18.2.2 菱形的性质 同步练习 2024--2025学年人教版八年级数学下册

18.2.2 菱形的性质 一、单选题： 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．已知菱形，，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．菱形的周长为，两个相邻的内角度数之比为，则较短的对角线长度是（    ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（　　） A．21 B．65 C．42 D．56 8．如图，菱形的周长为，对角线、相交于点O，，垂足为E，，则为（    ） A． B． C． D．4cm 二、填空题： 9．如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBA＝50°，则∠ACB＝_____． 10．如图，在荾形中，对角线，分别为和，于点，则______． 11．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______． 12．如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则______°． 13．如图，在菱形中，，垂足为点．与交于点，连接．若，则的大小为______． 三、解答题： 14．已知：如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，∠BCD＝120°，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积． 15．如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小． 16．如图，菱形，、分别是，上的点，，，求的度数． 17．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD＝5，求： (1)∠BAC的度数； (2)AC的长． 18．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于H，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．如图，已知菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上． (1)求点的坐标； (2)如图，对角线，相交于点，求，的长及点的坐标． 20．在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、． (1)如图1，当是线段的中点时，和的数量关系是__________． (2)如图2，当点不是线段的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 答案 一、单选题： 1．D 【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案． 【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 2．A 【分析】根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为和， ∴面积为 故选：A． 3．D 【分析】过点作于点，根据题意求得，进而可得，勾股定理求得，根据菱形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴，则， ∴， ∴菱形的面积为（cm2）． 故选D． 4．A 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，所以x+2x=180°，所以x=60°，画出其图形，根据含30度角的直角三角形的性质，可以得到其中较短的对角线的长． 【详解】解：如图所示： ∵菱形的周长为24cm， ∴菱形的边长为6cm，AC⊥BD，∠ABC+∠BCD=180°， ∵两邻角之比为1：2， ∴较小角60°， ∴∠ABO=30°，AB=6cm， ∴最短边为AC，AO=AB=3cm， ∴AC=2AO=6cm． 故选：A． 5．D 【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A坐标． 【详解】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°， ∵，∠AEO=90° ∴， ∴ ∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°， ∴，即 解得：． ∴点A坐标为， 故选：D． 6．B 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．B 【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可． 【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°， ∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°， ∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°． 故选：B． 8．B 【分析】根据菱形的性质和周长，求出边长，利用勾股定理，分别求出利用等积法求出即可． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴， ∵，垂足为E，， ∴， ∴， ∴， ∵，即：， ∴； 故选B． 二、填空题： 9．25° 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，由等腰三角形的性质可得∠FAB＝∠FBA＝50°，由菱形的性质可得∠BAC＝∠BAD＝25°，AB＝BC，即可求解． 【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA＝50°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠BAD＝25°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝25°， 故答案为：25°． 10． 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为O， ∵四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 11．48 【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：48． 12．40 【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CBF，可得∠BAF=∠BCF，由平行线的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF， ∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠BAF=∠BCF， ∵∠AED=40°，AD∥BC， ∴∠AED=∠BAF， ∴∠BCF=40°， 故答案为：40． 13. 【分析】根据菱形的性质，得出，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据菱形的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，进而即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为： 三、解答题： 14．解：∵菱形花坛ABCD的边长为10m，∠BCD＝120°， ∴AB＝BC＝DC＝AD＝10m，＝， ∴△ABC是等边三角形，， ∴AC＝10m， 设交于点， ∴AO＝5m， ∴BO＝（m）， 则BD＝10m，AC＝10m； 花坛的面积为：×10×10（）＝（）， 答：两条小路的长分别为10m，10m；花坛的面积为（）． 15．解：在菱形ABCD中，有，且， ∵DE垂直平分BC， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即∠ABC的度数为120°． 16．连接， ∵四边形是菱形， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴△ABE≌△ACF， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，且， ∴ 17． （1） ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，AC平分∠BAD， ∵AB＝BD＝5， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝30°； （2） ∵四边形ABCD为菱形， ∴OA＝OC，BO＝OD＝BD＝，BD⊥AC， 在Rt△AOB中，OA＝， ∴AC＝2OA＝． 18．（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴． 19.（1），的坐标分别为，， ，， 四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴； （2）在中，由勾股定理得，， ∵， ， 四边形是菱形， ∴G为AC的中点 ． 20.（1） ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC． ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BCA=60°． ∵E是线段AC的中点， ∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE． ∵CF=AE， ∴CE=CF， ∴， ∴∠CBE=∠F=30°， ∴BE=EF． 故答案为：BE=EF； （2） 结论成立，证明如下： 如图，过点E作EG∥BC交AB于点G， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD， ∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°， ∴∠ECF=120°． 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°． 又∵EG∥BC， ∴∠AGE=∠ABC=60°． ∵∠BAC=60°， ∴△AGE是等边三角形， ∴AG=AE=GE，∠AGE=60°， ∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF． 又∵CF=AE， ∴GE=CF． 即在△BGE和△CEF中，， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF． 学科网（北京）股份有限公司 $$