第十六章 二次根式 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第十六章 二次根式 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列八个实数：，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 8．（24-25九年级上·四川乐山·期中），，则值是（   ） A．6 B． C．3 D． 9．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25七年级上·山东威海·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·上海·期末）化简： ． 13．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 14．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知 ，，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则的值为 ． 15．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 16．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知，则代数式的值是 ． 17．（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 18．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中． 21．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 22．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知：，．求值： (1)，； (2)． 23．（24-25八年级上·云南昆明·期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分．则_____，______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 24．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． (1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； (2)【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 25．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 26．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列八个实数：，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，二次根式的化简．分别根据无理数、有理数的定义即可判断．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式的数是无理数． 【详解】解：，，，， ，，，3.14159265，，这些都属于有理数； 无理数有，，0.101001000100001…，共有3个， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据此定义进行判断即可． 【详解】解：中被开方数含有弄得尽方的因数9，中被开方数含有开得尽方的因式，它们不是最简二次根式；中被开方数含有分母，故不是最简二次根式；而满足最简二次根式的条件； 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：A． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 6．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解，正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故选：A． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 8．（24-25九年级上·四川乐山·期中），，则值是（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据有理数的乘法法则和加减法则可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘法法则和加减法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则，根据题意和二次根式的性质得出，是解题的关键． 9．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25七年级上·山东威海·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数为非负数，据此即可解答． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则，即． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海·期末）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式的化简．根据题意知，然后根据平方根的性质化简． 【详解】解：由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，根据同类二次根式的定义（　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．）进行解题即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 14．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知 ，，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握化简的方法和计算的方法是解决问题的关键．化简得，整数部分是；化简得，小数部分是，由此进一步代入求得答案即可． 【详解】解：，， ∵， ∴，， ∴x的整数部分是，y的小数部分是， ∴ ． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为； 故答案为：5． 16．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算等知识．熟练掌握代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 17．（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，将代入中结合平方差公式进行运算，即可解题． 【详解】解：第2个数，当时， ， 故答案为：1． 18．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 【答案】 3 75 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时， ， ， 故的小数部分为 故答案为：3；75； 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可； （2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化等知识点，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先通分计算括号内的部分，然后将除法运算转化为乘法运算，约分化简得出结果后，再代入的值求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，理解三角形面积的计算，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 根据三角形面积的计算方法，运用二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的面积． 22．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知：，．求值： (1)，； (2)． 【答案】(1) (2)38 【分析】本题考查的是二次根式的加法，二次根式的乘法运算及完全平方公式的应用． （1）把，代入，，再进行计算即可； （2）根据整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 23．（24-25八年级上·云南昆明·期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分．则_____，______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根，算术平方根以，估算无理数的大小，分母有理化． （）根据算术平方根的定义估算无理数即可解答； （）估算的值，确定，的值，再代入计算，分母有理化即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为：，即 ∴的小数部分为：，即； （2）解：∵，其中是整数，且，而， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． (1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； (2)【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）设、是连续的正整数，根据题意列式计算即可证明； （2）由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：设、是连续的正整数， ， ； （2）∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴ ， ∴p一定是偶数． 25．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【答案】(1) (2) (3)选①，；选②， 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式； （2）先求出，，得到，再代入求解即可； （3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解； 选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 26．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$