七年级下学期开学考试 重难点检测卷（考试范围：七上全部内容）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

七年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与5 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）深中通道是一条连接深圳市和中山市的跨海通道，全长约．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，这是由7个立方体叠成的几何体，用表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，则从上面看到的这个几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期末）以下调查方式比较合理的是（   ） A．了解我校某班学生的身高情况，采用抽样调查的方式 B．了解央视综艺节目《国家宝藏》的收视率，采用普查的方式 C．了解巴黎奥运会男子柔道运动员兴奋剂的使用情况，采用抽样调查的方式 D．了解一架“歼”隐形战机各零部件的质量，采用普查的方式 5．（24-25七年级上·重庆江津·期末）若与的和是单项式，则的值为是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江西上饶·期末）已知线段，延长至点，使，是线段的中点，如果，那么线段的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（浙江省温州市2024-2025学年七年级上学期期末统考数学试卷）《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·陕西西安·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（   ） A．42 B．76 C．142 D．272 9．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）将一副三角板和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，其中一块三角板的锐角顶点与另一块三角板的直角顶点重合，且都在直尺边上的点处，若平分，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024七年级·全国·竞赛）某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）已知一个直棱柱共有个顶点，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的侧面积是 ． 12．（24-25七年级上·重庆江津·期末）下图是⼀个计算机的运算程序，若开始输⼊的时，输出结果为 ． 13．（24-25七年级上·陕西西安·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的解题方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，若代数式的值为7，则代数式的值为 ． 14．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线．若，，则 ． 15．（24-25七年级上·广东深圳·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有 ． ①设有个人，则可列方程：；②设有个人，则可列方程：； ③设有两银子，则可列方程：；④设有两银子，则可列方程： 16．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接，．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25七年级上·重庆江津·期末）化简求值：，其中． 19．（24-25七年级上·山东临沂·期末）解方程 (1)； (2) 20．（2024七年级上·全国·专题练习）一个几何体由一些大小相同的小正方块搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数． (1)请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图； (2)已知每个小正方块的棱长为，求出这个几何体的表面积． 21．（24-25七年级上·陕西西安·期末）某学校对学生暑假参加志愿服务的时长进行抽样调查，将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如下图所示的统计表和统计图（图表信息不完整） 组别 志愿服务的时长时 人数 40 16 请结合以上信息，解答下列问题． (1)填空：____________，____________，____________． (2)补全条形统计图． (3)求扇形统计图中组所对应的圆心角的度数． 22．（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图，已知线段，．点，，的位置如图所示．按要求用尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线、直线、线段； (2)按如下步骤作图： ①作线段； ②在的延长线上作； (3)在（2）的条件下，若，，是线段上的一点，且，求线段的长度． 23．（浙江省温州市2024-2025学年七年级上学期期末统考数学试卷）综合实践 【素材】某商家促销电动车的方案为：A档电动车8折优惠，B档一次性降价600元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 新车原价 A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元） B档：3000元及以上 减免 200元 300元 【问题】 (1)若设原价为元，请用含的代数式填写实付价． 新车原价 A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元） B档：3000元及以上 实付价 ___________元 ___________元 (2)用2120元能购买到原价为多少元的电动车？ (3)甲买了A档电动车，乙买了B档电动车，以下是他们的对话． 求甲、乙的实付价分别是多少元？ 24．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，． (1)如图1，直角三角板的一边与射线重合，则的度数为_______； (2)将直角三角板按照如图2所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数； (3)将图1中的直角三角板绕点转动，使得，且边始终在的内部，求的值． 25．（24-25七年级上·广东深圳·期末）将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】 “碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】 如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】 为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】 若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题： (1)如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． (2)如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值． (3)在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与5 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】此题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，即可求解； 【详解】A、，不互为相反数，故此选项不符合题意； B、，不互为相反数，故此选项不符合题意； C、，与互为相反数，故此选项符合题意； D、，不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）深中通道是一条连接深圳市和中山市的跨海通道，全长约．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，这是由7个立方体叠成的几何体，用表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，则从上面看到的这个几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向看物体，根据几何体，从上面看可得到的形状图是有三行三列，第一行有2个立方体叠加，它们处于中间列；第二行有3列，左边列是1个立方体，中间列是2个立方体叠加，右边列是1个立方体；第三行有1列，处于中间，只有1个立方体．据此逐项判断即可． 【详解】解：从从上面看到的这个几何体的形状图是 ． 故选：D 4．（24-25七年级上·陕西西安·期末）以下调查方式比较合理的是（   ） A．了解我校某班学生的身高情况，采用抽样调查的方式 B．了解央视综艺节目《国家宝藏》的收视率，采用普查的方式 C．了解巴黎奥运会男子柔道运动员兴奋剂的使用情况，采用抽样调查的方式 D．了解一架“歼”隐形战机各零部件的质量，采用普查的方式 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，逐项判断即可． 【详解】解： A、了解我校某班学生的身高情况，人数不多，采用普查的方式，原说法不符合题意； B、了解央视综艺节目《国家宝藏》的收视率，采用抽样调查的方式，原说法不符合题意； C、了解巴黎奥运会男子柔道运动员兴奋剂的使用情况，采用普查的方式，原说法不符合题意； D、了解一架“歼”隐形战机各零部件的质量，采用普查的方式，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·重庆江津·期末）若与的和是单项式，则的值为是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入可得答案． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．（24-25七年级上·江西上饶·期末）已知线段，延长至点，使，是线段的中点，如果，那么线段的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义可求出的长，再根据线段的和差关系求出线段的关系即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．（浙江省温州市2024-2025学年七年级上学期期末统考数学试卷）《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可列出相应的方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 8．（24-25七年级上·陕西西安·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（   ） A．42 B．76 C．142 D．272 【答案】D 【分析】本题考查了探究规律：数字类，找出规律得，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：D． 9．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）将一副三角板和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，其中一块三角板的锐角顶点与另一块三角板的直角顶点重合，且都在直尺边上的点处，若平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差以及角平分线的定义，由题意得，，则，根据角平分线的定义可得，最后用角度和差即可求解，熟练掌握角平分线的定义及角的和差计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：． 10．（2024七年级·全国·竞赛）某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先分别求得三次购物的优惠金额，进而得出第三次购物应付款超过200元，设为元，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：第一次购物付款153元，则优惠了（元）； 第二次购物付款220元，则优惠了（元）； 第三次购物优惠了（元）， 所以第三次购物应付款超过200元， 设为元，则， 解得， 则第三次购物实际付款（元）， 所以三次购物实际付款共（元）． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）已知一个直棱柱共有个顶点，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正棱柱侧面积的计算，根据题意，判断这个直棱柱是六棱柱，利用棱柱侧面积公式即可解答，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵一个直棱柱共有个顶点， ∴这个直棱柱是六棱柱， ∵它的底面边长都是，侧棱长都是， ∴它的侧面积是， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·重庆江津·期末）下图是⼀个计算机的运算程序，若开始输⼊的时，输出结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合，解答本题的关键在于熟练掌握有理数混合运算法则，按照运算程序求解即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·陕西西安·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的解题方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，若代数式的值为7，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，根据已知条件得，将代数式化为，即可求解；能用整体代换法求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ； 故答案为：． 14．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题等知识点，熟练掌握角平分线的定义及几何图形中角度计算问题是解题的关键． 由已知条件“是的平分线，是的平分线”及角平分线的定义可得，，进而可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·广东深圳·期末）明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有 ． ①设有个人，则可列方程：；②设有个人，则可列方程：； ③设有两银子，则可列方程：；④设有两银子，则可列方程： 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设有个人，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有银子两；根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有银子两；设有两银子，根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有人 ；根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有人 ；据此即可求解； 【详解】解：设有个人， 根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有银子两； 根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有银子两； ∴可列方程：；故①错误；②正确； 设有两银子， 根据“若每人分7两，则剩余4两”可得，共有人 ； 根据“若每人分9两，则差8两” 可得，共有人 ； ∴可列方程：；故③错误；④正确； 故答案为：②④ 16．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接，．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线以及折叠求角度，分两种情形：当点在点的右侧；当点在点的左侧，根据或，求出即可解决问题． 【详解】解：∵将对折，将对折， ∴平分，平分， ，， 当点在点的右侧， ∴， ，， ∴， ∴； 当点在点的左侧， ， ，， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9 (2)22 (3) 【分析】该题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则． （1）先算乘法，再算加减法即可解答． （2）先算乘方，再算乘除法，最后计算加减法即可解答． （3）先算乘方、绝对值和括号，再计算乘除法，最后计算加减法即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 18．（24-25七年级上·重庆江津·期末）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减化简求值，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．首先对已知式子进行去括号、合并同类项，将其化简，然后根据非负数和为0求出的值，最后代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解： 由，可得，， ∴原式． 19．（24-25七年级上·山东临沂·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 20．（2024七年级上·全国·专题练习）一个几何体由一些大小相同的小正方块搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数． (1)请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图； (2)已知每个小正方块的棱长为，求出这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据从正面看、从左面的意义，画出这个几何体的形状图即可； （2）根据几何体的表面积的计算方法解答即可． 本题考查了从不同方向看画几何体的形状图，表面积的计算，熟练掌握定义和计算是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有 (个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有 (个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有 (个)， ∴该几何体露在外面的面一共有个， ∵小立方体的棱长为2， ∴这个几何体的表面积为（）． 故这个几何体的表面积为． 21．（24-25七年级上·陕西西安·期末）某学校对学生暑假参加志愿服务的时长进行抽样调查，将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如下图所示的统计表和统计图（图表信息不完整） 组别 志愿服务的时长时 人数 40 16 请结合以上信息，解答下列问题． (1)填空：____________，____________，____________． (2)补全条形统计图． (3)求扇形统计图中组所对应的圆心角的度数． 【答案】(1)4；80；60 (2)图见解析 (3)组所对应的圆心角的度数为 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据组人数是16人和组的百分比为求出总人数，用总人数乘以组的百分比可分别求得的值，根据各组人数之和等于总人数可得的值； （2）结合（1）中所求数据可补全统计图； （3）组所对的圆心角为乘以占比即可． 【详解】（1）解：∵组人数是16人和组的百分比为， ∴参加志愿服务的总人数为（人）， ∴组人数（人），组人数（人）， ∴组人数（人）， 故答案为：4，80，60． （2）解：由（1）得组人数为80人，故补全统计图如下： （3）解：∵组的百分比为， ∴组所对的圆心角的度数为：． 22．（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图，已知线段，．点，，的位置如图所示．按要求用尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线、直线、线段； (2)按如下步骤作图： ①作线段； ②在的延长线上作； (3)在（2）的条件下，若，，是线段上的一点，且，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 (3) 【分析】本题主要考查了画射线，线段、作线段，熟练掌握基本作图以及射线、线段的定义是解题的关键． （1）根据题意，画出射线、直线、线段，即可求解； （2）根据题意，按步骤作图，即可求解； （3）根据，可得，再由求值即可． 【详解】（1）作射线、直线、线段如图所示， （2）按如下步骤作图： ①作线段；        ②在的延长线上作； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， 则． 23．（浙江省温州市2024-2025学年七年级上学期期末统考数学试卷）综合实践 【素材】某商家促销电动车的方案为：A档电动车8折优惠，B档一次性降价600元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 新车原价 A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元） B档：3000元及以上 减免 200元 300元 【问题】 (1)若设原价为元，请用含的代数式填写实付价． 新车原价 A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元） B档：3000元及以上 实付价 ___________元 ___________元 (2)用2120元能购买到原价为多少元的电动车？ (3)甲买了A档电动车，乙买了B档电动车，以下是他们的对话． 求甲、乙的实付价分别是多少元？ 【答案】(1)； (2)用2120元能购买到原价为元或元的电动车 (3)甲的实付价格为元，乙的实付价格为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题的关键． （1）根据题意可得档价格为元，档价格元，即可； （2）列方程和，分别解出即可； （3）设甲的原价为元，乙的原价为元，根据甲的实际价格比乙的实际价格高元，列方程，即可得到甲、乙的原价，即可得到实付价格． 【详解】（1）解：根据题意可得档价格为元，档价格元， 故答案为：；； （2）解：由题意可得，解得， 由题意可得，解得， 用2120元能购买到原价为元或元的电动车； （3）解：设甲的原价为元，乙的原价为元， 根据题意可得， 解得， 甲的实付价格为元，乙的实付价格为元． 24．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，． (1)如图1，直角三角板的一边与射线重合，则的度数为_______； (2)将直角三角板按照如图2所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数； (3)将图1中的直角三角板绕点转动，使得，且边始终在的内部，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算： （1）根据平角的定义进行求解即可； （2）平角的定义，求出，角平分线得到，再根据角的和差关系进行计算即可； （3）分在的右侧和在的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵恰好是的平分线， ∴， ∵， ∴； （3）①当在的右侧时： ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即：； ②当在的左侧时： 则：， ∴， ∴，即：； 综上：或． 25．（24-25七年级上·广东深圳·期末）将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】 “碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】 如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】 为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】 若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题： (1)如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． (2)如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值． (3)在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 【答案】(1)4；5 (2) (3)需要延长个单位长度，才能使得 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了一元一次方程，正确理解题意是解题关键． （1）两小球第一次相遇时，；此时，点代表的小球的路程为；此后，点代表的小球沿正方向以4个单位长度每秒的速度运动，据此即可求解； （2）由（1）得：秒后，点代表的小球到达点，此时，、两点相距：个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以4个单位长度每秒的速度运动；经过秒后，两小球第二次相遇；据此即可求解； （3）由（2）得：两小球第二次相遇时，，且此时两小球距离点个单位长度；推出两小球距离点个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度匀速运动；设，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：两小球第一次相遇时，； 此时，点代表的小球的路程为个单位长度； 此后，点代表的小球沿正方向以4个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以1个单位长度每秒的速度匀速运动； ∴秒后，点代表的小球会先从右侧离开轨道； 故点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，； 故答案为：4；5 （2）解：由（1）得：秒后，点代表的小球到达点，此时，、两点相距：个单位长度； 此后，点代表的小球沿负方向以4个单位长度每秒的速度运动； 经过秒后，两小球第二次相遇； ∴； （3）解：由（2）得：两小球第二次相遇时，，且此时两小球距离点个单位长度； ∴两小球距离点个单位长度； 此后，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度匀速运动； 设，则， 若，则， 解得； ∴需要延长个单位长度，才能使得 学科网（北京）股份有限公司 $$