18.1.2 第1课时 平行四边形的判定定理-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(人教版)

第十八章 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定定理 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.探索并证明平行四边形的判定定理. 2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明. 探索并证明平行四边形的判定定理. 能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明. 2 复习导入 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分. 问题二 平行四边形具有哪些性质？ 问题一 平行四边形的定义是什么？ 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 3 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 问题二 我们得到的这些逆命题都成立吗？ 平行四边形的对角线互相平分。 问题一 你能说出上述三条性质的逆命题吗？ 逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 新课导入 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　 D A B C O 　 证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB， ∴ △AOD≌△COB． ∴ ∠OAD=∠OCB． ∴ AD∥BC． 同理 AB∥DC． ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 证一证 　　证明：连接BD． ∵　AB=CD，AD=BC，BD是公共边， ∴　△ABD≌△CDB． ∴　∠1=∠2，∠3=∠4． ∴　AB∥DC，AD∥BC． ∴　四边形ABCD是平行四边形． 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．　　 D A B C 1 2 3 4 证一证 D A B C 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．　　 证一证 　　证明：∵　多边形ABCD是四边形， ∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°． 又∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°． ∴AD∥BC，AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C∠B=∠D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． D A B C 知识讲解 知识点1 平行四边形的判定定理（1） （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 8 例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC 上的两点，并且 AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO. ∵AE=CF， ∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO. 又BO=DO，∴四边形BFDE是平行四边形. 例题解读 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？ 练习 解：四边形BFDE是平行四边形． 理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC， ∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC， ∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE. ∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A， ∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形． 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形，如果只考虑四边形的一组对边，他们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 思 考 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等。反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 思 考 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证一证 证明：连接AC. ∵AB∥CD，∴∠1=∠2. 又AB=CD，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA. ∴BC=DA. ∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形. 1 2 13 知识讲解 知识点2 平行四边形的判定定理（2） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 14 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ A B C D A B C D 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形. 思 考 例题解读 　　例2　如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：四边形EBFD是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，EB∥FD. 又EB= AB，FD= CD， ∴EB=FD. ∴四边形EBFD是平行四边形. 练习 如图，在四边形ABCD中，对角线 AC,BD 相交于点 O，OA=OC. BA⊥AC，DC⊥AC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. A C D B ┐ ┐ O 证明：∵ BA⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC=∠DCA=90〫， ∴ AB//CD. ∵∠BAC=∠DCA，OA=OC，∠AOB=∠COD, ∴ △AOB≌△COD, ∴AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 总结归纳 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 平行四边形的5种判定方法 1.不能判定四边形ABCD为□的条件是( ) A.AD∥BC，AD=BC B.∠A=∠C，∠B=∠D C.AB=CD，AD=BC D.AB∥CD，AD=BC D 随 堂 小 测 　　2.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．求证：AB∥EF． 　　证明：∵　AB=DC，AD=BC， ∴　四边形ABCD是平行四边形． ∴　AB∥DC． 又∵　DC=EF，DE=CF， ∴　四边形DCFE也是平行四边形． ∴　DC∥EF． ∴　AB∥EF． 3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.求证：BE=DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO=OB，AO=OC， 又E，F分别是OA，OC的中点， ∴EO=FO， 在△DOF与△BOE中， DO=BO，∠DOF=∠BOE，FO=EO， ∴△DOF≌△BOE， ∴BE=DF. 21 4.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？ 解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，两条直铺的铁轨互相平行. 22 5.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF， 又∠AED=∠CFB=90°， ∴△AED≌△CFB， ∴AE=CF. 又∵∠AEF=∠CFE=90°， ∴ AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形. 23 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $$