18.1.1 第2课时 平行四边形对角线的性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(人教版)

第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形对角线的性质 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.进一步探索并掌握平行四边形的对角线的性质. 2.会求平行四边形的面积. 3.应用平行四边形的性质解决简单的几何问题. 探索并掌握平行四边形的对角线的性质. 应用平行四边形的性质解决简单的几何问题. 2 情景导入 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个朋友，他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么? 老大 老二 老三 老四 3 知识讲解 知识点 平行四边形的对角线的性质 探究 如图，在 ABCD中，连接AC，BD， 并设它们相交于点O， A B C D 猜一猜 OA与OC，OB与OD有什么关系？ O 量一量 拿出手中的平行四边形纸片,测量四条线段的长度, 验证你的猜想是否正确? 猜想 OA=OC，OB=OD. 如何验证你的猜想呢？ 4 已知，如图，▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O. 求证：OA＝OC, OB＝OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4. ∴△AOD≌△COB. ∴OA＝OC，OB＝OD. 你还有其他证明方法吗？与同伴交流. 证一证 5 性质3 平行四边形的对边角线互相平分. 平行四边形的性质 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 符号语言 A B C D O 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了面积相等的4个三角形. 6 例1 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， ∴AB－AD＝5cm. 又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm， 则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 7 练习 1. ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC长为（ ） A、5cm B、15cm C、6cm D、16cm A 8 9 练习 1. 在▱ ABCD 中，已知AB=5，BC=3，求它的周长. 如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD＝AB＝5，AD＝BC＝3， 所以▱ABCD的周长为 AB＋BC＋CD＋AD ＝5＋3＋5＋3 ＝16. 解： 10 2.如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　) A. B．2 C．2 D．4 C 11 知识点3 平行线之间的距离 思考 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中的一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ 由平行四边形的概念性质四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC. 12 C B F E A D 若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF. 结论 两条平行线之间的平行线段相等. m n 由平行四边形的定义易知四边形ABCD，CDEF均为平行四边形. 归纳 13 若m // n，A、C、E是直线m上的点，AB⊥n，CD⊥n，EF⊥n.由图可知，线段AB、CD、EF的长就是m、n之间的距离，且为A、C、E到直线n的距离，故易得AB=CD=EF. B F E A n m C D 归纳：两条平行线间的距离是指两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 性质:两条平行线之间的距离处处相等. 14 A B 距离 区别 联系 点和点之间的距离 点到直线的距离 平行线之间的距离 P ∟ l a b A B ∟ 都是指某一条线段的长度 比较归纳 问题延伸 P1 P2 P3 A B 思考 如图，已知直线l∥AB，点P1，P2，P3都在l上△ABP1,△ABP2,△ABP3的面积是否相等？为什么？ 面积相等，同底等高. 例4 已知 ▱ABCD ，AB=8cm, BC=10cm, ∠B=30°，求▱ABCD的面积. 过点A作AE⊥BC,垂足为点E. 在R△ABE中， ∵∠B=30°，AB=8， ∴ AE= AB=4. ∴▱ABCD的面积 解： A B C D E 17 例5 如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 C 分析 ∵直线a∥b，点A，B，C在直线a上，∴点D到直线a的距离与点C到直线b的距离相等．又∵AB＝EF＝2，∴△CEF与△ABD是两个等底等高的三角形． ∴S△ABD＝S△CEF＝5.故选C. 18 随堂演练 1.如图,在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则图中平 行四边形的个数为 (　    ) A.1　     B.2　  C.3　     D.4 C 19 2.在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ） A .45° B. 55° C. 65° D. 75° A A B C M D 20 3.如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 21 4.直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P在直线a，b之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b之间的距离(　　) A．等于7 B．小于7 C．不小于7 D．不大于7 D 5.如图，设点P是▱ABCD的边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则(　　)A．S3＝S1＋S2 B．S3＞S1＋S2C．S3＜S1＋S2 D．S3＝(S1＋S2) A 22 6. 如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，a∥b,PB⊥b于点B，PA=15cm,PB=12cm,PC=13cm,CD=14cm,则直线a与b之间的距离是 cm. 12 23 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B=56°. 求： (1) ∠ADC和∠BCD的度数； (2) AB和BC的长度. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝56°， ∴∠ADC＝∠B＝56°， ∠BCD＝180°－∠B＝180°－56°＝124°. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝25，BC＝AD＝30. A B C D 30 25 24 8.在▱ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，求▱ABCD的周长 解：分情况讨论如下： 如图①.BE＝3 cm，CE＝4 cm.∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB. ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠AEB. ∴AB＝BE＝3 cm. ∴▱ABCD的周长＝(3＋3＋4)×2＝20(cm)． 25 8.在▱ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分， 求▱ABCD的周长. 如图②.BE＝4 cm，CE＝3 cm. 同理可得AB＝BE＝4 cm. ∴▱ABCD的周长＝(4＋4＋3)×2＝22(cm)． 26 平形四边形的性质 性质 课堂小结 定义 两组对边分别平行的四边形 边 两条平行线的性质 角 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 两条平行线之间的距离处处相等 绿卡图书—走向成功的通行证 28 $$