18.2.2 第1课时 菱形的定义与性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(人教版)

第十八章 平行四边形 18.2.2 菱形 第1课时 菱形的定义与性质 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系. 2.经历菱形性质定理的探索过程. 3.能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明. 经历菱形性质定理的探索过程. 运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明. 2 新课导入 下面几幅图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？ 由上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同点吗？从边的角度想一想。 平行四边形 菱形 想一想 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 归纳 菱形是特殊的平行四边形. 菱形具有一般平行四边形的所有性质. 平行四边形不一定是菱形. 知识点1 菱形的定义 知识讲解 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它的一组邻边相等，菱形是否也具有一般平行四边形不具有的特殊性质呢？如果有，是什么？ 思 考 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质： 知识点2 菱形的性质 （1） 菱形的四条边都相等. （2） 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角. 知识讲解 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD. A B C D O 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD， ∴ AB = BC = CD =AD. 证一证 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD. A B C D O 证明：（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD，即AC⊥BD. 证一证 比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形. 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ S菱形ABCD= AC · BD 例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． A　 B　 C　 D　 O　 例题解读 解：∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°= 30°. 在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10（m）， BO= = == 10（m） ∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20（m）， BD=2BO= 20≈ 34.64（m）. 花坛的面积 S菱形ABCD =4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4（m2）. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=2，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB = BD(菱形的四条边相等)， ∴ AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB=OD=BD =×2=1(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 2. A C D O B 练 习 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=2，求菱形的边长AB和对角线AC的长. A C D O B 在RtΔAOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴ OA = = = ∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）. 练 习 总结归纳 随 堂 小 测 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2， ∴BO = . ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴BD 的长为 6 cm. 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长. 3.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°. 又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°. ∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形. 4.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.求证：AC，CA分别平分∠BAD和∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD ，AC⊥BD， ∴AC平分∠BAD， 同理：CA平分∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$