第四章 图形的相似 单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第四章《图形的相似》 单元测试卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)　　　　　　　　　　　　 1. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为( ) A．70° B．80° C．90° D．120° 　　 2. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是( ) A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝，c＝2，d＝ 3. 若＝，则＝( ) A． B． C． D． 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝( ) A． B． C． D． 5. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为( ) A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2 6. 已知△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，且△DEF的面积为12，则△ABC的面积为( ) A．82 B．24 C．6 D．3 7. 如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 　　　 8. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( ) A．4.36 mm B．29.08 mm C．43.62 mm D．121.17 mm 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则边A的对应点A′的坐标是( ) A．(1，－2) B．(－1，2) C．(－1，－2)或(1，2) D．(－1，2)或(1，－2) 　　 10. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为( ) A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 若＝＝＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝_______． 12. 如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为______. 13. 如图，AC，BD交于点O，连接AB，CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件___________________．(只需写出一个条件即可) 　　 14. 如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么AP的长度为_______cm. 15. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是________. 16. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝11.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为_______________． 三、解答题(一)(本大题共4小题，第17、18题各5分，第19、20题各6分，共22分) 17. 已知：a∶b∶c＝3∶4∶5，如果3a－b＋c＝10，求a，b，c的值. 18. 在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点△ABC(顶点是网格线的交点)的三个顶点坐标分别是A(－2，2)，B(－3，1)，C(－1，0)，以原点O为位似中心在网格内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2. 19. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠C.求证：△ADE∽△ACB. 20. 如图，已知点E在△ABC是边AC的中点，点F在边AB的延长线上，EF交BC于点D，如果＝，求. 四、解答题(二)(本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分) 21. 如图，A，B，C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上． (1)请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA； (2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA. 22. 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得DE∥BC.经测量，BC＝120米，DE＝200米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 23. 如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF＝∠D. (1)求证：FB2＝FE·FA； (2)若BF＝3，EF＝2，求△ABE与△BEF的面积之比． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 24. 如图，在矩形ABCD中，F为AD的中点，CF⊥BD交BD于点E. (1)求证：△DEF∽△BEC； (2)当BD＝6时，求CD的长度． 25. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践课”上，老师提出：在研究图形的变化时，要多关注运动过程中的不变量，如图①，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上运动，连接BE，以BE为对角线构造正方形BFEG，连接AF，CG. 【问题发现】 (1)“善思小组”发现，在点E运动的过程中，线段AF与CG的数量关系保持不变．请直接写出AF与CG的数量关系：__________； 【问题探究】 (2)“缜密小组”注意到，当点E运动时，DE与AF的比值也保持不变．请你求出这个比值； 【问题延伸】 (3)如图②，连接BD，交EF于点H，若AB＝4，BG＝3，请求出BH的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、选择题 1. B 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D 7. C 8. C 9. D 10. B 二、填空题 11. 8 12. 12. 2 13. ∠A = ∠C（答案不唯一） 14. (5－5) 15. 2∶5 16. 6.6 或 3 或 8 三、解答题 17.解：∵a∶b∶c＝3∶4∶5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k.∵3a－b＋c＝10，∴9k－4k＋5k＝10，解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5 18.解：如图所示： 19.证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB 20.解：过B点作BG∥AC，交EF于点G，由平行线分线段成比例的性质可得＝＝，∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE，∴＝，∴＝ 21.解：(1)如图，点D是所要求作的点 (2)∵AB＝＝，BC＝5，BD＝1，∴＝＝，＝，∴＝，∵∠DBA＝∠ABC，∴△ABD∽△CBA 22.解：过点E作EG⊥BC于点G，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝＝＝，∴＝，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△ACF∽△ECG，∴＝，即＝，解得AF＝90.∴桥AF的长度为90米 23.解：(1)∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.又∵∠CBF＝∠D，∴∠A＝∠CBF，∵∠BFE＝∠AFB，∴△FBE∽△FAB，∴＝，∴FB2＝FE·FA (2)∵FB2＝FE·FA，BF＝3，EF＝2，∴32＝2×(2＋AE)，∴AE＝，∴＝，∴△ABE与△BEF的面积之比为5∶4 24.解：(1)在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠FDE＝∠CBE，∠DFE＝∠BCE，∴△DEF∽△BEC (2)在矩形ABCD中，AD＝BC，∠DCB＝90°，∵F为AD的中点，∴＝.∵△DEF∽△BEC，∴＝＝，即＝.∵BD＝6，∴＝，解得DE＝2，∵CF⊥BD，∴∠DEC＝∠DCB＝90°，∵∠CDE＝∠BDC，∴△ECD∽△CBD，∴＝，即＝，∴DC＝2 25.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵四边形BFEG是正方形，∴BF＝BG，∠FBG＝90°，∴∠ABF＝∠CBG，∴△ABF≌△CBG(SAS)，∴AF＝CG.故答案为：AF＝CG (2)连接BD，∵四边形ABCD和四边形BFEG是正方形，∴AB＝AD，FB＝FE，∠BAD＝∠BFE＝90°，∠DBA＝∠EBF＝45°，∴∠1＝∠2，在Rt△BAD与Rt△BFE中，由勾股定理可得：DB＝＝AB，BE＝＝BF，∴＝＝，∴△ABF∽△DBE，∴＝＝ (3)∵四边形ABCD和四边形BFEG是正方形，∴CB＝CD，FB＝FE，∠DCB＝∠BFE＝90°，∴∠CDB＝∠FEB＝45°，又∵∠EBD＝∠EBD，∴△BHE∽△BED，∴＝，即BH＝，由(2)可得，BD＝BA＝4，BE＝BG＝3，∴BH＝＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$