第四章　因式分解 专题训练五 因式分解的六种常见应用 课时作业 2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

专题训练五　因式分解的六种常见应用 应用1:简便计算 1.利用因式分解计算: (1)1242×25-25×762. (2)2×2022 +4×202×98+2×982. 2.(2024长春期末)如图所示,小刚家门口的商店在装修,他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上切去半径为r的四个小圆,小刚测得R=7 dm,r=1.5 dm,他想知道剩余阴影部分的面积,你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗?请写出求解的过程(结果保留π). 应用2:化简求值 3.利用因式分解计算: (1)已知a+b=,ab=2,求a3b+a2b2+ab3的值. (2)已知x+y=3,x-y=-2,求(x2+y2)2-4x2y2的值. 4.先因式分解,再求值: (1)4x(m-2)-3x(m-2)2,其中x=1.5,m=6. (2)4a2(b+3)+8ab(b+3)+4b2(b+3),其中a=2,b=-2. 应用3:判断证明 5.(2024抚顺月考)求证:当n为正整数时,(2n+1)2-(2n-1)2能被8整除. 6.求证:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是完全平方式. 应用4:判断三角形的形状 7.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2-4bc-ab+4ac=0,试判断△ABC的形状. 8.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试判断△ABC的形状. 应用5:比较大小 9.(1)比较2x与x2+1的大小: ①当x=2时,2x　　　　x2+1,  ②当x=1时,2x　　　　x2+1,  ③当x=-1时,2x　　　　x2+1.  (2)通过上面的填空,猜想2x与x2+1的大小关系为　　　　　　　　.  (3)无论x取什么值,2x与x2+1总有(2)中的大小关系吗?试说明理由. 应用6:解方程 10.解方程:2x+3-2x+1=48. 11.解方程: (1)5x2-15x=0. (2)5x(x-2)-4(2-x)=0. 12.已知x,y都是自然数,且有x(x-y)-y(y-x)=12,求x,y的值. 【详解答案】 1.解:(1)原式=25×(1242-762)=25×(124+76)×(124-76)=25×200×48=240 000. (2)原式=2×(2022+2×202×98+982)=2×(202+98)2=2×3002=2×90 000=180 000. 2.解:∵R=7 dm,r=1.5 dm, ∴阴影部分的面积为 πR2-4πr2=π(R+2r)(R-2r)= π×(7+2×1.5)×(7-2×1.5)= 10×4π=40π(dm2), 故剩余阴影部分的面积为40π dm2. 3.解:(1)∵a+b=,ab=2, ∴原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=×2×=. (2)原式=(x2+2xy+y2)(x2-2xy+y2)=(x+y)2(x-y)2. ∵x+y=3,x-y=-2, ∴原式=32×(-2)2=9×4=36. 4.解:(1)4x(m-2)-3x(m-2)2=x(m-2)·(10-3m), 当x=1.5,m=6时,原式=1.5×(6-2)×(10-3×6)=-48. (2)4a2(b+3)+8ab(b+3)+4b2(b+3)=4(b+3)(a+b)2, 当a=2,b=-2时,原式=0. 5.证明:∵(2n+1)2-(2n-1)2 =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =4n×2 =8n, ∴当n为正整数时,(2n+1)2-(2n-1)2能被8整除. 6.证明:∵原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25=(x2+5x+5)2, ∴(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是完全平方式. 7.解:a2-4bc-ab+4ac=(a2-ab)+(4ac-4bc)=a(a-b)+4c(a-b)=(a-b)(a+4c)=0. ∵a>0,b>0,c>0, ∴a+4c>0, ∴a-b=0,即a=b, ∴△ABC是等腰三角形. 8.解:a2+b2+c2-ab-bc-ac =(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac) =[(a2+b2-2ab)+(a2+c2-2ac)+(b2+c2-2bc)] =[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2] =0. ∵(a-b)2≥0,(a-c)2≥0,(b-c)2≥0, ∴(a-b)2=0,(a-c)2=0,(b-c)2=0, ∴a=b=c, 即△ABC为等边三角形. 9.解:(1)①<　②=　③< (2)2x≤x2+1 (3)无论x取什么值,总有2x≤x2+1. 理由:∵x2+1-2x=(x-1)2≥0, ∴2x≤x2+1. 10.解:∵2x+3-2x+1=48, ∴2x+1(22-1)=48, ∴2x+1=16, ∴x+1=4, 解得x=3. 11.解:(1)5x2-15x=0 5x(x-3)=0, 则5x=0或x-3=0, 解得x1=0,x2=3. (2)5x(x-2)-4(2-x)=0, (x-2)(5x+4)=0, 则x-2=0或5x+4=0, 解得x1=2,x2=-. 12.解:x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y), ∵x,y都是自然数, 又∵12=1×12=2×6=3×4, 经验证,(4-2)×(4+2)=2×6符合条件, ∴x=4,y=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$