18.2.2 第2课时 菱形的判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(人教版)

第十八章 平行四边形 18.2.2 菱形 第2课时 菱形的判定 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理． 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理． 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 2 复习导入 问题1 什么是菱形？ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （1）菱形是轴对称图形； （2）菱形的四条边都相等. （3） 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角. 问题2 菱形有哪些性质？ 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？ 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发, 猜想：对角线垂直的平行四边形是菱形. 下面我们一起证明这个结论. 新课导入 想一想 A B C O D 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA=BC，∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 知识点1 菱形的判定（1） 知识讲解 A B C O D ∵四边形ABCD是平行四边形（如图）， 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 几何语言： 例1 例题解读 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：□ABCD是菱形. 证明：∵AB=5，AO=4，BO=3， ∴AB2=AO2+BO2. ∴△OAB是直角三角形， ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形. A B C O D 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1. 求证：□ ABCD是菱形. 证明：在△AOB中, ∵AB= ， OA=2，OB=1， ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 练 习 我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？ 思 考 证一证 已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵ AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又AB=BC， ∴□ABCD是菱形. 知识点2 菱形的判定（2） 知识讲解 四边相等的四边形是菱形. ∵AB=BC=CD=DA（如图）， ∴四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形为菱形). A B C D 几何语言： 例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10 cm，DF＝AC. 例题解读 例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． ∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm， ∴四边形ACFD是菱形． 总结归纳 四边形 四条边都相等 判定 条件 对角线互相垂直 一组邻边相等 菱形 平行四边形 随 堂 小 测 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 2.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是(　　) A. ∠BAC＝90° B. ∠DAE＝90° C. AB＝AC D. AB＝AE A 3.判断： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形. （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 . （ ） （3）对角线互相平分的平行四边形是菱形. （ ） （4）一组邻边相等的四边形是菱形. （ ） （5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形. （ ） × × × √ √ A B C O D 4.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形： 添加方式1： . 添加方式2： . AC⊥BD AB=BC 5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6，求证：四边形ABCD是菱形． 证明：在平行四边形ABCD中， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴ ， ∵32+42＝52， ∴OD2+OA2＝AD2， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2． （1）求证：AE＝CF． （2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵∠1＝∠2， ∴∠AED＝∠CFB， 在△ADE与△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF； 证明：（2）∵∠1＝∠2， ∴DE∥BF． 由（1）知，△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵BE＝ED， ∴平行四边形EBFD是菱形． 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2． （1）求证：AE＝CF． （2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形． 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE上，且AF＝CE＝AE，试探索当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？ 解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形． 理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠EAC＝60°， ∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC，∠BDE＝90°， ∴∠BED＝60°，∠B＝∠ECD＝30°， ∴∠FEA＝60°，∠ECA＝60°， ∵AF＝CE＝AE，∴△AEF是等边三角形，△EAC是等边三角形， ∴AF＝EF＝EC＝CA， ∴四边形ACEF是菱形． 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$