7.1-7.3可能性与统计图表第8讲 2024-2025学年沪教版 （五四制）数学六年级第二学期寒假讲义

【沪教版2024】 【上海2024-2025年六年级第二学期寒假讲义】 7.1-7.3可能性与统计图表第8讲 7.1 随机现象及其结果的可能性（1） 知识梳理 1．必然事件和不可能事件-----------确定事件 在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件； 在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件． 2．随机事件或不确定事件 （1）在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件． （2）一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的； 而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性． 3．事件发生的可能性 （1） 各种事件发生的可能性有大有小，需要用数学符号语言表述，通常用字母“”表述． （2） 各种事件发生的可能性有大有小，可用数学语言来描述。依照可能性由大到小依次表述为某个事件：“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等． （3）一般来说，随机事件发生的可能性大小，要经过大数次的试验来确定． 例题精讲 【例1】下列语句正确的是（ ） ．“上海冬天最低气温低于－5”，这是必然事件； ．“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然事件； ．“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件； ．“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除”，这是随机事件． 【例2】一个不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外都相同．若从 中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ） ．摸到红球是必然事件；　　 ．摸到白球是不可能事件；　　 ．摸到红球和摸到白球的可能性相等；　 ．摸到红球比摸到白球的可能性大． 【例3】下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是( ) ． ．瓮中捉鳖； ．守株待兔； ．旭日东升； ．夕阳西下． 过关演练 1．下列说法正确的是（ ） ．事件“如果是实数，那么”是必然事件； ．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖； ．随机抛一枚均匀硬币，落地后正面一定朝上； ．在一副52张扑克牌（没有大小王）中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是． 2．下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ） ．瓮中捉鳖； ．守株待兔； ．旭日东升； ．夕阳西下． 3．某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是（ ） ．买l张这种彩票一定不会中奖； ．买100张这种彩票一定会中奖； ．买1张这种彩票可能会中奖； ．买100张这种彩票一定有99张彩票不会中奖． 7.1 随机现象及其结果的可能性（2） 知识梳理 1． 概率 （1）用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率，通常用字母“”表示． （2）不可能事件的概率为“0”；而必然事件的概率为“1”。这样，随机事件的概率为大于0小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数． 2．频率 （1）在大量重复某同一试验时，事件发生的次数÷试验的总次数所得的值，我们把它称为事件发生的频率． （2）事件的概率是一个确定的常数；而频率是不确定的，与试验次数的多少有关。用频率表示概率，得到的只是近似值，为了得到概率的可靠地估计值，试验的次数要足够大，我们常用频率去估计概率． 3．等可能事件的概率 （1）等可能试验：①试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；②任何两个结果不可能同时出现.符合上述两个条件的试验叫做等可能试验；各个结果出现的事件称为等可能事件. （2）等可能事件的概率计算方法： 一般地，如果一个试验共有个等可能的结果，事件包含其中的个结果，那么事件的概率 . 3．等可能试验结果的分析方法（枚举法） 线段法；树形图；表格法.它们是枚举法的不同表现形式. 例题精讲 【例1】在1~9这九个数中，任取一个数能被3整除的概率是 ． 【例2】布袋中装有3个红球和3个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布 袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ． 【例3】在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰三 角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等10个图形，小杰随机抽 取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ． 【例4】如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概率是（ ） ．； ．； ．； ．． 过关演练 1．从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌 的点数之和为素数的概率是 ． 2．在一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均 相同．若从中随机摸出一个球，白球的概率恰好是，则该盒中，黄球的个数为 ． 3．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是合数的概率为 ． 4．有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别画着圆、等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、菱形、正五边形，投掷该正方体一次，向上的一面的图形既是轴对称又是中心对称的概率是 ． 5．若实数、满足：，则称：比远离0．如图，已知、、、、五点在数轴上对应的实数分别是、、、、．若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它数都远离0的概率是 ． 6．从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机选一个数替代二次根式中的字母使所得二次根式有意义的概率是 ． 7．从1，2，3，4，5，6中任意取一个数，取到的数是6的因数的概率是（ ） ．； ．； ．； ．． 8．小刚掷一枚硬币，结果是连续4次都是正面朝上，则他第5次抛掷硬币的结果是正面朝上的概率为（ ） ．； ．； ．； ．． 7.2 数据的收集、整理与表达（1） 知识梳理 1．统计学是研究如何收集、处理、分析数据从而得出结论或找出规律的科学． 2. 总体、个体及样本 在统计中，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这一部分个体叫做总体的样本，样本中个体的数目叫做样本容量。其中，具有代表性的样本叫做随机样本． 1、 收集数据的方法一般有两种，即普查和抽样调查． 例题精讲 【例1】某初级中学要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的（ ） ．调查全体女生； ．调查全体男生； ．调查九年级全体学生； ．调查七、八、九年级各20名学生． 【例2】手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道5000户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下： 拥有座机数（部） 0 1 2 3 4 相应户数 10 14 18 7 1 该街道拥有多部电话（指1部以上，不含1部）的家庭大约有 户． 【例3】为了估计鱼塘有多少条鱼，我们从塘里先捕上50条鱼做上标记，再放回塘里，过了一段时间，待带有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次捕上300条鱼，发现有2条鱼带有标记，则估计塘里有 条鱼． 过关演练 1．为了调查某校初中三年级240名学生的身高情况，从中抽测了40名学生的身高，在这个问题中总体 是 ，个体是 ，样本是 ． 2．扇形统计图中，占圆面积40％的扇形的圆心角的度数是（　　） ．162°； ．144°； ．150°； ．120°． 1. 张老汉为了与客户签订购销合同，需对自己的鱼塘中的鱼的总量进行估计，他采用了这样的方法：第 一次捞出100条鱼，称得重量为184，并把每条鱼作上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后， 又捞出200条，称得重量为416，且带有记号的鱼有20条． （1）张老汉采用这样的方法是否可靠？为什么？ （2）张老汉的鱼塘中大约共有鱼多少条？共重多少？ 7.2 数据的收集、整理与表达（2） 知识梳理 1．平均数 （1）平均数：一般地，如果有个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“拔”。 （2）加权平均数：如果个数中， 出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。 2. 平均数的计算方法 （1）定义法：当所给数据比较分散时，一般选用定义公式： （2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。 （3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）． 3. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 4. 中位数：一般地，将个数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（为奇数时），或最中间两个数据的平均数（为偶数时），称为这组数据的中位数. 说明：将一组个数据按大小依次排列，当为奇数时，第个数据是中位数；当为偶数时，第两个数据的平均数是中位数. 思考：平均数、中位数和众数的共同点和不同点？ 例题精讲 【例1】某校男子篮球队队员的年龄如下表所示，那么他们的平均年龄是 岁． 年龄 13 14 15 16 人数 1 5 5 1 【例2】已知数据，，，，的平均数是，则数据，，，，，的平均数是 （结果用表示） 【例3】若2，7，6和四个数的平均数是5，18，1，6，与五个数的平均数是10，则 . 【例4】下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%”小林核算了语文成绩：80×30%＋80×40%＋70×30%＝77，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林数学平时成绩是 分． 学科 期中成绩 期末成绩 平时成绩 学期总成绩 语文 80 80 70 77 数学 80 75 78 英语 90 85 90 88 【例5】某班40名学生右眼视力的检查结果如下表所示，该班学生右眼视力的中位数是 ． 视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人数 1 2 3 4 3 4 4 6 5 5 3 【例6】一组数据共有6个正整数，分别为6、7、8、9、10、，如果这组数据的众数和平均数相同，那么的值为（ ） ．6； ．7； ．8； ．9． 过关演练 1．已知一组数据3、4、4、5、6、7、4、7，那么这组数据的（ ） ．中位数是5.5，众数是4； ．中位数是5，平均数是5； ．中位数是5，众数是4； ．中位数是4.5，平均数是5． 2．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛. 某同学知道自己的 分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的 ( ) ．平均数； ．中位数； ．众数； ．方差． 3．用5分制评价学生的作业（没有人得0分），然后在班上抽查16名学生的作业质量来估计全班的作业质量，从抽查的数据中已知其众数是4，那么，得4分的至少有 人． 4．在数据－1，0，4，5，8中插入一个数，使这组数据的中位数为3，则 ． 5．已知数据10、8、42、40、7、14、、60的中位数是20，则 . 7.3 表示一组数据分布的量 知识梳理 1.频数分布直方图：我们把反映各小组相关数据出现的频数的统计图叫做频数分布直方图. （一个小组的频数是指落在这个小组内的数据累计出现的次数） 2.频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。 3.研究频率分布的一般步骤及有关概念 （1）研究样本的频率分布的一般步骤是： ①计算极差（最大值与最小值的差） ②决定组距与组数 ③决定分点 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图 （2）频率分布的有关概念 ①极差：最大值与最小值的差 ②频数：落在各个小组内的数据的个数 ③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。 例题精讲 【例1】下列说法正确的是（ ） ．一组数据的平均数和中位数一定相等； ．一组数据的平均数和众数一定相等； ．一组数据的标准差和方差一定不相等； ．一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据 【例2】为了解各年龄段观众对某电视节目的收视率，小明调查了部分观众的收视情况，并分成、、、、、六组进行调查，其频率分布直方图如图所示，各长方形上方的数据表示该组的频率，若组的频数为48，那么被调查的观众总人数为 人． 【例3】为了了解中学生的身体发育情况，对第二中学同年龄的80名学生的身高进行 了测量，经统计，身高在150.5~155.5厘米之间的频数为5，那么这一组的频率是 ． 【例4】某校九年级260名学生进行了一次数学测验，随机抽取部分学生的成绩进行分析，这些成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图（如图所示），从左到右前四个小组的频率分别为0.1、0.2、0.3、0.25，最后一组的频数为6．根据所给的信息回答下列问题： （1）共抽取了多少名学生的成绩？ （2）估计这次数学测验成绩超过80分的学生人数约有多少名？ ( 分数 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 （第 2 2 题图） 0.1 0.2 0.3 0.25 0.005 0.0 10 0.0 15 0.02 0 0.0 25 0.03 0 )（3）如果从左到右五个组的平均分分别为55、68、74、86、95分，那么估计这次数学测验成绩的平均分约为多少分？ 过关演练 1．某人在调查了本班同学的体重情况之后，画出了频数分布直方图，下列结论中，不正确的是（ ） ．全班总人数40人； ．学生体重的众数为13； ．学生体重的中位数落在50~55千克这一组； ．体重在60~65千克的人数占全班总人数的． 2．下列命题是真命题的是（ ） ．一组数据的方差为0，则每个数据都相等； ．若每个数据都为零，则这组数据的方差为零； ．一组数据的频率之和为1； ．一组数据的频数之和为1. 3．为了解某校初三年级学生一次数学测试成绩的情况，从近450名九年级学生中，随机抽取50名学生这次数学测试的成绩，通过数据整理，绘制如下统计表（给出部分数据，除[90,100]组外每组数据含最低值，不含最高值）： 分数段 [ 0, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90,100] 频 数 5 20 频 率 0.12 0.1 根据上表的信息，估计该校初三年级本次数学测试的优良率（80分及80分以上）约为 （填百分数）． 4．结合“两纲教育”，某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图6，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题： （1）本次随机抽样调查的样本容量是 ； （2）试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数； （3）若本次随机抽样的样本平均数为76．5，又表1中比大15，试求出、的值； （4）如果把满足的的取值范围记为[，]，表1中的取值范围是（ ） ( 抽样分析频率分布直方图 (图6) 成绩(分) 0．01 0．04 0．02 0．03 49．5 0．1 0．2 0．3 0．1 5 59．5 69．5 79．5 89．5 99．5 )．[69.5，79.5]； ．[65，74]； ．[65.5，75.5]； ( 表1：抽样分析分类统计表 )．[66，75] ． 成绩范围 成绩等第 不合格 合格 优良 人数 40 平均成绩 57 a b 5．某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动，活动结束后，九（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如下扇形统计图． （1）该班学生选择“互助”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 度； （2）如果该校有1500名九年级学生，利用样本估计选择“感恩”观点的九年级学生约有 人． （3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率．（用树状图或列表法分析解答） 6．某市东城区2011年中考模拟考的总分（均为整数）成绩汇总如下表： 成绩 461以下 461 到 470 471 到 480 481 到 490 491 到 500 501 到 510 511 到 520 521 到 530 531 到 540 541 到 550 551 到 560 561 到 570 571 到 580 580以上 合计 人数 628 88 110 98 120 135 215 236 357 380 423 356 126 28 3300 （1）所有总分成绩的中位数位于（ ）； ．521到530； ．531到540 ．541到550 ．551到560． （2）区招生办在告知学生总分成绩的同时，也会将学生的定位分告诉学生，以便学生后期的复习迎考， 其中学生定位分的计算公式如下：所得结果的整数部分（总分名次是按高到低排序）， 如学生甲的总分名次是356名，由，则他的定位分是10．如果该区小杰同学的定位分是 38，那么他在区内的总分名次的范围是 ； （3）下图是该区2011年本区内各类高中与高中阶段学校的招生人数计划图：根据以往的经验，区的中考模拟考的成绩与最终的学生中考成绩基本保持一致，那么第（2）题中小杰希望通过后阶段的努力，争取考入市重点高中（录取总分按市重点高中、区重点高中、普通完中与中专职校依次下降），你估计小杰在现在总分成绩上大致要提高 分． 温故知新 1、如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 ． 2、若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入 “ 让 更美好” 中的两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是 ． 3、有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取一只杯子，恰好是一等品的概率是 ． 4、如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是 ． 5、某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图1所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 ． 6、数据0，1，1，3，3，4的中位数和平均数分别是（ ） ．2和2.4； ．2和2； ．1和2； ．3和2． 7、数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（ ） 图1 ．5； ．6； ．7； ．8． 8、某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：），这组数据中位数和众数分别是（ ） ．22，26； ．22，20； ．21，26； ．21，20． 9、某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50，40，75，50，37，50，40 ，这组数据的中位数和众数分别是（ ） ．50和50； ．50和40； ．40和50； ．40和40． 10、某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表1所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80~90分数段的学生有 名． 分数段 60—70 70—80 80—90 90—100 频率 0.2 0.25 0.25 表1 11、甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成绩最稳定的是_________． 12、据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区对随机抽取1000名公民的年龄分段分布情况和对垃圾分类所持态度进行调查，并对调查的结果分别绘成条形图（图2）、扇形图（图3） （1）图3中所缺少的百分数是 ； （2）这次随机调查中，如果公民年龄的中位数是正整数，那么这十中位数所在的年龄段是 （填 写年龄段）； （3）这次随机调查中，年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞同”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是 ； （4）如果把所持志度中的“很赞同”与“赞同”统称为“支持”，那么再这次被调查公民中的“支持” 的人有 ． 图2 图3 13、为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表2所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图4所示（其中六年级相关数据未标出）． 次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 1 1 2 2 3 4 2 2 2 0 1 表2 图4 根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 ； （2）在所有被测试者中，九年级的人数是 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 ． （4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 ． 14、某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分 别在、、三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在出口调查所得的数据整理后绘成图 5． （1）在出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占出口的被调查游客人数的 %； （2）试问出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？ （3）已知、两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表3所示．若出口的被调查人 数比出口的被调查人数多2万，且、两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问： 出口的被调查游客人数为多少万？ 出 口 人均购买饮料数量（瓶） 3 2 图5 表3 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【沪教版2024】 【上海2024-2025年六年级第二学期寒假讲义】 7.1-7.3可能性与统计图表第8讲 7.1 随机现象及其结果的可能性（1） 知识梳理 1．必然事件和不可能事件-----------确定事件 在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件； 在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件． 2．随机事件或不确定事件 （1）在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件． （2）一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的； 而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性． 3．事件发生的可能性 （1） 各种事件发生的可能性有大有小，需要用数学符号语言表述，通常用字母“”表述． （2） 各种事件发生的可能性有大有小，可用数学语言来描述。依照可能性由大到小依次表述为某个事件：“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等． （3）一般来说，随机事件发生的可能性大小，要经过大数次的试验来确定． 例题精讲 【例1】下列语句正确的是（ ） ．“上海冬天最低气温低于－5”，这是必然事件； ．“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然事件； ．“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件； ．“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除”，这是随机事件． 【参考答案】． 【例2】一个不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外都相同．若从 中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ） ．摸到红球是必然事件；　　 ．摸到白球是不可能事件；　　 ．摸到红球和摸到白球的可能性相等；　 ．摸到红球比摸到白球的可能性大． 【参考答案】． 【例3】下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是( ) ． ．瓮中捉鳖； ．守株待兔； ．旭日东升； ．夕阳西下． 【参考答案】． 过关演练 1．下列说法正确的是（ ） ．事件“如果是实数，那么”是必然事件； ．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖； ．随机抛一枚均匀硬币，落地后正面一定朝上； ．在一副52张扑克牌（没有大小王）中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是． 2．下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ） ．瓮中捉鳖； ．守株待兔； ．旭日东升； ．夕阳西下． 3．某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是（ ） ．买l张这种彩票一定不会中奖； ．买100张这种彩票一定会中奖； ．买1张这种彩票可能会中奖； ．买100张这种彩票一定有99张彩票不会中奖． 1. ．2．．3．. 7.1 随机现象及其结果的可能性（2） 知识梳理 1． 概率 （1）用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率，通常用字母“”表示． （2）不可能事件的概率为“0”；而必然事件的概率为“1”。这样，随机事件的概率为大于0小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数． 2．频率 （1）在大量重复某同一试验时，事件发生的次数÷试验的总次数所得的值，我们把它称为事件发生的频率． （2）事件的概率是一个确定的常数；而频率是不确定的，与试验次数的多少有关。用频率表示概率，得到的只是近似值，为了得到概率的可靠地估计值，试验的次数要足够大，我们常用频率去估计概率． 3．等可能事件的概率 （1）等可能试验：①试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；②任何两个结果不可能同时出现.符合上述两个条件的试验叫做等可能试验；各个结果出现的事件称为等可能事件. （2）等可能事件的概率计算方法： 一般地，如果一个试验共有个等可能的结果，事件包含其中的个结果，那么事件的概率 . 3．等可能试验结果的分析方法（枚举法） 线段法；树形图；表格法.它们是枚举法的不同表现形式. 例题精讲 【例1】在1~9这九个数中，任取一个数能被3整除的概率是 ． 【参考答案】． 【例2】布袋中装有3个红球和3个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布 袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ． 【参考答案】． 【例3】在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰三 角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等10个图形，小杰随机抽 取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ． 【参考答案】． 【例4】如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概率是（ ） ．； ．； ．； ．． 【参考答案】． 过关演练 1．从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌 的点数之和为素数的概率是 ． 2．在一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均 相同．若从中随机摸出一个球，白球的概率恰好是，则该盒中，黄球的个数为 ． 3．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是合数的概率为 ． 4．有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别画着圆、等腰三角形、等腰梯形、 平行四边形、菱形、正五边形，投掷该正方体一次，向上的一面的图形既是轴对称又是中心对称的概率 是 ． 5．若实数、满足：，则称：比远离0．如图，已知、、、、 五点在数轴上对应的实数分别是、、、、．若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它 数都远离0的概率是 ． 6．从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机选一个数替代二次根式 中的字母使所得二次根式有意义的概率是 ． 7．从1，2，3，4，5，6中任意取一个数，取到的数是6的因数的概率是（ ） ．； ．； ．； ．． 8．小刚掷一枚硬币，结果是连续4次都是正面朝上，则他第5次抛掷硬币的结果是正面朝上的概率为（ ） ．； ．； ．； ．． 1．．2．4．3．.4．.5．0．6．7．．8．． 7.2 数据的收集、整理与表达（1） 知识梳理 1．统计学是研究如何收集、处理、分析数据从而得出结论或找出规律的科学． 2. 总体、个体及样本 在统计中，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这一部分个体叫做总体的样本，样本中个体的数目叫做样本容量。其中，具有代表性的样本叫做随机样本． 1、 收集数据的方法一般有两种，即普查和抽样调查． 例题精讲 【例1】某初级中学要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的（ ） ．调查全体女生； ．调查全体男生； ．调查九年级全体学生； ．调查七、八、九年级各20名学生． 【参考答案】． 【例2】手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道 5000户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下： 拥有座机数（部） 0 1 2 3 4 相应户数 10 14 18 7 1 该街道拥有多部电话（指1部以上，不含1部）的家庭大约有 户． 【参考答案】2600． 【例3】(课后练习题变式)为了估计鱼塘有多少条鱼，我们从塘里先捕上50条鱼做上标记，再放回塘里，过了一段时间，待带有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次捕上300条鱼，发现有2条鱼带有标记，则估计塘里有 条鱼． 【参考答案】750． 过关演练 1．为了调查某校初中三年级240名学生的身高情况，从中抽测了40名学生的身高，在这个问题中总体 是 ，个体是 ，样本是 ． 2．扇形统计图中，占圆面积40％的扇形的圆心角的度数是（　　） ．162°； ．144°； ．150°； ．120°． 3.张老汉为了与客户签订购销合同，需对自己的鱼塘中的鱼的总量进行估计，他采用了这样的方法：第 一次捞出100条鱼，称得重量为184，并把每条鱼作上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后， 又捞出200条，称得重量为416，且带有记号的鱼有20条． （1）张老汉采用这样的方法是否可靠？为什么？ （2）张老汉的鱼塘中大约共有鱼多少条？共重多少？ 1．总体：某校初中三年级240名学生的身高情况； 个体：某校初三年级每一名学生的身高情况； 样本：抽测的40名学生的身高情况。 2．B 3．（1）方法可靠，因为该样本的选择具有随机代表性。 （2）1000条，共重2000kg　 因为　＝2kg　　 所以共重2×1000＝2000kg 7.2 数据的收集、整理与表达（2） 知识梳理 1．平均数 （1）平均数：一般地，如果有个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“拔”。 （2）加权平均数：如果个数中， 出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。 2. 平均数的计算方法 （1）定义法：当所给数据比较分散时，一般选用定义公式： （2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。 （3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）． 3. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 4. 中位数：一般地，将个数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（为奇数时），或最中间两个数据的平均数（为偶数时），称为这组数据的中位数. 说明：将一组个数据按大小依次排列，当为奇数时，第个数据是中位数；当为偶数时，第两个数据的平均数是中位数. 思考：平均数、中位数和众数的共同点和不同点？ ( 年龄 13 14 15 16 人数 1 5 5 1 )例题精讲 【例1】 某校男子篮球队队员的年龄如下表所示，那么他们的平均年龄 是 岁． 【参考答案】14.5． 【例2】已知数据，，，，的平均数是，则数据，，，，，的平均数是 （结果用表示） 【参考答案】． 【例3】若2，7，6和四个数的平均数是5，18，1，6，与五个数的平均数是10，则 . 【参考答案】15 【例4】下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%”小林核算了语文成绩：80×30%＋80×40%＋70×30%＝77，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林数学平时成绩是 分． 学科 期中成绩 期末成绩 平时成绩 学期总成绩 语文 80 80 70 77 数学 80 75 78 英语 90 85 90 88 【参考答案】80． 【例5】某班40名学生右眼视力的检查结果如下表所示，该班学生右眼视力的中位数是 ． 视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人数 1 2 3 4 3 4 4 6 5 5 3 【参考答案】0.7． 【例6】一组数据共有6个正整数，分别为6、7、8、9、10、，如果这组数据的众数和平均数相同，那么的值为（ ） ．6； ．7； ．8； ．9． 【参考答案】． 过关演练 1．已知一组数据3、4、4、5、6、7、4、7，那么这组数据的（ ） ．中位数是5.5，众数是4； ．中位数是5，平均数是5； ．中位数是5，众数是4； ．中位数是4.5，平均数是5． 2．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛. 某同学知道自己的 分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的 ( ) ．平均数； ．中位数； ．众数； ．方差． 3．用5分制评价学生的作业（没有人得0分），然后在班上抽查16名学生的作业质量来估计全班的作业 质量，从抽查的数据中已知其众数是4，那么，得4分的至少有 人． 4．在数据－1，0，4，5，8中插入一个数，使这组数据的中位数为3，则 ． 5．已知数据10、8、42、40、7、14、、60的中位数是20，则 . 1．．2．3．4．4．2;26． 7.3 表示一组数据分布的量 知识梳理 1.频数分布直方图：我们把反映各小组相关数据出现的频数的统计图叫做频数分布直方图. （一个小组的频数是指落在这个小组内的数据累计出现的次数） 2.频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。 3.研究频率分布的一般步骤及有关概念 （1）研究样本的频率分布的一般步骤是： ①计算极差（最大值与最小值的差） ②决定组距与组数 ③决定分点 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图 （2）频率分布的有关概念 ①极差：最大值与最小值的差 ②频数：落在各个小组内的数据的个数 ③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。 例题精讲 【例1】下列说法正确的是（ ） ．一组数据的平均数和中位数一定相等； ．一组数据的平均数和众数一定相等； ．一组数据的标准差和方差一定不相等； ．一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据． 【参考答案】． 【例2】为了解各年龄段观众对某电视节目的收视率，小明调查了部分观众的收视情况，并分成、、、、、六组进行调查，其频率分布直方图如图所示，各长方形上方的数据表示该组的频率，若组的频数为48，那么被调查的观众总人数为 人． 【参考答案】200． 【例3】为了了解中学生的身体发育情况，对第二中学同年龄的80名学生的身高进行 了测量，经统计，身高在150.5~155.5厘米之间的频数为5，那么这一组的频率是 ． 【参考答案】． 【例4】某校九年级260名学生进行了一次数学测验，随机抽取部分学生的成绩进行分析，这些成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图（如图所示），从左到右前四个小组的频率分别为0.1、0.2、0.3、0.25，最后一组的频数为6．根据所给的信息回答下列问题： （1）共抽取了多少名学生的成绩？ （2）估计这次数学测验成绩超过80分的学生人数约有多少名？ （3）如果从左到右五个组的平均分分别为55、68、74、86、95分，那么估计这次数学测验成绩的平均分约为多少分？ ( 分数 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 （第 2 2 题图） 0.1 0.2 0.3 0.25 0.005 0.0 10 0.0 15 0.02 0 0.0 25 0.03 0 ) 【参考答案】 解：（1）最后一组的频率为 1－0.1－0.2－0.3－0.25＝0.15． 所以6÷0.15＝40（名）． 所以，共抽取了40名学生的成绩． （2）成绩超过80分的组频率之和为0.25＋0.15＝0.4． 所以0.4×260＝104（名）． 所以，估计这次数学测验超过80分的学生人数约有104名． （3）五个组的频数分别为4、8、12、10、6． 加权平均数为 ． 所以，估计这次数学测验成绩的平均分约为77.05分． 过关演练 1．某人在调查了本班同学的体重情况之后，画出了频数分布直方图，下列结论中，不正确的是（ ） ．全班总人数40人； ．学生体重的众数为13； ．学生体重的中位数落在50~55千克这一组； ．体重在60~65千克的人数占全班总人数的． 2．下列命题是真命题的是（ ） ．一组数据的方差为0，则每个数据都相等； ．若每个数据都为零，则这组数据的方差为零； ．一组数据的频率之和为1； ．一组数据的频数之和为1. 3．为了解某校初三年级学生一次数学测试成绩的情况，从近450名九年级学生中，随机抽取50名学生这次数学测试的成绩，通过数据整理，绘制如下统计表（给出部分数据，除[90,100]组外每组数据含最低值，不含最高值）： 分数段 [ 0, 60] [60, 70] [70, 80] [80, 90] [90,100] 频 数 5 20 频 率 0.12 0.1 根据上表的信息，估计该校初三年级本次数学测试的优良率（80分及80分以上）约为 （填百分数）． 4．结合“两纲教育”，某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图6，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题： （1）本次随机抽样调查的样本容量是 ； （2）试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数； （3）若本次随机抽样的样本平均数为76．5，又表1中比大15，试求出、的值； （4）如果把满足的的取值范围记为[，]，表1中的取值范围是（ ） ．[69.5，79.5]； ．[65，74]； ( 抽样分析频率分布直方图 (图6) 成绩(分) 0．01 0．04 0．02 0．03 49．5 0．1 0．2 0．3 0．1 5 59．5 69．5 79．5 89．5 99．5 )．[65.5，75.5]； ( 表1：抽样分析分类统计表 )．[66，75] ． 成绩范围 成绩等第 不合格 合格 优良 人数 40 平均成绩 57 a b 5．某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动，活动结束后，九（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如下扇形统计图． （1）该班学生选择“互助”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 度； （2）如果该校有1500名九年级学生，利用样本估计选择“感恩”观点的九年级学生约有 人． （3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率．（用树状图或列表法分析解答） 6．某市东城区2011年中考模拟考的总分（均为整数）成绩汇总如下表： 成绩 461以下 461 到 470 471 到 480 481 到 490 491 到 500 501 到 510 511 到 520 521 到 530 531 到 540 541 到 550 551 到 560 561 到 570 571 到 580 580以上 合计 人数 628 88 110 98 120 135 215 236 357 380 423 356 126 28 3300 （1）所有总分成绩的中位数位于（ ）； ．521到530； ．531到540 ．541到550 ．551到560． （2）区招生办在告知学生总分成绩的同时，也会将学生的定位分告诉学生，以便学生后期的复习迎考， 其中学生定位分的计算公式如下：所得结果的整数部分（总分名次是按高到低排序）， 如学生甲的总分名次是356名，由，则他的定位分是10．如果该区小杰同学的定位分是 38，那么他在区内的总分名次的范围是 ； （3）下图是该区2011年本区内各类高中与高中阶段学校的招生人数计划图：根据以往的经验，区的中考 模拟考的成绩与最终的学生中考成绩基本保持一致，那么第（2）题中小杰希望通过后阶段的努力，争取 考入市重点高中（录取总分按市重点高中、区重点高中、普通完中与中专职校依次下降），你估计小杰在 现在总分成绩上大致要提高 分． 1．． 2．． 3．． 4．（1）80． （2）成绩位于79．5~89．5的频率为． 所以全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数为 （3）本次随机抽样分析成绩不合格的人数为（人）， 成绩优良的人数为（人）， 依据题意，可得方程组： 解得 （4）． 5．（1）6，36； （2）420； （3）以下两种方法任选一种 （用树状图）设平等、进取、和谐、感恩、互助的序号依次是①②③④⑤ ∴恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率是 （用列表法） 平等 进取 和谐 感恩 互助 平等 平等、进取 平等、和谐 平等、感恩 平等、互助 进取 进取、平等 进取、和谐 进取、感恩 进取、互助 和谐 和谐、平等 和谐、进取 和谐、感恩 和谐、互助 感恩 感恩、平等 感恩、进取 感恩、和谐 感恩、互助 互助 互助、平等 互助、进取 互助、和谐 互助、感恩 ∴恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率是 6.解：（1）B； （2）； (3) 20. 温故知新 1、如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 ． 2、若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入 “ 让 更美好” 中的两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是 ． 3、有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取一只杯子，恰好是一等品的概率是 ． 4、如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是 ． 5、某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图1所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 ． 6、数据0，1，1，3，3，4的中位数和平均数分别是（ ） ．2和2.4； ．2和2； ．1和2； ．3和2． 7、数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（ ） 图1 ．5； ．6； ．7； ．8． 8、某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：），这组数据中位数和众数分别是（ ） ．22，26； ．22，20； ．21，26； ．21，20． 9、某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50，40，75，50，37，50，40 ，这组数据的中位数和众数分别是（ ） ．50和50； ．50和40； ．40和50； ．40和40． 10、某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表1所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80~90分数段的学生有 名． 分数段 60—70 70—80 80—90 90—100 频率 0.2 0.25 0.25 表1 11、甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成绩最稳定的是_________． 12、据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区对随机抽取1000名公民的年龄分段分布情况和对垃圾分类所持态度进行调查，并对调查的结果分别绘成条形图（图2）、扇形图（图3） （1）图3中所缺少的百分数是 ； （2）这次随机调查中，如果公民年龄的中位数是正整数，那么这十中位数所在的年龄段是 （填 写年龄段）； （3）这次随机调查中，年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞同”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是 ； （4）如果把所持志度中的“很赞同”与“赞同”统称为“支持”，那么再这次被调查公民中的“支持” 的人有 ． 图2 图3 13、为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表2所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图4所示（其中六年级相关数据未标出）． 次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 1 1 2 2 3 4 2 2 2 0 1 表2 图4 根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 ； （2）在所有被测试者中，九年级的人数是 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 ． （4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 ． 14、某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分 别在、、三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在出口调查所得的数据整理后绘成图5． （1）在出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占出口的被调查游客人数的 %； （2）试问出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？ （3）已知、两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表3所示．若出口的被调查人 数比出口的被调查人数多2万，且、两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问： 出口的被调查游客人数为多少万？ 出 口 人均购买饮料数量（瓶） 3 2 图5 表3 1、．2、．3、．4、．5、40%．6、．7、．8、．9、．10、150．11、乙． 12、解：（1）12%． 2分 （2）36~45． 2分 （3）5%． 3分 （4）700． 3分 13、解：（1）20%； （2）6； （3）35% （4）5． 14、解：（1）由图2知，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数为2.5+2+1.5=6（万人）． 而总人数为：1＋3＋2.5＋2＋1.5=10（万人）． 所以购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占出口的被调查游客人数的． （2）购买饮料总数为：3×1＋2.5×2＋2×3＋1.5×4=3＋5＋6＋6＝20（万瓶）． 人均购买． （3）设出口人数为万人，则出口人数为万人． 则有． 解之得． 所以出口游客人数为9万人． 17 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$