 2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 A 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° C 4. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________. 　　　　　　　　　　　　　 5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm． 2.5 A B C D O E F 6.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上点，AE = AD， DF⊥AE ，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 证明：连接 DE，如图. ∵AD = AE，∴∠AED = ∠ADE. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE = ∠DEC. ∴∠DEC = ∠AED. 又∵DF⊥AE， ∴DF = DC. 7. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE：∠BAE＝3∶1，求 ∠BAE 和 ∠EAO 的度数． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. ∴∠OAB＝∠ABE， 又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 8. 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD＝8，AB＝4，求△BED 的面积． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2 ＝ BE2， ∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2， 解得 x＝5，即 DE＝5. ∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 小结 矩形的相关概念及性质 矩形的四个角都是直角，对边相等 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$