2.2.2 第2课时 平行四边形的判定定理3-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第2章 四边形 2.2 平行四边形 第2课时 平行四边形的判定定理3 2.2.2 平行四边形的判定 知识回顾 问题1 除了两组对边分别平行或相等外，平行四边形还有哪些性质？ 平行四边形的两组对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 角： 对角线： 思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？ 问题2 上面的两条性质的逆命题各是什么？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 课时导入 动脑筋 如图，将两根细木条 AC、BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD. 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？ B D O A C 猜想：四边形 ABCD 一直是平行四边形. 你能根据平行四边形的定义证明它们吗？ 证明猜想 A B C D O 已知：四边形ABCD中，OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明： 在 △AOB 和 △COD 中， OA = OC (已知)， OB = OD (已知)， ∠AOB = ∠COD (对顶角相等)， ∴△AOB≌△COD(SAS). ∴∠BAO = ∠OCD，∠ABO =∠CDO. ∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 知识讲解 平行四边形的判定定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 应用： A B C D 在四边形 ABCD 中， ∵AO = CO，DO = BO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. O 例1 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. B O D A C E F 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，BO = DO. ∵AE = CF， ∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = OF. 又∵BO = DO， ∴四边形 BFDE 是平行四边形. 昨天小李同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形玻璃片，只剩下如图所示部分，他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来? 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢？ ( A，B，C 为三顶点，即找出第四个顶点 D ) A B C 探究 D A B C 方法一依据： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 方法一： D A B C 方法二依据： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 方法二： D O A B C 方法三依据： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 方法三： 动脑筋 根据已经学过的知识，猜想一下，两组对角分别相等的四边形的形状是什么? 猜想：是平行四边形. 证明猜想 已知：四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 又∵∠A = ∠C，∠B = ∠D， ∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°， ∴2∠A + 2∠B = 360°， 即∠A +∠B = 180°. ∴ AD∥BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 同理得 AB∥CD. 证明： 知识讲解 平行四边形的判定定理： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 应用： A B C D 在四边形 ABCD 中， ∵∠A = ∠C，∠B = ∠D， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠B ＝ 55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1) 求 ∠D 的度数. (2) 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． (1) 解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°. (2) 证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB. ∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°， ∴∠DCB＝∠DAB＝125°. 又∵∠D＝∠B＝ 55°， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 例2 随 堂 小 测 1. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形(　　) A．OA = OC，OB = OD B．AB = CD，AO = CO C．AB = CD，AD = BC D．∠BAD = ∠BCD，AB∥CD B O D A C B 2. 根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是( ) A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线相等 D. 两组对边分别平行 C 3. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件： ∠A∶∠B ∶∠C∶∠D 的值为 (　　) A. 1∶2∶3∶4 B. 1∶4∶2∶3 C. 1∶2∶2∶1 D. 3∶2∶3∶2 D 4. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O. 如果 AC = 8 cm，BD = 10 cm， 那么当 AO =____cm，BO =___cm 时， 四边形 ABCD 是平行四边形. B O D A C 4 5 5. 如图，五边形 ABCDE 是正五边形，连接 BD、CE，交于点 P． 求证：四边形 ABPE 是平行四边形． 证明：∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴正五边形的每个内角的度数是 AB = BC = CD = DE = AE. ∴∠DEC = ∠DCE = ×(180°-108°) = 36°. 同理∠CBD =∠CDB = 36°. ∴∠ABP =∠AEP = 108° - 36°= 72°. ∴∠BPE = 360° - 108° - 72° - 72° = 108° = ∠A. ∴四边形 ABPE 是平行四边形． A B C D E P 5. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，DE∥AC 交 AB 于 E，求 DE + DF 的值． 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形 AEDF 是平行四边形. ∴DE = AF. 又∵AB = AC = 10，∴∠B = ∠C. ∵DF∥AB， ∴∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C. ∴DF = CF. ∴DE + DF = AF + FC = AC = 10． 6. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD = 12 cm，BC = 15 cm，点 P 自点 A 向 D 以 1 cm/s 的速度运动，到 D 点即停止．点 Q 自点 C 向 B 以 2 cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 t(s). (1) 用含 t 的代数式表示： AP = cm； DP = cm； BQ = cm；CQ =____cm； t (12 - t) (15 - 2t) 2t （2）当 t 为何值时，四边形 APQB 是平行四边形？ 解：根据题意有 AP = t cm，CQ = 2t cm， PD = (12 - t) cm，BQ = (15 - 2t) cm． ∵AD∥BC， ∴当 AP = BQ 时，四边形 APQB 是平行四边形． ∴ t = 15 - 2t，解得 t = 5． ∴ t = 5 s 时四边形 APQB 是平行四边形． 解：∵AP = t cm，CQ = 2t cm， AD = 12 cm， ∴PD = AD -AP = (12 - t) cm. ∵AD∥BC， ∴当 PD = QC 时，四边形 PDCQ 是平行四边形， 即 12 - t = 2t，解得 t = 4， ∴当 t = 4 s 时，四边形 PDCQ 是平行四边形． （3）当 t 为何值时，四边形 PDCQ 是平行四边形？ 小结 从边考虑 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1） 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定方法 两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展) 对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3) 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$