八年级下学期开学考试 重难点检测卷（考试范围：八上全部内容）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，下列点位于x轴上的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，对于任意非零实数，关于的函数与函数的图象的交点有可能在（　　）象限 A．第一或第三 B．第二或第四 C．第三或第四 D．第一、第二、第三或第四 4．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是一副三角板，，，，与重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，要使还需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，将，按如图所示方式折叠，点，均落在边上点处，线段，为折痕．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是：（） A．乙用12分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中， ，，．点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动．点和点分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过点和点作于点，于点．设运动时间为，则当为（     ）时，与全等． A．1或12 B．1或 C．或12 D．1，或12 10．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，是等边的中线，是直线上一点，连接，以为边，向下方作等边，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则点P的坐标是 ． 12．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为3，则的面积为 ． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数，自变量的取值范围是，函数值的取值范围是，则这个一次函数表达式是 ． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，已知点、、在同一直线上，和都是等边三角形，，交于点，交于点、交于点，连接． （1）写出一对全等三角形： ； （2）①；②是等边三角形；③，④平分，以上结论正确的是： （填序号）． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若，且∥轴，求点的坐标． 16．（24-25八年级上·安徽·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若这个一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的值． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，，的对边分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，求，，． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若，求的长． 20．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作，使，，连接． (1)当点在线段上时，如图1，证明：且； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由． 21．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 22．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示______（不需证明） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，下列点位于x轴上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0． 根据x轴上的点的纵坐标为0，结合各选项找到符合条件的点即可． 【详解】解：因为x轴上的点的纵坐标为0，各选项中纵坐标为0的点只有选项B， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，对于任意非零实数，关于的函数与函数的图象的交点有可能在（　　）象限 A．第一或第三 B．第二或第四 C．第三或第四 D．第一、第二、第三或第四 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数交点问题，直角坐标系中象限内点的坐标特点，解二元一次方程组求交点是解题的关键．联立两个一次函数解析式求得交点坐标，进而进行判断即可求解 【详解】解：解方程组， 解得，， 当时，，图象的交点在第一象限； 当时，，图象的交点在第三象限； 故选：A． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是一副三角板，，，，与重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理．由三角形内角和定理可求，由对顶角相等，可得，再根据三角形内角和定理，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，要使还需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据题目条件可知，证明的条件已经具备“一组边相等”和“一组对应角相等”，所以只需增加“邻边相等”或者“一组对应角相等”即可． 【详解】解：， ， ， ∴添加，不能证明，故选项A不符合题意； 添加，不能证明，故选项B不符合题意； 添加，则，利用即可证得，故选项C符合题意； 添加，则是，无法证明，故选项D不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，将，按如图所示方式折叠，点，均落在边上点处，线段，为折痕．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质和三角形的内角和定理，利用折叠的性质得出角的等量关系，再根据三角形的内角和定理得出角的数量关系，进行等量代换后计算出所求角度． 【详解】解：在中， ∵， ∴， 根据折叠的性质可知： ，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是：（） A．乙用12分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走1440米才到达 C．甲乙两人之间的最远距离是300米 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米， 甲步行的速度为（米分钟）， 由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故A正确，不符合题意； 乙的速度为（米分钟）， 则乙走完全程的时间为（分钟）， 乙追上甲剩下的路程为：（米， 乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B正确，不符合题意； 当乙到达终点时，甲步行了（米， 甲离终点还有（米， 故甲乙两人之间的最远距离是360米，故C错误，符合题意． 乙休息的时间为（分钟）， 故甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D正确，不符合题意． 故选：C． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中， ，，．点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动．点和点分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过点和点作于点，于点．设运动时间为，则当为（     ）时，与全等． A．1或12 B．1或 C．或12 D．1，或12 【答案】D 【分析】根据题意化成5种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，解方程，熟练掌握判定定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点和点分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动． ∴，， ①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 解得； ②如图2，P在上，Q在上， ∵由①知：， ∴， 解得； 此时， 即此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ∵由①知：， ∴， 解得； ④当Q到A点停止，P在上时，此时， 故时， 解得． ⑤P和Q都在上的情况不存在， 故选：D． 10．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，是等边的中线，是直线上一点，连接，以为边，向下方作等边，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由等边三角形的性质可得，，，进而可得，利用可证得，于是可得，，由三线合一可得，，于是推出点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动，由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据含度角的直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边的中线， ∴，， ∴点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动， ∴当时，有最小值， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，垂线段最短，含度角的直角三角形的性质等知识点，推出点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内点的坐标特征、点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离为，到y轴的距离为，结合第四象限内的点的坐标为求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离为2，到y轴的距离为4， ∴，， 解得，， ∵点在第四象限， ∴，， ∴，，则点P的坐标为， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中线平分三角形面积的性质，由且的面积为3，可得的面积为9，从而得的面积，再由中线平分三角形面积即可求解． 【详解】解：∵，的面积为3， ∴， ∴， ∴； ∵是的中点， ∴； 故答案为：6． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数，自变量的取值范围是，函数值的取值范围是，则这个一次函数表达式是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，待定系数法求出函数解析式即可． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：①当时，一次函数， ∴随增大而增大， ∵自变量的取值范围是，函数值的取值范围是， ∴函数必过， ∴，解得， 一次函数解析式为：； ②当时，一次函数， ∴随增大而减小， ∵自变量的取值范围是，函数值的取值范围是， ∴函数必过， 则：，解得， 一次函数解析式为：． 综上分析，一次函数解析式为或． 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，已知点、、在同一直线上，和都是等边三角形，，交于点，交于点、交于点，连接． （1）写出一对全等三角形： ； （2）①；②是等边三角形；③，④平分，以上结论正确的是： （填序号）． 【答案】 （或或） ①②④ 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质,角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可证明，，，即可解答； （2）由（1）有，得到，从而求得，根据三角形的内角和定理求得，从而判断①正确；根据，，得到是等边三角形，从而判断②正确；过点C作于点M，作于点N，证明，得到，根据角平分线的判定得到平分，从而判断④正确． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ， ∵，， ∴ 在和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． ∴ 在和中 ， ∴． 故答案为：（或或） （2）由（1）有， ∴， ∴ ， ∴．故①正确； 由（1）有， ∴， ∵， ∴是等边三角形．故②正确； 过点C作于点M，作于点N， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．故④正确． 无法证明③成立，故③错误． 结论正确的是①②④． 故答案为：①②④ 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若，且∥轴，求点的坐标． 【答案】(1)点M的坐标为； (2)点M的坐标为． 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质， （1）根据在轴上点的坐标的纵坐标为0，以此建立方程求解即可； （2）根据轴可知，点M，N的横坐标相等，以此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； （2）解：∵点N的坐标为，直线轴， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为． 16．（24-25八年级上·安徽·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若这个一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）利用一次函数图像上点的坐标特征求出该函数图像与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意得过点和 代入得：， 解得， 故一次函数表达式为． （2）解：令，则， ∴B点坐标为：， 令，则， 解得：， ∴A点坐标为：， ∴，， ． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明． （1）由和，得到，根据等量代换得； （2）根据等角的补角相等得到，从而证明．得到，再根据，，求得的长． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ， （2）解：，，， ． 在和中， ， ． ， 又，， ， ． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，，的对边分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，求，，． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理，整式的加减运算，熟练掌握和运用三角形三边关系及三角形内角和定理是解决本题的关键． （1）根据三角形三边关系，即可去掉绝对值符号，再进行整式的加减运算即可求得； （2）首先把代入，可得，再根据三角形内角和定理，即可求得． 【详解】（1）解：在中，的对边分别为， ，， ，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ， ， 解得， 故，． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出，然后再求出结果即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 又， ． ； （2）解：如图，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作，使，，连接． (1)当点在线段上时，如图1，证明：且； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）由题意易证，得出，，进而可证，即； （2）由题意易证，得出，，进而可证，即． 【详解】（1）证明：，， ，， ． 又， ， ，． ， ，； （2）解：，． 理由：，， ，， ，． 又， ， ，， ． ，． 21．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 【答案】(1)， (2)定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每天所获利润为甲种与乙种零件所获利润之和列出函数关系式，再根据题意列不等式组确定x的取值范围即可； （2）先求出价格调整后，y与x的函数关系式，然后分、、三种情况，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ∵制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元， ∴，解得：． ∴y与x的函数关系式，x的取值范围为． （2）解：； ①当时，随的增大而减小， ， 时，利润最小， ，得，（不符合题意，舍去）． ②当时，利润为39600元，不符合题意， ③当时，随的增大而增大， ， 时，利润最小， ，得． 综上所述，定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元． 22．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)符合条件的点P坐标为或 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）直接利用非负数的性质即可解答； （2）先求出运动4秒时点P的运动路程，再求出，可得此时点P在上，求出此时的长即可． （3）分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，根据点P到x轴的距离为，列出方程求解即可 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵轴，且点C在y轴上， ∴； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动， ∴当点P运动4秒时，点P的运动路程为， ∵， ∴， ∴当点P运动4秒时，点P在上，且， ∴； （3）解：存在： ①当P在上运动时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②当P在上运动时，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或． 23．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示______（不需证明） 【答案】(1)； (2)①见解析；②，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据非负性即可求解； （2）①根据，，由此即可求解；②如图所示，过点作的垂线交延长线于点，可证，得到，，再证，得到，由此即可求解； （3）第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点，可证，得到，，再证，得到，由即可求解；第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点，方法同第一种情况；由此即可求解． 【详解】（1）解：已知， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作的垂线交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下， 第一种情况，如图所示，过点作的垂线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，过点作的垂线交延长线于点， 同理可证，，得到， 同理可证，，得到； 综上所述，或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$