18.2.1 第1课时 矩形的定义与性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(人教版)

第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 第1课时 矩形的定义与性质 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.理解矩形的概念，了解其与平行四边形之间的关系. 2.探索并证明矩形的性质定理. 3.应用矩形的性质定理解决相关问题. 探索并证明矩形的性质定理. 应用矩形的性质定理解决相关问题. 2 新课导入 问题1 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 问题2 你还能举出一些生活中的例子吗？ 观察下图，把平行四边形的一个内角变为90°，这时的 平行四边形是什么图形？ ∟ 新课导入 思 考 知识讲解 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识点1 矩形的定义 (1）矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗? 矩形具有一般平行四边形的所有性质. (2）矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴? 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴. (3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流. 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等，等等. 新课导入 想一想 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形. ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)， AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证： （1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB. A B C D O 证一证 (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证： （1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB. A B C D O 知识讲解 定理 矩形的四个角都是直角. 定理 矩形的对角线相等. 知识点2 矩形的性质 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD(矩形的对角线相等)， BE= DE= BD，AE=CE= AC (矩形对角线相互平分)， ∴BE= AC. C D E A B 新课导入 知识讲解 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题解读 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）， AC = BD(矩形的对角线相等)， OA= OC= AC，OB = OD = BD(矩形对角线互相平分). 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. A B C D O 例题解读 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. A B C D O ∴OA = OD. ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 你还有其他解法吗？ 例题解读 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. A B C D O 另解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等)，OA= OC= AC，OB =OD = BD(矩形对角线互相平分).∴OA = OB. 又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=2.5. ∴AC=BD=2OA=5. 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 ．求矩形对角线的长． A　 B 　 C 　 D 　 O 　 练 习 ∴AC与BD相等且互相平分， ∴OA=OB=OC=OD， ∵∠AOB=60°， ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OA=AB=4cm 例2 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：如图，连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC 的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC.∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE. 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°. 点D是AB边的中点. 试判断△BCD的形状，并说明理由. 解：△BCD为等边三角形. ∵∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴CD=AB=BD 在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴∠B=90°-∠A=60°. 在△CBD中，CD=BD，∠B=60°， ∴△BCD为等边三角形. 练 习 总结归纳 2.矩形的性质 （1）矩形的四个角都是直角. （2）矩形的对角线相等. （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 随 堂 小 测 1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　) A．2.2 cm B．2.3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm D A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 A B C D O D 2.如图,在矩形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16,则图中长度为8的线段有（ ） 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　) A．2.2 cm B．2.3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm D 4.下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 C 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝____cm. 3 6．已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE． 解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4)cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋4)2， 解得x＝6，则AD＝6 cm. 利用面积公式，可得AE·DB＝AD·AB， 解得AE＝4.8 cm. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $$