专题7.2 复数的四则运算【八大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题7.2 复数的四则运算【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 复数的加、减运算】 3 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 4 【题型3 复数的乘、除运算 】 5 【题型4 复数的乘方】 6 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 6 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 7 【题型7 复数范围内分解因式】 7 【题型8 复数范围内方程的根】 9 【知识点1 复数的四则运算】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型1 复数的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．0 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)  ； (2)； (3)； (4)． 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2】（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【变式2-2】（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【题型3 复数的乘、除运算 】 【例3】（23-24高一下·四川巴中·期末）复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-3】（23-24高一下·广东东莞·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D． 【题型4 复数的乘方】 【例4】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，计算（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·河北张家口·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 【变式4-2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏连云港·期中）计算：的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 【例5】（2024·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例6】（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】（24-25高二下·江西九江·阶段练习）设复数z的共轭复数为、复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知复数z满足，则复数z对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【知识点2 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当时，方程有两个不相等的实根 ，； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型7 复数范围内分解因式】 【例7】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【变式7-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【变式7-2】（24-25高一·湖南·课后作业）利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型8 复数范围内方程的根】 【例8】（24-25高一下·全国·课前预习）已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 【变式8-1】（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内解下列方程： (1)； (2)． 【变式8-2】（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【变式8-3】（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 复数的四则运算【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 复数的加、减运算】 3 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 4 【题型3 复数的乘、除运算 】 7 【题型4 复数的乘方】 8 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 9 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 10 【题型7 复数范围内分解因式】 12 【题型8 复数范围内方程的根】 13 【知识点1 复数的四则运算】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型1 复数的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的加减法运算法则求解. 【解答过程】由题意可得：. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．0 【解题思路】根据复数的减法计算即可. 【解答过程】由题意，时，. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式1-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)  ； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据复数的加减法法则直接求解即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3） ； （4） . 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2】（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【解答过程】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【变式2-1】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【变式2-2】（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【解题思路】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【解题思路】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为 （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【解答过程】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为 （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 【题型3 复数的乘、除运算 】 【例3】（23-24高一下·四川巴中·期末）复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简，设，表示出，再根据复数相等的充要条件得到方程，解得、，即可得解. 【解答过程】因为， 设，则， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数乘法可得，再结合除法运算分析求解. 【解答过程】因为，由可得， 所以. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解题思路】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【解答过程】由，可得，所以 所以5. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高一下·广东东莞·期末）若，则（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据题意，由条件可得，再由代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由可得， 所以. 故选：A. 【题型4 复数的乘方】 【例4】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，计算（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数代数形式的除法运算及乘方运算法则计算可得. 【解答过程】因为， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高一下·河北张家口·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方化简复数，从而得到其虚部. 【解答过程】因为，又，，， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【解题思路】先计算，再由幂的运算求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以 故选：B. 【变式4-3】（23-24高一下·江苏连云港·期中）计算：的结果是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的乘方及除法运算法则计算可得. 【解答过程】 . 故选：D. 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 【例5】（2024·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【解答过程】， 由已知得，解得， 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数对应点的性质求解即可. 【解答过程】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【解答过程】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【解题思路】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得. 【解答过程】因，依题意得，. 故选：D. 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例6】（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【解答过程】解：复数满足， ， 在复平面内所对应的点位于第四象限． 故选：D． 【变式6-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案. 【解答过程】 又，故 故该复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A 【变式6-2】（24-25高二下·江西九江·阶段练习）设复数z的共轭复数为、复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】求出复数z，进而求出复数z的共轭复数为，即可得到答案. 【解答过程】，则.则的虚部为3. 故选：A. 【变式6-3】（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知复数z满足，则复数z对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数的乘除法运算化简求得，利用共轭复数的概念写出复数z，进而判断. 【解答过程】∵，∴， ∴，对应点为，为第二象限点， 故选：B. 【知识点2 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当时，方程有两个不相等的实根 ，； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型7 复数范围内分解因式】 【例7】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. 【解答过程】（1）由于， 所以. （2）由于， 所以. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【解题思路】（1）先应用求根公式再写成两个因式相乘； （2）先应用求根公式再写成两个因式相乘. 【解答过程】（1）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 故. （2）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， . 【变式7-2】（24-25高一·湖南·课后作业）利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）根据所给等式，直接可得答案； （2）利用平方差公式结合所给等式，可得答案； （3）先用完全平公式化简，再利用已知等式，可得答案； （4）先配方变为平方和形式,再利用已知等式分解可得答案. 【解答过程】（1）; （2）； （3）； （4）. 【变式7-3】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【解答过程】（1） ； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【题型8 复数范围内方程的根】 【例8】（24-25高一下·全国·课前预习）已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 【解题思路】（1）利用方程根的定义，结合复数相等求出. （2）把代入方程，计算判断方程成立. 【解答过程】（1）由是方程的根，得，即， 而b，c为实数，，解得， 所以. （2）由（1）知方程为， 把代入方程左边，得，因此方程成立， 所以是方程的根． 【变式8-1】（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内解下列方程： (1)； (2)． 【解题思路】（1）先计算一元二次方程的判别式，再利用求根公式及求解即可； （2）先计算一元二次方程的判别式，再利用求根公式求解即可. 【解答过程】（1）由判别式得， 所以利用求根公式得， 所以方程的解为. （2）由判别式得， 所以利用求根公式得， 所以方程的解为. 【变式8-2】（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【解题思路】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. 【变式8-3】（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； （2）当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 综上，的值为：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$