七年级下学期开学考试 重难点检测卷（考试范围：七上全部内容）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

七年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有理数，，，中，最小的有理数是（　　） A． B． C． D． 2．（四川省达州市2024—-2025学年七年级上学期期末数学试卷）达川号称“山水泽国”，素有“东川之秀壤，西蜀之名区”的美誉，旅游资源丰富，其中九龙湖风景区四周群山环抱，翠竹苍松，整个风景区容积，数据19540000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如果，那么代数式的值是（   ） A．9 B．7 C．5 D．0 4．（24-25六年级上·山东威海·期末）如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，那么该长方形的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）《孙子算经》中有一道题，原文：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问人和车各是多少？设共有人，可列方程（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·重庆·期末）把5张完全相同的长方形纸片不重叠地放在正方形内，用阴影部分表示，若长方形与长方形周长相等，记长方形周长为，长方形周长为，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于x的多项式A、B，其中，（m，n为常数），若的结果不含项和x项，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（    ） A．8 B．4 C．7 D． 10．（24-25七年级上·黑龙江·期末）如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（四川省达州市2024—-2025学年七年级上学期期末数学试卷）若单项式与是同类项，则的值是 ． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 13．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图分别如图所示．根据所给的两个形状图判断搭成该几何体，最多需要a个小立方块，最少需要b个小立方块，那么 ． 14．（24-25七年级上·重庆·期末）小面是重庆的特色美食，某速食小面加工厂有名工人生产速食小面料包，已知每袋速食小面里有个汤料包和个配料包，每名工人每天可以生产个汤料包或者个配料包，为使每天生产的汤料包和配料包刚好配套，则需要 名工人生产汤料包． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是 ． 16．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，射线平分，射线平分，若，．则的度数为 ． 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 18．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在二进制数中，“110”转化成十进制数为；“1101”转化成十进制数为；则二进制数中的“10011”转化成十进制数为 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中，． 21．（24-25七年级上·山东济宁·期末）解方程： (1)； (2)． 22．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知平面上四点A、B、C、D． (1)按下列语句画出图形； ①画直线；②画射线；③画线段，作的延长线交射线于点E；④连接，并反向延长． (2)若，求的度数． 23．（24-25七年级上·江西抚州·期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批型足球和型足球． 已知型足球的标价比型足球的标价每个贵元，购买个型足球和个型足球共需元． (1)型足球和足球的标价各是多少： (2)该体育用品店推出了以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过元时，超过部分按七折收费． 学校计划在该店购买个型足球和个型足球，选择哪种方案更合算？请说明理由． 24．（24-25七年级上·湖南·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 25．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲、乙两位同学分别求式子的值的方法： 甲同学的方法：直接利用已知正方形图形求， ； 乙同学的方法：设①， ②． 即可． 根据两位同学的方法，你认为 ； (3) ； (4)计算：； (5)请借助甲或者乙同学的方法，求出的值． 26．（24-25七年级上·重庆·期末）如图1，点在直线上，．已知，的两边，分别与射线，重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图2所示，当时，若，且射线OP在内部，则_______，此时的值为_______； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)当时，已知，的边与射线重合，边在的下方．若在旋转过程中，同时绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边或所在直线恰好平分时，直接写出旋转时间的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期开学摸底考 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有理数，，，中，最小的有理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小的比较，绝对值，掌握有理数大小的判别方法是解题的关键； 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，依据此原则即可判断 【详解】解： ，， ， ， 根据有理数大小的比较的方法，可得； 有理数，，，中，最小的有理数是； 故选：B 2．（四川省达州市2024—-2025学年七年级上学期期末数学试卷）达川号称“山水泽国”，素有“东川之秀壤，西蜀之名区”的美誉，旅游资源丰富，其中九龙湖风景区四周群山环抱，翠竹苍松，整个风景区容积，数据19540000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，关键要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的表示形式解答即可． 【详解】解：19540000用科学记数法表示为：． 故选：B． 3．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如果，那么代数式的值是（   ） A．9 B．7 C．5 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的值，利用整体代入法求代数式的值解题的关键．将代数式整理成，再代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：A． 4．（24-25六年级上·山东威海·期末）如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，那么该长方形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是可以发现后来剪拼成的长方形的长为原来大正方形的边长与剪下的小正方形的边长之和．根据图形可知，后来剪拼成的长方形的长为，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：由图可得， 后来剪拼成的长方形的长为． 故选：B． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）《孙子算经》中有一道题，原文：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问人和车各是多少？设共有人，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车可知车的数量为，根据3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可知车的数量为，据此列出对应的方程即可得到答案． 【详解】解：设共有人，由题意得，， 故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义，余角和补角，熟知如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角是解题的关键．设，则，，，，最后根据，列方程即可得到结论． 【详解】解：设，则，，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 故选：D． 7．（24-25七年级上·重庆·期末）把5张完全相同的长方形纸片不重叠地放在正方形内，用阴影部分表示，若长方形与长方形周长相等，记长方形周长为，长方形周长为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用；解题的关键是正确表示出与的周长．设小长方形纸片的长为a，宽为b，再分别表示与的周长，结合的周长与的周长相等及，再进一步解答即可． 【详解】解：设小长方形纸片的长为a，宽为b， 的周长为：， 的周长为：， 的周长为：， ∵的周长与的周长相等， ，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ； 故选：A． 8．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于x的多项式A、B，其中，（m，n为常数），若的结果不含项和x项，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题．根据整式的减法运算法则可列，化简后，项和项的系数为零，列式求解出，，再代入中计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的结果不含项和x项， ∴， 解得：，， ∴， 故选：D． 9．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（    ） A．8 B．4 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，偶数的概念等知识，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，解题的关键是分或两种情况进行讨论． 【详解】解：系数化1得，， 移项得，， 合并同类项得，， 解得，， ∵该方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴或， ①当时，，，，，，， ②当时，，，，，，， 综上所述，可取3，1，7，， ∴a的所有可能的取值的和为，， 故选：A． 10．（24-25七年级上·黑龙江·期末）如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本题的关键．根据补角以及角平分线的定义解决此题． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角， 故①正确． ∵平分， ∴， ∴无法推断得到， 故②错误． ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确． ∵， ∴． ∵平分， ∴ 故④正确． 综上：正确的有①③④． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（四川省达州市2024—-2025学年七年级上学期期末数学试卷）若单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义，字母相同，相同字母的指数也相同的单项式成为同类项，是解决本题的关键． 根据同类项的定义解决此题即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：2． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解的概念，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 根据方程的解的概念可将解代入方程，得到等式关系，可解出k． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图分别如图所示．根据所给的两个形状图判断搭成该几何体，最多需要a个小立方块，最少需要b个小立方块，那么 ． 【答案】15 【分析】本题考查从不同方向看几何体．利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】解：如图：从上面看最少的情况(不唯一)， 最少有：（个）， 如图：从上面看最多的情况， 最多有：（个）， 故：， 故答案为：15． 14．（24-25七年级上·重庆·期末）小面是重庆的特色美食，某速食小面加工厂有名工人生产速食小面料包，已知每袋速食小面里有个汤料包和个配料包，每名工人每天可以生产个汤料包或者个配料包，为使每天生产的汤料包和配料包刚好配套，则需要 名工人生产汤料包． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排人加工汤料包，则人加工配料包，根据题意得，然后求出即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设安排人加工汤料包，则人加工配料包， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键．根据已知条件得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中，， 解得：， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，射线平分，射线平分，若，．则的度数为 ． 【答案】39°/39度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差， 设，可知，再根据角平分线的定义得，然后根据得出方程，求出解，再根据得出答案． 【详解】解：设， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， 则． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在直线上的位置，故要分情况讨论：当在线段上时及当要线段的延长线上时，然后进行求解即可． 【详解】解：本题有两种情况： 当点在线段上时，如图， ，， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ，， ； 故答案为2或6． 18．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在二进制数中，“110”转化成十进制数为；“1101”转化成十进制数为；则二进制数中的“10011”转化成十进制数为 ． 【答案】19 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据二进制转化为十进制的方法，列式计算即可． 【详解】解：10011转化成十进制数为； 故答案为：19． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】(1)按照有理数加减的运算法则计算即可． (2)  按照有理数的乘方混合运算法则计算即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，含有乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】本题考查整式的化简求值．先去括号后再合并同类项，将整式化简后把a，b的值代入即可求解． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21．（24-25七年级上·山东济宁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． 【详解】（1）解：去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： （2）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 22．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知平面上四点A、B、C、D． (1)按下列语句画出图形； ①画直线；②画射线；③画线段，作的延长线交射线于点E；④连接，并反向延长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了射线、直线、线段的作图，熟练掌握几何语言，三种线的延伸性，角的关系及角的运算，是解题的关键． （1）根据要求画出图形即可． （2）计算的邻补角即可解决问题． 【详解】（1）解：①直线； ②射线； ③线段，的延长线交射线于点E； ④连接，并反向延长， 如图，即为所求作． （2）解：∵， ∴． 23．（24-25七年级上·江西抚州·期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批型足球和型足球． 已知型足球的标价比型足球的标价每个贵元，购买个型足球和个型足球共需元． (1)型足球和足球的标价各是多少： (2)该体育用品店推出了以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过元时，超过部分按七折收费． 学校计划在该店购买个型足球和个型足球，选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)答：型足球的标价为元/个和足球的标价元/个． (2)方案二更合算，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设型足球的标价为元/个，则型足球的标价为元/个，根据题意，列出方程，，解出，即可； （2）由（1）可得，、型足球的标价，根据题意，分别求出方案一，方案二的费用，进行比较，即可． 【详解】（1）解：∵型足球的标价比型足球的标价每个贵元， ∴设型足球的标价为元/个，则型足球的标价为元/个， ∵购买个型足球和个型足球共需元， ∴， 解得：， ∴型足球的标价为元/个， 答：型足球的标价为元/个和足球的标价元/个． （2）方案二更合算，理由如下： 解：由（1）可得，型足球的标价为元/个和足球的标价元/个， ∴方案一的总费用为：（元）， 方案二的总费用为：，超出的部分为，超过部分按七折收费， ∴总费用为：（元）， ∵， ∴方案二更合算． 24．（24-25七年级上·湖南·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； 对于（2），先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于1列出方程，然后求出解即可； 对于（3），先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ，解得； （3）解：方程的解为， 为整数，且也为整数， ，，，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意， 综上可得，或1，故所有可能的的和为． 25．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲、乙两位同学分别求式子的值的方法： 甲同学的方法：直接利用已知正方形图形求， ； 乙同学的方法：设①， ②． 即可． 根据两位同学的方法，你认为 ； (3) ； (4)计算：； (5)请借助甲或者乙同学的方法，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据计算即可求解； （2）甲同学：，乙同学：得，计算即可得出结果； （3）设，则，即可得出，计算即可得出结果； （4）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，可求出图中阴影部分的面积，得出规律，乙同学得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）甲同学：， 乙同学：①；②， 得：， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得：， 故答案为：； （4）令①， ②， 得：， ； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的， 则图中阴影部分的面积为 ， ， 乙同学：令①， ②， 得：， 解得：， 的值为． 26．（24-25七年级上·重庆·期末）如图1，点在直线上，．已知，的两边，分别与射线，重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图2所示，当时，若，且射线OP在内部，则_______，此时的值为_______； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)当时，已知，的边与射线重合，边在的下方．若在旋转过程中，同时绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边或所在直线恰好平分时，直接写出旋转时间的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）设，则，根据得出，进而得出，根据绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，进而得出的值； （2）设，分两种情况，求出则，由平分，得出，即可求解； （3）根据运动的速度是的2倍，根据题意分类讨论，分别画出当边或所在直线恰好平分时的图形，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：设，则 ∵，则 解得： ∴， ∵，绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转， ∴秒 故答案为：，． （2）解：当，在内部，如图所示， 设， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴即 当时，在的外部（时，重合）， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴即 综上所述：或 （3）解： ∵， ∵绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转， 当时，， ，不存在符合要求的情形， 当时，， ①当平分时，与重合，如图所示， ∴ ∴ 解得： ②当平分时，与重合，如图所示， ∴ ∴ 解得： ∵运动的速度是的2倍， ∴当直线再次平分时，是射线的反向延长线平分， 当时，不存在此情形， 当时，， 当直线所在的直线平分时，所在直线与重合，如图所示， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 当所在的直线平分时，所在直线与重合，如图所示， ∴ ∴ 解得： 当时，情形同，不存在或所在直线恰好平分； 综上所述，或或或 学科网（北京）股份有限公司 $$