专题7.1 复数的概念【八大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题7.1 复数的概念【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 复数的分类及辨析】 2 【题型2 复数的相等】 2 【题型3 已知复数的类型求参数 】 3 【题型4 复数的几何意义】 5 【题型5 复数的向量表示】 5 【题型6 共轭复数的求解】 6 【题型7 复数的模的计算】 7 【题型8 复数的模的几何意义】 7 【知识点1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的分类及辨析】 【例1】（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【变式1-2】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-3】（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是纯虚数 D．若且，则且 【题型2 复数的相等】 【例2】（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式2-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【题型3 已知复数的类型求参数 】 【例3】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【变式3-1】（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【变式3-3】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若复数是纯虚数，则（    ） A． B．且 C． D． 【知识点2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型4 复数的几何意义】 【例4】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】（23-24高一下·北京通州·期末）复平面内点所对应复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【变式4-3】（23-24高一下·安徽亳州·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型5 复数的向量表示】 【例5】（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，设向量，，所对应的复数为，那么（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点分别为，将向量绕着点（为复平面内的原点）逆时针旋转得到向量，则对应的复数为（    ）    A． B． C． D． 【题型6 共轭复数的求解】 【例6】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·四川遂宁·阶段练习）复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数（为虚数单位），则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型7 复数的模的计算】 【例7】（23-24高一下·北京丰台·期末）设复数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式7-1】（23-24高一下·广东茂名·期中）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．8 D． 【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-3】（24-25高一下·新疆和田·阶段练习）设复数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【题型8 复数的模的几何意义】 【例8】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【变式8-1】（24-25高一·全国·随堂练习）设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【变式8-3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 复数的概念【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 复数的分类及辨析】 2 【题型2 复数的相等】 3 【题型3 已知复数的类型求参数 】 4 【题型4 复数的几何意义】 7 【题型5 复数的向量表示】 8 【题型6 共轭复数的求解】 10 【题型7 复数的模的计算】 11 【题型8 复数的模的几何意义】 12 【知识点1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的分类及辨析】 【例1】（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【解题思路】根据复数的概念即可求解. 【解答过程】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【解答过程】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 【变式1-2】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：D. 【变式1-3】（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是纯虚数 D．若且，则且 【解题思路】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断. 【解答过程】对于，当时，，故选项错误； 对于，当时，，但并不相等，故选项错误； 对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误； 对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确， 故选：D. 【题型2 复数的相等】 【例2】（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【解题思路】根据复数相等的充要条件可得，即可求解. 【解答过程】由可得，所以5， 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【解答过程】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由复数，（，为虚数单位）， 因为，可得，则，解得. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【解题思路】根据复数相等联立方程求得的值. 【解答过程】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 【题型3 已知复数的类型求参数 】 【例3】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【解题思路】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【解答过程】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 【变式3-1】（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】由复数分类可得其虚部为0，可得. 【解答过程】根据题意可得其虚部为，解得. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【解题思路】依题意得，即可求解． 【解答过程】解：是纯虚数， 则，得， 则“”是“是纯虚数”的充要条件， 故选：D. 【变式3-3】（23-24高一下·重庆·阶段练习）若复数是纯虚数，则（    ） A． B．且 C． D． 【解题思路】根据实部为零，虚部不为零列式计算. 【解答过程】由题意可得：，解得或，又，所以. 故选：A. 【知识点2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型4 复数的几何意义】 【例4】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据复数的几何意义判断即可. 【解答过程】在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高一下·北京通州·期末）复平面内点所对应复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据题意，由复数的几何意义即可得到点对应的复数，从而得到结果. 【解答过程】复平面内点所对应复数为，其虚部为. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【解题思路】根据复数虚部、共轭复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项. 【解答过程】复数的虚部为，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D不正确. 故选：C. 【变式4-3】（23-24高一下·安徽亳州·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可. 【解答过程】由题意得，故在复平面内对应的点为， 该点位于第三象限，故C正确. 故选：C. 【题型5 复数的向量表示】 【例5】（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【解答过程】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故选：A. 【变式5-1】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由对称得点B的坐标，即可确定复数. 【解答过程】由题意可知，点A的坐标为，则点B的坐标为， 故向量对应的复数为. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，设向量，，所对应的复数为，那么（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由向量加减法的运算法则，结合复数的几何意义，逐项验证即可. 【解答过程】对于A，由题图可知，， 则不成立，故A错误； 对于B，，则不成立，故B错误； 对于C，，不成立，故C错误； 对于D，，所以有，故D正确. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点分别为，将向量绕着点（为复平面内的原点）逆时针旋转得到向量，则对应的复数为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，，向量与向量关于轴对称，即可求出的坐标，从而求出，再写出其对应的复数即可. 【解答过程】依题意可得，，， 由图知，向量与向量关于轴对称，， ， 所以对应的复数为. 故选：C. 【题型6 共轭复数的求解】 【例6】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据共轭复数的定义可以求得. 【解答过程】由共轭复数的定义可得，复数的共轭复数为， 故选：B. 【变式6-1】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由共轭复数定义以及复数的虚部概念可直接得解. 【解答过程】由题，所以的共轭复数的虚部为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一下·四川遂宁·阶段练习）复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 【解题思路】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案 【解答过程】因为， 所以实部为2，虚部为3，，. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数（为虚数单位），则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先求出其共轭复数，然后可求出结果. 【解答过程】由， 得， 所以其共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 【题型7 复数的模的计算】 【例7】（23-24高一下·北京丰台·期末）设复数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【解题思路】利用复数模的定义计算即得. 【解答过程】复数，则. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高一下·广东茂名·期中）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．8 D． 【解题思路】根据复数的有关概念即可得到结论 【解答过程】因为复数的实部为2，虚部为， 由题意可得，解得， 故选：D. 【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由建立的等量关系，求解，从而判断选项. 【解答过程】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【变式7-3】（24-25高一下·新疆和田·阶段练习）设复数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【解题思路】先求出，再利用二次函数的图象和性质求解. 【解答过程】由题得 当时，的最小值为. 故选：C. 【题型8 复数的模的几何意义】 【例8】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 【变式8-1】（24-25高一·全国·随堂练习）设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，依题意可得，即可得到复数在复平面内的点所在的区域，从而求出其面积. 【解答过程】设，，则， 因为，所以，则， 所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点）， 所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据复数模长的几何意义求解即可. （2）根据复数模长的几何意义求解即可. 【解答过程】（1）复数的模等于2，这表明，复数对应的向量之的长度等于2， 即点到原点的距离等于2， 因此满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． （2）不等式可以化为不等式组 不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合， 不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合， 这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合． 所求的集合是以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.      【变式8-3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$