专题6.3 二项式定理【十一大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.3 二项式定理【十一大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求二项展开式】 1 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 2 【题型3 根据二项式的特定项求值】 2 【题型4 用赋值法求系数和问题】 3 【题型5 多项式积的展开式中的特定项问题】 4 【题型6 求展开式中系数最大（小）的项】 4 【题型7 三项展开式的系数问题】 5 【题型8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】 5 【题型9 近似计算问题】 6 【题型10 证明组合恒等式】 6 【题型11 杨辉三角问题】 7 【知识点1 二项式定理】 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（23-24高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·山西朔州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【变式2-1】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（　　） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【变式2-2】（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高三下·湖南永州·阶段练习）若的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【题型3 根据二项式的特定项求值】 【例3】（23-24高二下·江苏连云港·期末）若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【变式3-1】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【变式3-2】（23-24高二下·山东·期末）若展开式的常数项等于 ，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3-3】（23-24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式的常数项是第七项，则正整数的值为(   ) A．7 B．8 C．9 D．10 【知识点2 二项式系数的性质】 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【题型4 用赋值法求系数和问题】 【例4】（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·广东肇庆·期末）若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【变式4-2】（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例5】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 【变式5-1】（23-24高二下·山西吕梁·期末）若的展开式中常数项是20，则（    ） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【变式5-2】（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 【变式5-3】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知 的展开式中各项系数之和为27，则展开式中 项的系数为（   ） A． B．6 C．18 D．30 【题型6 求展开式中系数最大（小）的项】 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【变式6-1】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 【变式6-2】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【题型7 三项展开式的系数问题】 【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）的展开式中项的系数为（    ） A．112 B．136 C．184 D．236 【变式7-2】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【变式7-3】（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．20 B．15 C．6 D．3 【题型8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】 【例8】（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【变式8-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）被3除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【变式8-3】（23-24高二下·广东茂名·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为 ，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（    ） A．2010 B．2021 C．2019 D．1997 【题型9 近似计算问题】 【例9】（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【变式9-1】（24-25高二·全国·单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 【变式9-2】（23-24高二下·安徽·期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ） A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 【变式9-3】（23-24高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【题型10 证明组合恒等式】 【例10】（24-25高二下·全国·课后作业）证明：（n是偶数）. 【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【变式10-2】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【变式10-3】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【题型11 杨辉三角问题】 【例11】（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【变式11-2】（2024高二下·全国·专题练习）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加. (1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明. (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【变式11-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 二项式定理【十一大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求二项展开式】 1 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 2 【题型3 根据二项式的特定项求值】 4 【题型4 用赋值法求系数和问题】 6 【题型5 多项式积的展开式中的特定项问题】 7 【题型6 求展开式中系数最大（小）的项】 9 【题型7 三项展开式的系数问题】 10 【题型8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】 12 【题型9 近似计算问题】 14 【题型10 证明组合恒等式】 15 【题型11 杨辉三角问题】 16 【知识点1 二项式定理】 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（23-24高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二项式定理求解. 【解答过程】二项式 ， . 故选：B. 【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照二项式定理直接展开判断即可. 【解答过程】由二项式定理可知，，故不是展开式的项. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【解题思路】逆用二项展开式定理即可得答案. 【解答过程】 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二下·山西朔州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果. 【解答过程】设， 两边求导数，， 令，得， 取，得. 故选：D. 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【解题思路】根据二项展开式的通项直接运算即可. 【解答过程】由题意可知：展开式中的第3项为. 故选：D. 【变式2-1】（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（　　） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【解题思路】利用二项展开式的通项公式求特定的项. 【解答过程】二项式展开式的通项为： ， 令，解得，， 所以二项式的展开式中常数项为第5项. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数. 【解答过程】由， 当，解得， 所以的系数为， 故选：A. 【变式2-3】（24-25高三下·湖南永州·阶段练习）若的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【解题思路】由给定条件求出幂指数n值，再求出展开式的通项即可作答. 【解答过程】在的二项展开式中，令得所有项的系数和为，解得， 于是得展开式的通项为， 令，得，常数项为. 故选：B. 【题型3 根据二项式的特定项求值】 【例3】（23-24高二下·江苏连云港·期末）若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【解题思路】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解. 【解答过程】展开式的通项为， 令可得为常数项，可得，可得， 故选：C. 【变式3-1】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【解题思路】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【解答过程】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二下·山东·期末）若展开式的常数项等于 ，则（    ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案. 【解答过程】解：展开式的通项公式为：， 所以当时，项的系数为：， 的展开式无常数项， 所以展开式的常数项为：，解得： 故选：C. 【变式3-3】（23-24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式的常数项是第七项，则正整数的值为(   ) A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】由二项式展开式的通项公式，求出展开式的第七项令的次数为0，求解即可. 【解答过程】由二项式展开式的通项公式可知： 展开式的第七项为， 又因为第七项为常数，所以， 故选：B. 【知识点2 二项式系数的性质】 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【题型4 用赋值法求系数和问题】 【例4】（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】赋值法求解即可. 【解答过程】令，得①，令，得②， ①－②，得，即． 故选：A． 【变式4-1】（23-24高二下·广东肇庆·期末）若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【解题思路】通过赋值法令即可求解. 【解答过程】的展开式的通项公式为， 结合，知均为负值， ， 令，得， 故， 故选：D. 【变式4-2】（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令可得，令可得，即可求出，，再利用展开式的通项求出，即可求出，从而得解. 【解答过程】因为， 令可得， 令可得， 所以，， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【解答过程】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C. 【题型5 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例5】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 【解题思路】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解. 【解答过程】由题意，在的展开式中， 其中项为， 所以项的系数为. 故选：A. 【变式5-1】（23-24高二下·山西吕梁·期末）若的展开式中常数项是20，则（    ） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【解题思路】由，写出展开式的通项，从而得到展开式中常数项，即可得解. 【解答过程】， 的展开式的通项公式为， 令，解得，则的展开式的常数项为； 令，解得，则的展开式的常数项为， 因为的展开式中常数项是20，所以，解得. 故选：D. 【变式5-2】（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 【解题思路】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案. 【解答过程】的展开式的二项式通项为，令，则． 的展开式的二项式通项为， 令，可得． 故项的系数为． 故选：D. 【变式5-3】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知 的展开式中各项系数之和为27，则展开式中 项的系数为（   ） A． B．6 C．18 D．30 【解题思路】先根据系数和为27求出参数，再结合二项式定理即可求解. 【解答过程】由题意，解得， 所以展开式中 项的系数为. 故选：C. 【题型6 求展开式中系数最大（小）的项】 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【解题思路】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大. 【解答过程】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 【变式6-1】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 【解题思路】由通项公式列出不等式组可求答案. 【解答过程】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有，解得，即. 故选：B. 【变式6-2】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，得到，从而求出展开式中系数的最小值. 【解答过程】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为， 故选：C. 【变式6-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【解答过程】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 【题型7 三项展开式的系数问题】 【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意展开式的项看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘，分三种情况讨论，根据组合数公式计算可得. 【解答过程】展开式中的项，可看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘； 要得到： ①可以取个，个，个，则为； ②可以取个，个，个，则为； ③可以取个，个，个，则为； 综上可得的系数为. 故选：D. 【变式7-1】（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）的展开式中项的系数为（    ） A．112 B．136 C．184 D．236 【解题思路】根据题意，由二项式展开式的通项公式可知，或，再结合的展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】的展开式的通项为， 要得到项，必有，所以，所以，或. 当时，，而展开式中的项为， 故中项的系数为； 当时，，而中的常数项为1， 故中项的系数为，所以所求项的系数为. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【解题思路】根据题意，令，即可求得所有项的系数之和，得到答案． 【解答过程】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 【变式7-3】（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．20 B．15 C．6 D．3 【解题思路】由，写出展开式的通项，再代入计算可得. 【解答过程】因为， 其中展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以， 即的展开式中的系数为. 故选：B. 【题型8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】 【例8】（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【解题思路】借助二项式的展开式计算即可得. 【解答过程】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 【变式8-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）被3除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】利用二项式定理赋值化简，再将写成形式展开后可求余数. 【解答过程】由二项式定理得， 令得，①， 令得，②， ①②得，， 解得，， 由 ， 故被3除的余数为. 故选：B. 【变式8-2】（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【解题思路】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解. 【解答过程】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 【变式8-3】（23-24高二下·广东茂名·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为 ，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（    ） A．2010 B．2021 C．2019 D．1997 【解题思路】依题意可得，展开计算得到，对比选项得到答案． 【解答过程】因为， 又，故， 又，，， ，结合选项可知只有B符合题意. 故选：B. 【题型9 近似计算问题】 【例9】（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【解题思路】利用二项式定理进行估值即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高二·全国·单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 【解题思路】由二项式定理求解 【解答过程】. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高二下·安徽·期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ） A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 【解题思路】利用二项式定理进行计算． 【解答过程】原式 + ． 故选：A． 【变式9-3】（23-24高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【解题思路】变形，然后根据题意，计算即可得解． 【解答过程】． 故选：C． 【题型10 证明组合恒等式】 【例10】（24-25高二下·全国·课后作业）证明：（n是偶数）. 【解题思路】由分别令和可得. 【解答过程】， 令，得， 令，得， 两式相加得， . 【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【解题思路】利用二项式定理直接证明. 【解答过程】左边= =1=右边. 即证. 【变式10-2】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【解题思路】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【解答过程】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 【变式10-3】（2024高三·全国·专题练习）求证： 【解题思路】利用恒等式及二项式定理，左右展开后对应项系数相同，利用组合数性质计算即可. 【解答过程】考虑恒等式：， 有 ． 左边展开式中的系数为： ， 而右边展开式中项的系数为零． 所以. 即得所证等式． 【题型11 杨辉三角问题】 【例11】（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用组合数的性质即可求解. 【解答过程】由题意可知，从第2行开始，第行的第3个数字为， 故从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为 . 故选：B. 【变式11-1】（24-25高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【解题思路】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【解答过程】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因 ， 则，故C错误； 对于D，因而，故D正确. 故选：D. 【变式11-2】（2024高二下·全国·专题练习）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加. (1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明. (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）写出，利用组合公式进行证明； （2）在第n行存在连续三项，，，得到方程组，求出，，得到答案. 【解答过程】（1）观察得到． 利用组合相关公式证明如下：， 故原式得证. （2）存在，理由如下： 设在第n行存在连续三项，，，其中且，且， 有且，化简得且， 即，解得，， 故三个数依次是45，120，210. 【变式11-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解答过程】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$