江西省吉安市六校协作体2025届高三上学期一月联合考试数学试卷

绝密★启用前 吉安市25届高三餐密串季锋串零率餐酷辛率学六校协作体一月联合考试 上进联考 高三数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.1+3i A.2-i B.1+2i C.1-i D.-2-i 2已知双曲线号-1与双曲线好-卡=1(b>0)的离心率相同，则6 A.√2 B.2 C.22 D.8 3.将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如下图所示，则可以估计该公司打字员 每分钟的平均打字数的中位数为 个频率/组距 0.00500 0.00375 0.00225 0.00100 0.00025== 0 140220300380460540620字/分钟 A.380 B.360 C.340 D.320 高三数学第1页（共4页） 4.对数螺线在自然界中广泛存在，比如鹦鹉螺的外壳就是精度很高的对数螺线，向日葵的种子排列 方式、松子在松果上的排列方式都和对数螺线高度吻合.已知某种对数螺线可以用P,=a©云表达， 其中a>0,x∈[0，+o),则pas,Pnl.5Pm的大小关系为 A.Psin>Pin 1.5>Peo.os B.peas>P1al.5>Pm号 C.pas>Pim铅>Pinl.5 D.Pin 1.5 >PsinPes 5.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记△ABC的面积为SAABC,若8S△Bc-c2= (b-a)(b+a),则tan2A= A- B c- D 6.已知圆台0,02存在内切球0（球0与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分 别为16π，25π，则球0的表面积为 A.40m B.80T C.120m D.160m 7.已知9sin30-23sin0=0,0∈(0，m),则cos20= A号 B房 c号 D. 8.已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=f(-x)+2x,f'(x)的图象关于点 （1,0)对称若2)=-0，则20)-营'()= A.10 B.20 C.-10 D.-20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f八x)=2sim3x-4),则 A)的最小正周期为罗 B,将八)的图象向左移动7个单位长度后关于原点对称 Cx)在，3）上恰有一个极值点 D.函数g(x)=f(x)+x有5个零点 10.已知数列{an}是等比数列，前n项积为T.,则 A.asau=ag B.Tn=ag C.若aa10=a1,则T3=T, D.{T2}是等比数列 高三数学第2页（共4页） 11.记函数f代x)=e-的零点为0，则 A.-In o=0 C.当x>2时，f(x)>x+1 D.x=为函数g(x)=e中血的极小值点 x+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等差数列{an}的前n项和为S.,若a2+a6=12,则S,=_ 13.已知(a+b)2=a2+2ab+b2,其等号右侧展开式共有3类非同类项，(a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ac,其等号右侧展开式共有6类非同类项，则(a1+a2+…+a6)2的展开式共 有」 类非同类项. 14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,第一象限与第四象限内的点M,N在C上，且MF⊥NF,则 △MFN的面积为25时，|MF+|NF= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D1中，AB=2,AA1=4,点E,F,G分别为DD,AB1, B,C,的中点，点H在棱CC,上. (1)若C,H=HC,证明：BE1平面FGH; (2)若C,H=HC,求平面BEH与平面FGH夹角的余弦值. 16.(15分)已知函数f(x)=x2-lnx. (1)当k=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f八x)≥0，求k的取值范围. 高三数学第3页（共4页） 17.(15分)2024年5月某数据挖掘与分析机构发布《2024年中国国货消费品牌500强》，统计榜单 前20名品牌所在行业，得到如下频数表， 行业 汽车出行 3C数码 家用电器 食品饮料 生鲜水果 珠宝文玩 频数 7 4 4 3 1 1 (1)从表中家用电器、生鲜水果、珠宝文玩行业的6个品牌中随机抽3个，求抽取的3个品牌恰 好来自2个不同行业的概率； (2)从来自汽车出行、3C数码及家用电器的15个品牌中抽取4个品牌，且来自3C数码及家用 电器的品牌抽取的数目相同，记该数目为X,求X的分布列与期望. 18(1?分)已知嘴圆C号+片=1(a>6>0)的离心率为受，C上一动点P到右焦点F的距离的最 小值为6-√5. (1)求C的方程； (2)若直线PF的斜率为1，且PF与C交于P,Q两点，求|PQ; (3)若原点0到直线l的距离为1，且直线1与C交于A,B两点，且0A+O成=OP,求四边形 OAPB的面积 19.(17分)给定平面上一些点的集合D及若干个点P,P2,…,Pn,P∈D(i=1,2,…,n),若对于 YPeD,公PF2为定值，我们就称(D,P,P,,P)为一个稳定点集， (1)判断集合D={(x,y)1x≥0，y≥0，x+y≤2}与点P1(0,0),P2(2,0),P3(0,2)构成的 (D,P1,P2,P3)是不是稳定点集，并说明理由； (2)判断集合0=1(x,y)1x2+y2=2},以及点A(1,1),B(1,-1),C(-1,1),D(-1,-1)构成 的(U,A,B,C,D)是不是稳定点集，并说明理由； (3)若集合D={(x,y)1x2+y=1}及单位圆0：x2+y2=1中的内接2024边形的顶点P, 202 B,…,Pm构成的(D,P,P,…,Pa)是一个稳定点集，求O,的值 高三数学第4页（共4页）》上进联考更专业更放心 一贴式考试围务专家 吉安市205届高三密中攀来锋串攀辣赣串率学六校协作体一月联合考试 高三数学参考答案 1.【答案】D 【解折号=1+31+。-2-i散选D, 2 2.【答案】A 【解折】因为双曲线号-子=1与双随线苦-茶=1(6>0)的离心率相同，所以，√/厚-√解得6=反故 选A. 3.【答案】B 【解析】由图可知，前三个矩形的面积依次为0.02.018,0.4，故所求中位数为30+80×子=360故选B. 4.【答案】C 【解折依题意A=ae在0，+o)上单调递增，而。>1.0<h15<宁分<n器<1，故pa>p>p 故选C 5.【答案】B 解析J8SAc=4 csin A三+心-，放2snA-±C=cosA,则amA:am2A=2am 子故选B, 6.【答案】B 【解析】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，依题意，1=4,2=5，则圆台的母线长为「1+3=9，故 10,02|=√3-下=45，故球0的表面积为π0,022=80m.故选B. 01 0 解法二：依题意，1=4,2=5，则球0的半径R=√12=25，故球0的表面积为4πR2=80m.故选B. 7.【答案】D 【解析】sin30=sin(0+20)=sin9cos20+cos0sin20=sin0cos20+2cos2sin0,因为0e(0,π），所以sin0>0, 由9(she20+2s20sin0)=23sn0得os20+2oms0=号.即1+2s20=号解得os20=子故选D, 8.【答案】A 【解析】解法一：依题意∫'(x)+∫'(2-x)=0,而f八x)=八-x)+2x,故∫'(x)+f'(-x)=2,则2+∫'(2-x)= "（-),则/'(2+)-f"(x)=-2,而f"(1)=0f'(0)=1,则f(2)=-1,故2'()=20×0+20x19× 20 2 (-1)=-190:而(x)-x=八-x)+x,故y=八x)-x为偶函数，而(x)的图象关于x=1对称，故八-x)= 2+x),则/2+x)-x)=-2x,而2)=0，累加可得20)=-180，故20)-'(0）=10.故选A 高三数学第1页（共5页） 上进联考更专业更放心 一站式考试服务专家 解法二：不妨设∫'(x)=kx+b(k≠0)，则f'(x)+∫'(2-x)=kx+b+k(2-x)+b=2b+2k=0,则b=-k.而 f八x)-x=f八-x)+x,故y=f(x)-x为偶函数，则y=∫'(x)-1为奇函数，则b=1,k=-1,故f'(x)=-x+1, )=-2++e,则2)=0，故c=0)=-72+20)=-180.2/'(0)=0-19)×20=-190,故 2 20)-'(0)=10故选A 9.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】易知八)的最小正周期为号，故A正确：将/八)的图象向左移动侣个单位长度后得到x+) 2sim3x+）=-2cs3x,其图象关于y轴对称，故B错误：x)在(m,罗）上单调递减，在（任，）上单调递 增，故)在(，）上恰有一个极小值点，故C正确：令()=0，则()=-x,在同一直角坐标系中分别作出 y=八x),y=-x的大致图象如下所示，观察可知，他们有5个交点，即g(x)有5个零点，故D正确.故选ACD. 10.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】由等比中项的性质，易得A正确：由a,as-t=a(i=1,2,…,17),得T,=a”,B错误；由asa1=a,ao= 得41=1，所以T,=T,C正确：设1a,的公比为4，因为T=a,…所以12=2=，是常数， /Ta {T是等比数列，D正确故选ACD. 11.【答案】BC(每选对1个得3分) 【解折】依题意，=，故ne=lh,即%+n名=0，故A错误：易知当x<0时，e-士>0，)=心-士 在(0，+∞)上单调递增，而)=E-2<01)=e-1>0,故∈（分，故B正确：令m(x)=x)-x-1= 。-士-x-1,则m'(e)=e+-1,故当x>2时，m()>0,则m(在(2，+o)上单调递增，故m()>m(2)= -号2-1>0，放c正g份.之h+小火+1-6- (x+1)2 一，假设x=。为极小值点，则有 g《)=0,即名+n++)-e-h=0,将+n=0,代人可得-c的-之c5-e+1=0, 因为0∈(？，，故该等式不成立，故D错误故选BC. 12.【答案】42 【解析S,=7.=7.=42. 2 2 13.【答案】21 【解析】由排列组合知识可得，(a,+a2+…+a6)2的展开式共有6+C%=6+15=21类非同类项. 高三数学第2页（共5页） 上进联考更专业更放心 一站式考试服务专家 14.【答案】15 【解折]由题意得F1.0),设M答小水>0)，年为小<0)，设直线MN的方程为=my+n,与广=4 联立得y2-4my-4n=0,则△=16m2+16n>0,1+2=4m,yy2=-4n<0,n>0,斤+2=(y1+2)2-2yy= 16m2+8,由MF1F,得F网.m-(要-（要-+=石++1-i+分）=2-6n+1 4m=0,m.-+出，△MFN的面积为7Mr川NP1=(停+1停+=克品+g（+)+号 4 之2+a+7+2m2=2-2a+1=(a-2=25,所以a=6,m=±分，MP+p-+2=15. 4 15.解：以点D为原点，直线DA,DC,DD,分别为x轴、y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2,2,0),E(0,0,2),F(2,1,4),G(1,2,4).B2=(-2,-2,2),F元=(-1,1,0)，(1分) (1)证明：由C,H=HC,得H0,2,3), D 则G=(-1,0,-1),(2分) 因为B2.F元=-2×(-1)-2×1+2×0=0， 所以BE⊥FG,(4分) E 因为BE.G7=-2×(-1)-2×0+2×(-1)=0, 所以BE⊥GH,(6分) D 因为FG∩GH=G,FGC平面FGH,GHC平面FGH, 所以BE⊥平面FGH.(7分) (2)解：当C,H=HC时，H0,2,2),Ei=(0,2,0),G=(-1,0,-2),(8分) 设平面85H的法向量为n=(),则有·广=0得24-2+2，=0， n.Ei=0,l2y1=0, 取1=1，得1=1，y1=0,故n=(1,0,1),(9分) 设平面FGH的法向量为m=(x22,2),则有 m民=0得+归=0， m.c=0,1-2-2=0, 取2=1，得x2=-2,2=-2,故m=(-2,-2,1),(11分) 设平面BEH与平面FGH的夹角为O, 则号 ② 所以平面BEH与平面FCH夹角的余弦值为冬(13分) 16解：()当k=1时)=-hx1)=1()=2x-)=2-1=1 故曲线y=(x)在点(1，八1))处的切线方程为y=x.(4分) (2)当k>0时八x)=x2-lnx的定义域为(0，+o), ()=2-士2，令()=0，解得x=号或=-（会去）.(6分) 所以当e0,号时"()<0，)单调递减：当xe(停.+四时"《)>0)单调适增， 所以)≥号)=7-h受≥0，解得k≤v2E,即ke(0,V2]:(9分) 高三数学第3页（共5页） 分 上进联考更专业更放心 一站式梦试服务专家 当k<0时f(x)=x2-nkx的定义域为(-o,0), '()=2士，令f'()=0,解得x(舍去)或=-受.(1分) 所以当x(-号，0时"()>0)单调递增： 当-0，-号》时'()<0)单调递减， 所以x)≥-)-宁-h(-号到≥0，解得≥-，即ke[-元，0).(14分) 综上所述，k的取值范围是[-√2e,0)U(0,√2e].(15分) 17.解：(1)从这6个品牌中随机抽3个，抽取的3个品牌恰好来自2个不同行业， 抽取结果数为CC=12,(2分) 所以所球概率为号-号(5分】 (2)X的取值依次为0,1,2，(7分) 从15个品牌中抽取4个品牌，且来自3C数码及家用电器的品牌抽取的数目相同的总数为C+CCC!+CC =407,(8分) C 35 P(X=0)=407-.(9分) P(X=1)= CS-0(0分 407 P风X=2)=器-总（1分 所以X的分布列为 X 0 1 2 35 336 36 (13分) 407 407 407 成=0×+1×器+2×治- .(15分) 18.解：(1)依题意 (2分) la-c=6-5, a=6, 解得 故62=a2-c2=3, lc=5, 放C的方程为后+号=1(4分) (2)依题意，F(5,0),直线PF:y=x-5,(5分) 「x2+2y2-6=0, 联立 则3x2-45x=0,(7分) y=x-3, 设P.0的横坐标分别为，不纺设，=0,0=9.(8分) 故1P0l小+g.,-g=E×4945(9分) 3 高三数学第4页（共5页） 分 上进联考更专业更放心 一站式考试服务专家 (3)当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+m, 由原点0到直线1的距离为1得m=1,化简得m2=k+1.(10分) √R+1 设A(x),B(2),则P(x1+名1+)， 联立'，=m,得(22+1)x2+4kmx+2m2-6=0, +:单+%分) 4km 因为-兴12在精调C上。 所以广+2 4km =6,即4m2(2k2+1)=3(22+1)2, 解得k=±号m2=+1=是(13分) 此时弦长1A8=VR-=9x3-35.(4分) 因为0到直线1的距离d=1,所以平行四边形01PB的面积S=35(15分) 当直线1的斜率不存在时，不妨设直线1：x=1,则A1,-四)1，四） 所以P(2,0)不在椭圆C上，不合题意.(16分)》 综上所述，四边形0APB的面积为35.(17分) 19.解：(1)不是稳定点集，理由如下： 取Q,(0,0),则1Q,可P+1Q,2+1QFP=8: 取0(2,0)，则1QFP+1QF+1Q12=12≠8， 故(D,P,P2,P)不是稳定点集.(5分) (2)是稳定点集，理由如下： 设PeU,P(oo),则x号+6=2， 则1P2+1P+1P元2+1P币12=(0-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(0+1)2+(x0+1)2+(0-1)2+ (x0+1)2+(%+1)2=8+4(x后+)=16，为定值， 故(U,A,B,C,D)是稳定点集.(10分) (3)因为(D,P1,P,,Pm)是稳定点集，设P是单位圆上任意一点，所以1P丽P为定值， 所以g1mP-(网+o丽2=2024P0P+2P而.0丽+罗10丽， 因为1丽=0丽1=1，故1P厘P=4048+2P元.g0正。 因为1P厘P为定值，所以P网·丽为定值， 因为P是单位圆上任意一点，所以g0丽=0，故10,1=0.(17分) 高三数学第5页（共5页）