2.2.2 第1课时 平行四边形的判定定理1、2-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第2章 四边形 2.2 平行四边形 第1课时 平行四边形的判定定理1、2 2.2.2 平行四边形的判定 学习目标 1．探索并证明平行四边形的判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2．会运用平行四边形的判定定理判定一个四边形是否为平行四边形. 课时导入 数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？ 只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了 这是为什么呢？ 问题 我们知道，两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 猜想 1：一组对边相等的四边形是平行四边形. 等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误. 猜想 2：一组对边平行的四边形是平行四边形. 梯形的上、下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误. 动脑筋 B A 如图，将线段 AB 向右平移 BC 长度后得到线段 DC，连接 AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD 的形状吗？ D C 四边形 ABCD 是平行四边形 猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 你能证明吗？ 证明猜想 A B C D 作对角线构造全等三角形 一组对应角相等 两组对边分别平行 四边形 ABCD 是平行四边形 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD且 AB∥CD， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 2 1 证明：连接 AC. ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2. 在 △ABC 和 △CDA 中， AB＝CD， AC＝CA， ∠1＝∠2， ∴△ABC≌△CDA(SAS). ∴∠ACB＝∠CAD ，∴AD∥CB. 又∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 知识讲解 平行四边形的判定定理1： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 应用： A B C D 在四边形 ABCD 中， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 例1 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，EB∥FD． 又∵EB ＝ AB ，FD＝ CD， ∴EB＝FD ． ∴四边形 EBFD 是平行四边形． 如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形. 问题1：将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起，任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗? 动脑筋 猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 问题2：用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形吗? 证明猜想 你能根据平行四边形的定义证明吗？ 已知：四边形 ABCD 中，AB＝DC，AD＝BC. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 连接 AC. 在 △ABC 和 △CDA 中， AB＝CD (已知)， BC＝DA(已知)， AC＝CA (公共边)， ∴△ABC≌△CDA(SSS). ∴ ∠1＝∠4，∠ 2＝∠3. ∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 证明： 1 4 2 3 知识讲解 平行四边形的判定定理2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 应用： A B C D 在四边形 ABCD 中， ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 例2 如图， AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△CDA 中， ∵AC = CA，AB = CD， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ∴BC = DA. 又∵AB = CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 随 堂 小 测 1. 已知四边形 ABCD 中有四个条件：AB∥CD，AB＝CD，BC∥AD，BC＝AD，从中任选两个，不能使四边形 ABCD 成为平行四边形的选法是 （　　） A．AB∥CD，AB＝CD B．AB∥CD，BC∥AD C．AB∥CD，BC＝AD D．AB＝CD，BC＝AD C 2.如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = . A F B D C E P 8 3.已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件 . AD = BC 或 AB∥CD 4. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E， F 分别在直线 AD 的两侧，AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．求证：四边形 BFCE 是平行四边形． 证明：∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝BD. 在 △ACE 和 △DBF 中， AC＝DB ，∠A＝∠D， AE＝DF， ∴△ACE≌△DBF(SAS). ∴CE＝BF，∠ACE＝∠DBF. ∴CE∥BF. ∴四边形 BFCE 是平行四边形． 证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形， ∴AD∥EF，AD = EF， EF∥BC， EF = BC. ∴AD∥BC，AD = BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D E F 5. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证： 四边形 ABCD 是平行四边形. 证明：在平行四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，AD = BC， 又∵BF = DH， ∴AH = CF. 又∵AE = CG， ∴△AEH≌△CGF（SAS）. ∴EH = GF. 同理得△BEF≌△DGH（SAS）∴GH = EF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 6. 如图，已知 E，F，G，H 分别是▱ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH．求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 7. 如图，点 C 是 AB 的中点，AD＝CE，CD＝BE． （1）求证：△ACD ≌△CBE； （2）连接 DE，求证：四边形 CBED 是平行四边形． 证明：（1）∵点 C 是 AB 的中点，∴AC＝BC. 在 △ADC 与 △CEB 中， AD＝CE ，CD＝BE ， AC＝BC ， ∴△ADC≌△CEB（SSS）. （2）∵△ADC≌△CEB， ∴∠ACD＝∠CBE. ∴CD∥BE. 又∵CD＝BE，∴四边形 CBED 是平行四边形． 小结 平行四边形的判定 判定定理1 判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$