18.1.1 第1课时 平行四边形边、角的性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(人教版)

第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形边、角的性质 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.了解平行四边形的定义. 2.探索并掌握平行四边形的边、角等性质，并能简单应用. 掌握平行四边形的边、角等性质. 探索并掌握平行四边形的边、角等性质，并能简单应用. 2 情景导入 平行四边形是常见的图形，小区的伸拉门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏，都有平行四边形的形象，你还能列举一些其他的例子吗？ 3 如下图，平行四边形在生活中无处不在. 4 知识讲解 知识点1 平行四边形的定义 2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD记 作“ ABCD” ( 要注意字母顺序). 1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. A B C D 5 平行四边形的两个要素： 1.是四边形 2.两组对边分别平行 解读 6 平行四边形的定义的两种含义： 1.作为性质 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥ CD，AD ∥ BC. 2.作为判定 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 解读 7 如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来. D A B C H G F E K 解：∵DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB， ∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即 AEKG, ABHG, AEFD, GKFD, BEKH, CHKF, BEFC, CDGH, ABCD. 例1 8 如图，▱ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是(　　) A．13 B．14 C．15 D．18 练习 D 9 知识点2 平行四边形边、角的性质 探究 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？用直尺和两角器量一量，和你的猜想一致吗？ A B C D 猜想 对边相等，平行四边形对角相等. 如何进行证明呢？ 追问 要证明两条线段、角相等，可以利用什么有关的内容进行转化？ 构造全等三角形 10 证一证 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是 平行四边形,∴AD∥BC，AB ∥ CD, ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴ △ABC≌△CDA, ∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC. ∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，∴∠BAD=∠BCD. A B C D 1 4 3 2 如果不添加辅助线，你能否证明其对角相等？ 11 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AB ∥ CD, ∴∠A+∠B=180°， ∠A+∠D=180°， ∴∠B=∠D. 同理可得∠A=∠C. A B C D 利用平行四边形的定义 12 1.有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决； 2.平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形. A　 B　 C　 D　 方法归纳 四边形 问题 转化 三角形 问题 转化思想 13 性质1 平行四边形的对边相等. 性质2 平行四边形的对角相等. 平行四边形的性质 1. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，AD＝BC. 2. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D. 符号语言 A B C D 文字语言 图形语言 14 已知：如图，在 ▱ABCD 中，E，F是对角线AC的两点，并且AE＝CF.求证：BE=DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD(平行四边形的对边相等）， AB∥CD(平行四边形的定义）. ∴∠BAE＝∠DCF. 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF. ∴BE＝DF. 例2 15 如图，在 ▱ ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平 行四边形各角的度数． 解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD. ∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°. ∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°. ∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°. ∴∠B＝∠D＝120°. 例3 16 平行四边形的两组对边分别平行且相等； 平行四边形的两组对角相等； 平行四边形的邻角互补. 归纳 17 练习 1. 在▱ ABCD 中，已知AB=5，BC=3，求它的周长. 如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD＝AB＝5，AD＝BC＝3， 所以▱ABCD的周长为 AB＋BC＋CD＋AD ＝5＋3＋5＋3 ＝16. 解： 18 2.如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　) A. B．2 C．2 D．4 C 19 知识点3 平行线之间的距离 思考 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中的一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ 由平行四边形的概念性质四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC. 20 C B F E A D 若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF. 结论 两条平行线之间的平行线段相等. m n 由平行四边形的定义易知四边形ABCD，CDEF均为平行四边形. 归纳 21 若m // n，A、C、E是直线m上的点，AB⊥n，CD⊥n，EF⊥n.由图可知，线段AB、CD、EF的长就是m、n之间的距离，且为A、C、E到直线n的距离，故易得AB=CD=EF. B F E A n m C D 归纳：两条平行线间的距离是指两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 性质:两条平行线之间的距离处处相等. 22 A B 距离 区别 联系 点和点之间的距离 点到直线的距离 平行线之间的距离 P ∟ l a b A B ∟ 都是指某一条线段的长度 比较归纳 问题延伸 P1 P2 P3 A B 思考 如图，已知直线l∥AB，点P1，P2，P3都在l上△ABP1,△ABP2,△ABP3的面积是否相等？为什么？ 面积相等，同底等高. 例4 已知 ▱ABCD ，AB=8cm, BC=10cm, ∠B=30°，求▱ABCD的面积. 过点A作AE⊥BC,垂足为点E. 在R△ABE中， ∵∠B=30°，AB=8， ∴ AE= AB=4. ∴▱ABCD的面积 解： A B C D E 25 例5 如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 C 分析 ∵直线a∥b，点A，B，C在直线a上，∴点D到直线a的距离与点C到直线b的距离相等．又∵AB＝EF＝2，∴△CEF与△ABD是两个等底等高的三角形． ∴S△ABD＝S△CEF＝5.故选C. 26 随堂演练 1.如图,在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则图中平 行四边形的个数为 (　    ) A.1　     B.2　  C.3　     D.4 C 27 2.在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ） A .45° B. 55° C. 65° D. 75° A A B C M D 28 3.如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 29 4.直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P在直线a，b之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b之间的距离(　　) A．等于7 B．小于7 C．不小于7 D．不大于7 D 5.如图，设点P是▱ABCD的边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则(　　)A．S3＝S1＋S2 B．S3＞S1＋S2C．S3＜S1＋S2 D．S3＝(S1＋S2) A 30 6. 如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，a∥b,PB⊥b于点B，PA=15cm,PB=12cm,PC=13cm,CD=14cm,则直线a与b之间的距离是 cm. 12 31 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B=56°. 求： (1) ∠ADC和∠BCD的度数； (2) AB和BC的长度. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝56°， ∴∠ADC＝∠B＝56°， ∠BCD＝180°－∠B＝180°－56°＝124°. （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝25，BC＝AD＝30. A B C D 30 25 32 8.在▱ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，求▱ABCD的周长 解：分情况讨论如下： 如图①.BE＝3 cm，CE＝4 cm.∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB. ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠AEB. ∴AB＝BE＝3 cm. ∴▱ABCD的周长＝(3＋3＋4)×2＝20(cm)． 33 8.在▱ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分， 求▱ABCD的周长. 如图②.BE＝4 cm，CE＝3 cm. 同理可得AB＝BE＝4 cm. ∴▱ABCD的周长＝(4＋4＋3)×2＝22(cm)． 34 平形四边形的性质 性质 课堂小结 定义 两组对边分别平行的四边形 边 两条平行线的性质 角 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 两条平行线之间的距离处处相等 绿卡图书—走向成功的通行证 36 $$