第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 2．（5分）（24-25高一下·天津·阶段练习）若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 3．（5分）（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 4．（5分）（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 5．（5分）（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 7．（5分）（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（    ） A． B．若为线段的中点，则 C．的最小值为 D．的最大值比最小值大 8．（5分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则P为的中点 D．若P在线段上，且，则的取值范围为 11．（6分）（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面积的最大值为 B．若，且只有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为 D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 13．（5分）（24-25高一下·广东广州·阶段练习）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答. 14．（5分）（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 16．（15分）（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 17．（15分）（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）（23-24高一下·浙江台州·期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 19．（17分）（24-25高一下·新疆·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【解题思路】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，， 但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误； 因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确； 当时，，但不一定有，选项C错误； 当时，有且，当且方向相反时，， 所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误． 故选：B． 2．（5分）（24-25高一下·天津·阶段练习）若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【解题思路】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，求解投影向量即可得结论. 【解答过程】对于A，，则，A错误； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，又在上的投影向量为，D错误. 故选：C. 3．（5分）（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 4．（5分）（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【解题思路】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【解答过程】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 5．（5分）（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】以为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积. 【解答过程】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，      则有，，,为弧上的点且，则， ， . 故选：A. 6．（5分）（24-25高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 【解题思路】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【解答过程】如图所示：    ，， ， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为， 则有所以有 ， 故选：B. 7．（5分）（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（    ） A． B．若为线段的中点，则 C．的最小值为 D．的最大值比最小值大 【解题思路】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项. 【解答过程】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则， 因为， 所以，设，则，则，， 则，即，解得：或（舍去）， 则，， ，A说法正确； 若为线段的中点，则， 所以， 则，解得：，则，B说法正确； 设， 则， 故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误； ，则， 因为，则，所以， 解得：，， 所以的最大值比最小值大，D说法正确. 故选：C. 8．（5分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【解答过程】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据向量数量积的运算即可判断，；根据向量的运算性质和向量垂直的条件即可判断，. 【解答过程】对于，若，则，故不正确； 对于，设，的夹角为，所以， 若，则，所以，即，同向， 所以，故正确； 对于，若，则， 所以， 因为，，所以，故正确； 对于，设，的夹角为， 若，则， 所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 10．（6分）（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则P为的中点 D．若P在线段上，且，则的取值范围为 【解题思路】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示计算可得、投影向量、满足的点可能是ED的中点也可能是AH的中点、，依次判断即可. 【解答过程】如图，以所在直线为y轴，GC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设， 则，整理得， ， 设. A：，得，故A正确； B：， 得，即投影向量为，故B正确； C：， ， 由，整理得， 即，满足此等式的点可能是ED的中点，也可能是AH的中点，故C错误； D：， 由，得， 整理，得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面积的最大值为 B．若，且只有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为 D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 【解题思路】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A；根据正弦定理即可求解B，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D. 【解答过程】由正弦定理可得，即 因为，所以，所以， 对于A，若， 由余弦定理得， 由，，可得， 即，当且仅当时等号成立， 则面积，所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，若，且，由正弦定理得， 所以， 当时，即，时有一解，故B错误； 对于C，若，由正弦定理得，所以 ， 由于为锐角三角形，故且，故， 因此，故，故C正确； 对于D，由于为锐角三角形，，， 所， 故AC边上的高为，故D错误． 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 【解题思路】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【解答过程】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 13．（5分）（24-25高一下·广东广州·阶段练习）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 南偏西 方向用方向角作答. 【解题思路】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【解答过程】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西. 14．（5分）（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【解题思路】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【解答过程】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 【解题思路】（1）由题意直接写出与向量共线的向量即可； （2）证明四边形是平行四边形即可证明. 【解答过程】（1）据题意，与向量共线的向量为：,； （2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ，且， ． 16．（15分）（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【解题思路】（1）求出的坐标，再求出模即可； （2）求出和的坐标，再由，得到关于的方程，求解即可； （3）由向量与的夹角为锐角，得到且与不共线，从而建立关于的不等式关系，求解即可. 【解答过程】（1）由，知，所以． （2）由，知,, 因为， 所以，解得： （3）由题可得，，由已知有与的夹角为锐角， 故即是要且与不共线． 从而命题等价于，即，所以的取值范围是． 17．（15分）（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可得答案； （2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案； （3），， 若，，三点共线，则，求出可得答案. 【解答过程】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 18．（17分）（23-24高一下·浙江台州·期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 【解题思路】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【解答过程】（1）在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； （2） ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； （3）∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 19．（17分）（24-25高一下·新疆·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 【解题思路】（1）根据正弦定理与得到，从而求出； （2）由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换得到，换元后，配方求出最值，得到取值范围. 【解答过程】（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）由（1）知， 又，由余弦定理得， 即， 所以， 由基本不等式可知， 所以，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的周长最大值为； （3）由（1）知， 则 ， 令， 因为，所以，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$