概率与统计复习训练-2025届高三数学二轮复习

概率与统计复习题（文字版|含答案） 一、单选题 1．非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 2．已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）A． B． C． D． 5．国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试. 从年开始，每年进行一次测试评估. 在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是至分，如图是年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图. 据图中数据，下面说法正确的是（    ） A．该地学生成绩的中位数一定大于 B．该地学生成绩的众数介于至之间 C．该地学生成绩的极差介于至之间 D．该地学生成绩没有超过分学生所占比例为 6．为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到100的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（    ） A．5，15，25，35，45 B．10，25，40，55，70 C．10，20，30，40，50 D．10，30，50，70，90 7．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（    ） A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 8．一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 二、多选题 9．设离散型随机变量X的分布列如下表； X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量，且，则正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．若样本数据的平均数为7，方差为6，则样本数据的方差为1.2 B．一组样本数据的线性回归方程为，若，则 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．统计样本数据后，绘制的频率分布直方图为“单峰不对称”，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数 11．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数之和等于 B．项的系数等于 C．无理项的系数之和为 D．系数最小的是第项 三、填空题 12．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用表示4人中的团员人数，则＝ ；＝ ． 13．在的展开式中含的项的系数为 ． 14．填空： （1）甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程，从5门课程中，甲选修2门，乙选修4门，丙选修3门，则不同的选修方案共有 种． （2）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有 种． （3）4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名教师，则不同的分配方案共有 种． （4）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有 种． （5）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有 种． 四、解答题 15．设，求： (1)； (2)； (3)． 16．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 17．学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 18．为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.(1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3) 从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 19．近年来，我国铁路事业取得历史性成就、发生历史性变革，路网规模质量大幅提升，建成世界最大的高速铁路网．截至2023年底，我国铁路营业里程达15.9万公里，其中高铁营业里程4.5万公里，继续稳居世界第一．如图，是我国2015-2023年高铁营业里程的发展情况（单位：万公里）． (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合高铁营业里程与年份代码的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001；当时，认为线性相关性较强；时，认为线性相关性一般；，认为线性相关性较弱）； (2)求关于的线性回归方程，并预测到哪一年我国高铁的营业里程将达到7万公里（结果精确到0.01）． 附：参考公式：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：，，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．【详解】由题意，采用分层抽样的方法，应从高一年级抽取人， 从高三年级抽取人，则抽取到的高一年级学生人数比高三多人． 故选：C 2．【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以. 故选：C. 3．【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 4．【详解】不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个， 随机选取两个不同的数，共有种情况， 而和为30的有，，这3种情况， 所以所求概率. 故选：C. 5．【详解】对于选项A，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为， 由图知，，所以， 所以中位数在间，但不一定大，所以选项A错误， 对于选项B，由众数的定义知，众数是成绩出现次数最多的， 所以众数不一定介于至之间，所以选项B错误， 对于选项C，由极差的定义知，学生成绩的极差介于至之间，所以选项C正确， 对于选项D，由选项A知，学生成绩没有超过分学生所占比例为，所以选项D错误， 故选：C. 6．【详解】利用系统抽样，把编号分为5段，每段20个，每段抽取1个，号码间隔为20. 选项A中样本间隔为10，选项B中样本间隔为15，选项C中样本间隔为10， 选项D中样本间隔为20. 故选：D 7．【详解】对于A项，人数较多，且图书馆的学生不能代表本校全体学生，故A项错误； 对于B项，按照相同间隔抽取的方法，是系统抽样，不是简单抽样，故B项错误； 对于C项，抽取的产品不具有代表性，故C项错误； 对于D项，符合简单随机抽样的定义， 故D项正确． 8．【详解】样本空间，这是一个古典概型，可得，， 即，，从而且. 由可得事件；又因为，所以1或2. (1)若，则，即，， 此时不满足； (2)若，则，且，又因为， 所以或，即或3； ①若，，此时或或或 ，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本 点，即有个满足条件的事件； ②若，，同理有个满足条件的事件； ③若，，此时或或或， 即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件； ④若，，同理有个满足条件的事件； 综上所述，满足条件的事件共计个. 故选：C. 9．【详解】由题意知，所以， 因为，所以，即， 综上，解得，，故A不正确，B正确； 因为，所以，故C正确； ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．【详解】A选项，因为样本数据的平均数为7，所以， 解得，故， 所以的平均数为8． 因为样本数据的方差为6， 所以， 故， 故， 所以 ， 所以的方差为， A选项正确； B选项，线性回归方程的图象一定经过样本点的中心， 因为，所以，代入可得， 所以，所以B不正确； 对于C选项，根据正态曲线的对称性，， 则，所以C不正确； 对于D选项，在单峰不对称的频率分布直方图中， 和中位数相比，平均数总在“拖尾”的那边，所以平均数小于中位数，所以D选项正确. 故选：AD． 11．【详解】根据二项式定理，展开后的通项为. 从而展开式为，这就直接得到： 对于A，展开式的各项系数之和等于，故A错误； 对于B，项的系数为，故B正确； 对于C，无理项的系数之和等于，故C正确； 对于D，系数最小的是一项，即第项，故D错误． 故选：BC． 12．【详解】依题意服从参数为的超几何分布， 所以， 13．【详解】由知， 令， 14．【详解】（1）由题设，不同的选修方案有种； （2）若2个英文字母相同，则有种； 若2个英文字母不相同，则有种； 所以，共有种. （3）由题意，教师按人数分组，则种不同的分配方案. （4）将除甲乙外的三人先排成一排有种，所成排中有4个空，再把甲乙插入其中一个空有种， 所以共有种. （5）由题意，前3节课任选一节上数学有种，再前5节课余下的4节任选一节上英语有种，最后将其它4科全排有种， 所以，不同的排法有种. 15．【详解】（1）令得：；令得：， . （2）令得：. （3）由（1）（2）知：， 两式作和得：，. 16．【详解】（1）记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 （2）若取到的是次品， 此次品由甲车间生产的概率为： 此次品由乙车间生产的概率为： 此次品由丙车间生产的概率为： 17．【详解】（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下：     性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 13 30 43 女性 7 50 57 总计 20 80 100 零假设：“公序良俗”达人与性别无关， 可得， 所以根据小概率值的独立性检验，我们可推断不成立，即认为“公序良俗”达人与性别有关． （2）由题意，随机变量的可能有，，，， 可得， ， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以数学期望. 18．【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，所以 又因为，所以样本的第40百分位数为： （3）因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为： 其中至少有1个数据来自高三学生的情况为： 所以至少有1个数据来自高三学生的概率为： 19．【详解】（1）由散点图数据得 ， ， 又，，， 所以， 故与的线性相关性较强，所以可以用线性回归模型拟合与的关系． （2）由（1）得， 则， 所以关于的线性回归方程为， 令，即，解得， 即时，高铁的营业里程将会达到7万公里， 所以预测到2030年我国高铁的营业里程将会达到7万公里． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$