6.2 平面向量的运算同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2 平面向量的运算 同步练习 一、选择题 1．如图，四边形中，，则相等的向量是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（　　） A． B． C． D． 4．如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（　　） A． B． C． D． 5．在中，为上一点，且，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（　　） A． B． C． D． 7．设，是两个不共线的向量，若，，，则(　　) A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 8．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 二、多项选择题 9．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．若，则，那么下列对，的判断不正确的是（　　） A．与一定共线 B．与一定不共线 C．与一定垂直 D．与中至少有一个为 11．已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 13．若 与 是互为相反向量,则 　 　. 14．若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=，=，则=　 　 15．若平面上不共线的四点满足，且，则　 　. 16．设与是两个不共线向量，，，.若A，B，D三点共线，则的值为　 　． 四、解答题 17．某人在静水中游泳，速度为 千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳. （1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 18．已知向量，． （1）求； （2）若，，，求证：，，三点共线． 19．已知 ， ， 是不共线的三点，且 . （1）若 ，求证： ， ， 三点共线； （2）若 ， ， 三点共线，求证： . 答案解析 1．D 【解析】因为在四边形中，，则四边形为平行四边形， 故，，，。 故答案为：D. 2．D 【解析】由题意，，. 故答案为：D. 3．A 【解析】解：根据题意可知物体的重力大小等于两条绳子拉力，的合力大小，由图可知：，故物体的重力大小为. 故答案为：A. 4．A 【解析】因为，所以， 故答案为：A. 5．D 【解析】解：因为在中，为上一点，且， 所以， 故答案为：D. 6．A 【解析】解：设， 则， 因为三点共线， 所以，解得， 则 所以. 故答案为：A. 7．A 【解析】解：由已知可得： 所以且，故三点共线. 故答案为A. 8．D 【解析】由于是平面内的一个基底，故不共线， 根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线， 和不共线，A，B，C中向量能作为平面的基底， ，故和共线，不能作为平面的基底，D错误，符合题意， 故答案为：D 9．A,B 【解析】对于A，四边形为梯形，，，为中点，即有， 则四边形为平行四边形，，A符合题意； 对于B，为中点，，B符合题意； 对于C，为的中点，，C不正确； 对于D，由A知，，，D不正确. 故答案为：AB 10．A,C,D 【解析】由平面向量基本定理知，当，不共线时，若，则， 当与共线时，只是其中一组解，此时解不唯一，所以A不符合题意，所以B符合题意， 而且当，不共线时，不一定有与垂直，所以C不符合题意， 当与中至少一个为时，中至少有一个可以不为零，所以D不符合题意. 故答案为：ACD. 11．A,B,C 【解析】对于A选项，，正确； 对于B选项，，正确； 对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，正确； 对于D选项，，所以D不符合题意. 故答案为：ABC 12．A,C,D 【解析】由平行四边形加法法则可得：，A符合题意； 由三角形加法法则，B不符合题意； ，C符合题意； ，D符合题意. 故答案为：ACD 13． 【解析】因为 与 是互为相反向量,所以 ，因此 . 故答案为 14．﹣ 【解析】=﹣ 故答案为：﹣． 15．6 【解析】由已知得. 又. 故答案为：6. 16． 【解析】解：因为，，， 所以，又因为三点共线， 所以必存在一个实数λ，使得， 即，所以， 则 解得. 故答案为：. 17．（1）解：如图，设此人游泳的速度为 ，水流的速度为 ， 以OA，OB为邻边作 QACB，则此人的实际速度为 ， 由勾股定理知 ，且在 中，∠COA=60°， 故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时 （2）解：如图，设此人的实际速度为 ，水流速度为 ，则游速为 ， 在Rt△AOD中， ， ，则 ， ， 故此人沿向量 的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为 游，实际前进的速度大小为 千米/时 18．（1）解：，， 则， 故； （2）证明：，， 则； ， 所以， 所以，，三点共线． 19．（1）解：若 ， 则 ， ∴ ， 即 ，∴ 与 共线. 又∵ 与 有公共点 ， ∴ ， ， 三点共线 （2）解：若 ， ， 三点共线， 存在实数 ，使 ， ∴ ， 又 . 故有 ， 即 . ∵ ， ， 不共线，∴ ， 不共线， ∴ ，∴ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$