八年级下学期开学考试 重难点检测卷（考试范围：八上全部内容）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列八个实数：，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）在直角坐标系中，点位于第二象限，且点与轴的距离为3，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 3．（四川省成都市八区联考2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷）体育老师统计了某校八年级7个班级选考“篮球行进间运球上篮”项目的学生人数（单位：人）如下：22，23，22，23，25，20，22，这一组数据的中位数是（   ） A．20 B．22 C．23 D．25 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，是延长线上一点，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖北·期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数：（m、n是常数且、）和一次函数：的图象可能为（   ） A．B．C． D． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论： ①与互余； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知整数满足，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·江西九江·期末）广告公司招聘策划人员一名，某应聘者三项素质测试成绩为：创新能力70分，综合知识80分，语言表达90分，若将创新能力、综合知识和语言表达三项成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 ． 14．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点A、的坐标分别为、，点在第四象限，，且的面积为，则点的坐标为 ． 15．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知关于的方程组的解满足，求的值为 ． 16．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算 (1) (2) 18．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）解方程组 (1)； (2)． 20．（24-25八年级上·河北保定·期末）为了推进全民阅读，学校开展了“阅读月”活动，活动后随机调查了50名学生一个月的课外阅读时间，并将数据整理成如图所示的统计图． (1)图中的值为______； (2)求所调查的学生阅读时间数据的平均数和中位数； (3)若该校有2800名学生，请估计一个月课外阅读时间在样本平均数以上的学生约有多少人． 21．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 22．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）2025年1月1日元旦举行了迎新年东方明珠登高活动，塔底的处到景观台的处有一条长为260米的登高路，运动爱好者小李同学沿此路从走到，停留后再原路返回，其间小李同学离开处的路程米与离开处的时间分之间的函数关系如图中折线所示． (1)求上塔时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)已知小李下塔的时间共26分钟，其中前18分钟（段）内的平均速度与后8分钟内（段）的平均速度之比为，求点的纵坐标． 23．（四川省成都市八区联考2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷）随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 (1)该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ (2)经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 24．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 25．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______． （2）求（1）中点的坐标． （3）类比探究 如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列八个实数：，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，二次根式的化简．分别根据无理数、有理数的定义即可判断．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式的数是无理数． 【详解】解：，，，， ，，，3.14159265，，这些都属于有理数； 无理数有，，0.101001000100001…，共有3个， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）在直角坐标系中，点位于第二象限，且点与轴的距离为3，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点A位于第二象限，并且点A与x轴的距离为3， ∴点A的纵坐标为3． 故选：C． 3．（四川省成都市八区联考2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷）体育老师统计了某校八年级7个班级选考“篮球行进间运球上篮”项目的学生人数（单位：人）如下：22，23，22，23，25，20，22，这一组数据的中位数是（   ） A．20 B．22 C．23 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的求法求解即可，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：将这组数据按从小到大排列为：20，22，22，22，23，23，25， 故这一组数据的中位数是22， 故选：B． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，是延长线上一点，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 直接利用平行线的判定方法依次判断即可． 【详解】A、若，则，故不合题意； B、若，则，故符合题意； C、若，则，故不合题意； D、若，则，故不合题意． 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖北·期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设客人为x人，银子为y两，根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意，得, 故选：A． 6．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 7．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数：（m、n是常数且、）和一次函数：的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象．分情况讨论的符号，逐一判断一次函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】解：当时，则， 一次函数：的图象经过第一、二、四象限，一次函数：的图象经过第一、三、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第一、三、四象限，一次函数：的图象经过第一、二、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第一、二、三象限，一次函数：的图象经过第二、三、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第二、三、四象限，一次函数：的图象经过第一、二、三象限， 综上，只有选项D符合题意， 故选：D． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，解题关键是借助平面直角坐标系画辅助线构造一线三垂直模型从而利用全等性质求解．过点C作轴于点D，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， 点， 是等腰直角三角形，且， ， 中，， 又∵， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， 当时，则， ∴． 故选：B． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可． 【详解】解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论： ①与互余； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴与互余， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②错误； ∵，， ， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知整数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵整数满足， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江西九江·期末）广告公司招聘策划人员一名，某应聘者三项素质测试成绩为：创新能力70分，综合知识80分，语言表达90分，若将创新能力、综合知识和语言表达三项成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．根据加权平均数的计算方法求解，即可解题． 【详解】解：该应聘者的总成绩是分， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】设，由题意得， ，，， ∴四边形是长方形， ∴，即， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：26． 14．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点A、的坐标分别为、，点在第四象限，，且的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标，两点间距离公式，熟练掌握图形与坐标，两点间距离公式是解题的关键；由题意易得轴，且，设，然后根据三角形的面积及两点距离公式可进行求解． 【详解】解：由点A、的坐标分别为、，可知：轴，且， 设， ∵的面积为， ∴， 解得：， 根据两点距离公式可得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为． 15．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知关于的方程组的解满足，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由二元一次方程组的解求参数，先解二元一次方程组，分别用表示出，再代入中解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由②得，， ∵， ∴， ∴， 把代入①得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理等知识点，根据勾股定理得到，分类讨论，如图1，当点落在轴的正半轴上时，如图2，当点落在轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握其性质并能正确的作出图形是解决此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ，， ， ， 如图1，当点落在轴的正半轴上时， 设点的坐标为， 将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时， ， ， ， ； 如图2，当点落在轴的负半轴上时， 设点的坐标为， 将沿所在的直线折叠， 当点落在轴上时， ， ， ， ， 综上所述，当点落在轴上时，点的坐标为或， 故答案为：或. 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的和运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，化简二次根式，最后进行加减计算； （2）先计算乘法，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：． 20．（24-25八年级上·河北保定·期末）为了推进全民阅读，学校开展了“阅读月”活动，活动后随机调查了50名学生一个月的课外阅读时间，并将数据整理成如图所示的统计图． (1)图中的值为______； (2)求所调查的学生阅读时间数据的平均数和中位数； (3)若该校有2800名学生，请估计一个月课外阅读时间在样本平均数以上的学生约有多少人． 【答案】(1)20 (2)平均数为小时；中位数是小时 (3)1400人 【分析】本题主要考查了扇形统计图，求出平均数和中位数，根据样本估计总体，解题的关键是理解平均数和中位数的定义． （1）根据扇形统计图求出a的值即可； （2）根据平均数和中位数的定义求出答案即可； （3）根据样本估计总体即可． 【详解】（1）解：根据扇形统计图可知：， ∴； （2）解：所调查的学生阅读时间数据的平均数为： （小时）， 将所调查的学生阅读时间从小到大进行排序，排在第25位的是12小时，排在第26位的是13小时，因此中位数是（小时）． （3）解：（名）， 答：估计一个月课外阅读时间在样本平均数以上的学生约有1400人． 21．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）85 【分析】本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． ①如图（1），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； ②如图（2），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案； ③根据题意得：，，由②结合得：，再由②的结论即可求解． 【详解】解：①如图（1）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图（2）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ； ∴； ③∵，， ，， ∵，由②得， ∵， ∴， ∴， ∵，由①得， ∴． 故答案为：85． 22．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）2025年1月1日元旦举行了迎新年东方明珠登高活动，塔底的处到景观台的处有一条长为260米的登高路，运动爱好者小李同学沿此路从走到，停留后再原路返回，其间小李同学离开处的路程米与离开处的时间分之间的函数关系如图中折线所示． (1)求上塔时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)已知小李下塔的时间共26分钟，其中前18分钟（段）内的平均速度与后8分钟内（段）的平均速度之比为，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2)点的纵坐标为104 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用，解题的关键是会待定系数法求函数解析式，并能根据数量关系列出关于的一元一次方程． （1）由过原点，故设上山时关于的函数解析式为，将点的坐标代入函数解析式得出关于的一元一次方程，解方程即可得出函数解析； （2）根据比例关系设下山前18分钟内的平均速度为，后8分钟内的平均速度为，结合路程速度时间，得出关于的一元一次方程，解方程可求出的值，再根据路程速度时间可得出点的纵坐标． 【详解】（1）解：设上山时关于的函数解析式为， 根据已知可得：， 解得：． 故上山时关于的函数解析式为． （2）解：设下山前18分钟内的平均速度为，后8分钟内的平均速度为， 由已知得：， 解得：． 故（米． 答：点的纵坐标为104． 23．（四川省成都市八区联考2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷）随着我国网球名将郑钦文在巴黎奥运会中获得网球女子单打冠军，全国各地掀起了一股网球热，与网球有关的用品销量剧增，某厂家计划生产甲、乙两种品牌的网球拍共5000个，两种品牌的网球拍的成本和售价如下表所示： 甲 乙 成本（元/个） 180 320 售价（元） 230 400 (1)该厂家计划用118万元资金全部生产甲、乙两种品牌的网球拍，则生产这两种品牌的网球拍各多少个？ (2)经过市场调研，该厂家决定在原计划的基础上增加生产甲网球拍百个，乙网球拍百个（均为正整数），且两种品牌的网球拍售完后所获得的总利润为40万元，请问该厂家有几种生产方案？该厂家最少需投资多少万元？ 【答案】(1)生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个 (2)有两种，厂家最少需投资152万元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用； （1）设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设生产甲品牌的网球拍个，生产乙品牌的网球拍个， 根据题意得：， 解得， 答：生产甲品牌的网球拍3000个，生产乙品牌的网球拍2000个； （2）根据题意得： ， 整理得：， ， 又都为正整数，为5的正整数倍， 或， 当时，， 需投资：（元）， 当时， ， 需投资：（元）， 又， 最少投资1520000元， 答：厂家生产方案有两种：生产甲网球拍4000个，乙网球拍2500个；生产甲网球拍3200个， 乙网球拍3000个；厂家最少需投资152万元． 24．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小即可； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为：． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得， ∴， 为最小值， 即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为， 即的最小为17． 25．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______． （2）求（1）中点的坐标． （3）类比探究 如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图像的性质，一次函数图像上的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是关键． （1）当时，；当时，；即可求出结论； （2）过点C作 ，交x轴于点D，后证明，求得线段的长度即可得出结论 （3）过点C作 ，交x轴于点H，后证明，则，设，则，表示出求出最小值即可． 【详解】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，； 当时，； （2）过点C作 ，交x轴于点D， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点C作 ，交x轴于点H， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， ， 设，则， 当点A在线段上时，如上图，， ， ， 最小值为8，即最小值为； 当点A在线段上时，如下图，， ,故此时长必大于当点A在线段上时长，舍去； 综上所述，最小值为； 学科网（北京）股份有限公司 $$