黄金卷01（江苏无锡专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列说法：①一个数的绝对值一定是正数；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则点P是线段的中点；其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x>2 C．x≥-2且 x≠0 D．x≤2 3．方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 4．网购越来越受到居民的喜爱，小明和小亮两位同学家里去年8∼12月份收到的快递数量如下： 月份 8 9 10 11 12 小明家快递数（件） 6 7 8 6 8 小亮家快递数（件） 5 10 7 6 7 根据以上数据，关于小明和小亮两位同学家里去年8∼12月份收到的快递数量，下列说法正确的是（　　） A．小明家平均每月收到的快递件数大于小亮家 B．两家快递件数的中位数相同 C．小明家每月收到的快递件数波动程度较大 D．两家快递件数的众数相同 5．下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ） A．20 B． C．15 D． 7．小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以6米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以6米/秒的速度跑了x米，则列方程为（　　） A． B． C． D． 8．在中：①，②，③，④，⑤，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，若，，则对角线交点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论正确的是（   ） ①； ②； ③； ④当，m为非负整数时，有； ⑤满足的非负数x只有两个． A．①④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．①③④ 二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分.） 11．分解因式： = ． 12．人一年心跳的正常次数约为36800000次，用科学记数法可以表示为 次. 13．直接写出图中的度数为 ． 14．不等式组 的正整数解的和为 . 15．如图，正方形的边轴，点B、C在x轴上，已知点A的坐标是，反比例函数的图象经过点A，交于点E，则点E的坐标是 ．    16．如图，在圆O中，弦，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接、，过点O分别作，，垂足分别是点D、E，则 ． 17．如图，在中，，边OA在x轴上，若双曲线经过边OB上一点，则k值为 ． 18．若，、为线段上的两点，，且，若，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共10题，第19-20每题8分，第21-28每题10分，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（8分）计算与化简： (1) (2) 20．（8分）解方程 （1）（4x﹣1）2﹣9=0 （2）解方程：x2﹣3x﹣2=0． 21．（10分）如图，已知点C，E在线段上，，，．求证：． 22．（10分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的20个小球，其中红球6个，黑球14个 （1）先从袋子中取出x（x＞3）个红球后，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”，记为事件A．请完成下列表格． 事件A 必然事件 随机事件 x的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入2m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率是，求m的值． 23．（10分）某校为了了解九年级学生的视力健康水平，在开学初进行了视力调查．对随机抽测的部分学生视力情况进行统计（及以上为正常视力）： 部分学生视力情况频数分布表 视力 频数 频率 (1)______，______，并补全频数分布直方图； (2)针对抽测结果，小张认为全市初中生的视力情况比较糟糕，视力正常的大约为，你同意他的观点吗？说明你的理由． 24．（10分）在中，，是的角平分线 (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若，且，求的长； (3)如图3，当时，求证：． 25．（10分）某地有A和B两种特色的水果，王爷爷在东门市场购买了6千克A种水果和3千克B种水果共用了108元；王爷爷以同样的单价在西门市场购买了5千克A种水果和2千吉B种水果共用了88元． (1)求A种水果和B种水果的单价分别是多少元？ (2)若李奶奶要购买A和B两种水果共20千克，购买A种水果的重量不小于B种水果重最的4倍，请问李奶奶用296元购买A和B这两种水果有几种方案？（A和B两种水果的重量都取整数） 26．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC． （1）求证：AMC是正三角形； （2）若AC＝，求⊙O半径的长． 27．（10分）在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60° (1)如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数　 °，∠CON的度数为　 °； (2)如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　 　°； (3)在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则AOD的度数为　 　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC　 　∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）． 28．（10分）如图，已知抛物线经过三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷01 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D B A B D C A B 二、填空题：（本大题共8题，每题3分，共24分.） 11． 12． 13．/度 14．3 15． 16．4 17． 18．16.5 三、解答题：（本大题共10题，第19-20每题8分，第21-28每题10分，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（8分）（1）解： ．（4分） （2）解： ．（8分） 20．（8分）（1）(4x－1)2－9＝0 ， 4x－1＝±3，   x1＝1，x2＝－ . （4分） （2）x2―3x―2＝0， a=1，b=-3，c=-2， Δ＝（-3）2-4×1×（-2）=17，       x1＝， x2＝ .（8分） 21．（10分）证明：∵， ∴．（2分） 在和中，，（6分） ∴，（8分） ∴．（10分） 22．（10分）（1）当袋子中全为黑球，即摸出6个红球时，摸到黑球是必然事件； ∵x＞3，当摸出4个或5个红球时，摸到黑球为随机事件， 事件A 必然事件 随机事件 x的值 6 4、5 故答案为6；4、5．（6分） （2）依题意，得=， 解得 m=4，（81） 经检验m=4是原方程的解 所以m的值为4．（10分） 23．（10分）（1）解：∵样本容量为：， ∴，，（3分） 补全频数分布直方图如下： （6分） 故答案为：；； （2）解：∵该校九年级学生的视力健康水平不具有代表性， ∴我不认同小张认为全市初中生的视力情况比较糟糕，视力正常的大约为．（10分） 24．（10分）（1）∵， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴（3分） （2）过D作DE⊥BC于E ∵， ∴ ∴ ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（6分） （3）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H， ∵A'B=A'C，AB=AC， ∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°， ∵AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠ACA′=∠ABD=20°， 在△ABD和△ACD'中， ， ∴△ABD≌△ACD'（SAS）， ∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°， ∴∠AD′C=60°，连接AA′， ∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°， ∴A'D'=AD'， ∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD， 即BC=BD+AD．（10分） 25．（10分）（1）设A种水果的单价为x元/千克，B种水果的单价为y元/千克， 依题意，得， 解得， 答：A种水果的单价为16元/千克，B种水果的单价为4元/千克；（4分） （2）设购买A种水果a千克，则购买B种水果千克， 依题意，得， 解得， ∵重量取整数， ∴a可以取16、17、18． 则有三种购买方案： 方案一：购买A种水果16千克，购买B种水果4千克； 方案二：购买A种水果17千克，购买B种水果3千克； 方案三：购买A种水果18千克，购买B种水果2千克．（10分） 26．（10分）（1）证明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠MBC＝∠ABC＝60°， ∵∠ABM与∠ACM都是弧AM所对的圆周角， ∴∠ACM＝∠ABM＝60°， ∵∠MAC与∠MBC都是弧MC所对的圆周角， ∴∠MAC＝∠MBC＝60°， ∴∠MAC＝∠ACM＝60°， ∴MA＝CM， 又∵∠ACM＝60°， ∴AMC是正三角形；（4分） （2）解：连接、，过点作于点，如图1， ， ， ， ∵＝， ， ∵，， ， ∵，， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍负）， ， ∴的半径为2．（10分） 27．（10分）（1）解：∵∠MON=90°， ∴∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°， ∴∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°， 故答案为120；150；（3分） （2）解：∵∠AOC=60°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠COM=∠MOB=， ∴∠BON=∠MON-∠MOB=90°-60°=30°， 故答案为30°；（6分） （3）解：∵∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°， ∠AOM=∠AOC+∠COM=60°+60°=120°， ∴∠AOD=∠AOM-∠MOD=120°-90°=30°， ∴∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°， ∴∠COD=∠AOD， ∵∠AOD=∠BON， ∴∠DOC=∠BON． 故答案为＝．（10分） 28．（10分）（1）解：根据题意，将点，代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为，（3分） （2）解：连接，过点向轴作垂线交直线于点Q，垂足为G，    设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， ， 当时，最大，最大为， ， ∴最大时，的面积最大，最大面积为，此时；（6分） （3）解：抛物线， 抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ，， 当时，， 解得：或， 点P的坐标为或； 当时，， 解得：， 点P的坐标为； 当时，， 解得：， 点P的坐标为； 综上所述，存在这样的点P，使得为直角三角形，点P的坐标为或或．（10分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列说法：①一个数的绝对值一定是正数；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则点P是线段的中点；其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】分别根据绝对值的定义，两点间的距离的定义，除法的意义以及中点的定义逐一判断即可． 【详解】①一个数的绝对值可能是正数或零，故原说法错误； ②连接两点的线段的长度叫这两点间的距离，故原说法错误； ③除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数，故原说法错误； ④若，点P在线段上,则点P是线段的中点，故原说法错误； 所以正确的个数是0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，两点间的距离的定义，除法的意义以及中点的定义，熟记相关定义是解答本题的关键． 2．使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x>2 C．x≥-2且 x≠0 D．x≤2 【答案】C 【分析】结合二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．求解即可． 【详解】∵代数式有意义， ∴， ∴x≥-2且x≠0． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 3．方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：x+1=2， 解得：x=1， 检验：将x=1代入得：， ∴原方程无解． 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 4．网购越来越受到居民的喜爱，小明和小亮两位同学家里去年8∼12月份收到的快递数量如下： 月份 8 9 10 11 12 小明家快递数（件） 6 7 8 6 8 小亮家快递数（件） 5 10 7 6 7 根据以上数据，关于小明和小亮两位同学家里去年8∼12月份收到的快递数量，下列说法正确的是（　　） A．小明家平均每月收到的快递件数大于小亮家 B．两家快递件数的中位数相同 C．小明家每月收到的快递件数波动程度较大 D．两家快递件数的众数相同 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、方差及众数的定义分别求解即可得出答案． 【详解】解：A、小明家平均每月收到的快递数是，小亮家平均每月收到的快递数是，选项A错误，不符合题意； B、小明家快递件数的中位数是7环，小亮家快递件数的中位数的中位数是7环，则甲、乙成绩的中位数相同，选项B正确，符合题意； C、甲的方差是， 乙的方差是， 所以小明家每月收到的快递件数波动程度较小，选项C错误，不符合题意； D．小明家快递件数的众数是6环和8环，小亮家快递件数的众数是7环，所以两家的众数不相同，本选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平均数、中位数、方差及众数的定义，理解并熟练掌握平均数、中位数、方差及众数的定义是解题关键． 5．下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】、既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 6．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ） A．20 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半解题． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴圆锥的底面周长=， ∴圆锥的侧面积=． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算公式．解题关键是运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半． 7．小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以6米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以6米/秒的速度跑了x米，则列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键．设小明以6米/秒速度跑了x米，那么以5米/秒速度跑了米．根据“一共花了10分钟”列方程即可求解． 【详解】解：设小明以6米/秒速度跑了x米，那么以5米/秒速度跑了米． 根据题意列方程：， 故选：D． 8．在中：①，②，③，④，⑤，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和判断即可． 【详解】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，设∠A=3x，则3x+4x+5x=180，x=15°，∠C=15°×5=75°，∴△ABC不是直角三角形； ③∵∠B=90°-∠A，∴∠A+∠B=90°，则∠C=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C=2∠B=∠A，∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠A+∠A=180°，∠A=，∴△ABC为不是直角三角形； ⑤∵AB：BC：CA=1：：，∴，即，∴△ABC是直角三角形； 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答． 9．如图，平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，若，，则对角线交点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握菱形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及图形与坐标是解题的关键；过点D作于点E，由题意易得，，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论正确的是（   ） ①； ②； ③； ④当，m为非负整数时，有； ⑤满足的非负数x只有两个． A．①④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．①③④ 【答案】B 【分析】先理解题意，表示对x四舍五入．①可直接判断；②③可取特殊值检验正误；④整数不影响四舍五入；⑤，则为整数，那么x是的倍数，可代入特殊值验证． 【详解】①，说法正确； ②比如时，，而，，说法错误； ③比如时，， 而，，说法错误； ④m为非负整数，则，所以当时，，说法正确； ⑤若满足，则为整数，x必然是的倍数．经验证：时；  时，符合条件的x有两个，说法正确． 故选：B 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意用特殊值法是解题的关键． 二、填空题（本大题共8题，每题3分，共24分.） 11．分解因式： = ． 【答案】 【分析】根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键． 12．人一年心跳的正常次数约为36800000次，用科学记数法可以表示为 次. 【答案】 【详解】试题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式，所以用科学记数法表示36800000=. 考点：科学记数法 13．直接写出图中的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，连接，则，求的度数就是求五边形的内角和，结合五边形内角和定理，即可求出结论 【详解】解：如图，连接， 则， ∴ , 故答案为： 14．不等式组 的正整数解的和为 . 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用不等式性质解一元一次不等式是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再确定正整数解，最后进行计算即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为： ∴正整数解为1，2 即 故答案为：3． 15．如图，正方形的边轴，点B、C在x轴上，已知点A的坐标是，反比例函数的图象经过点A，交于点E，则点E的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据点A的坐标是，四边形为正方形，得出，求出点C的坐标为，根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，把代入求出，即可得出点E的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标是，四边形为正方形， ∴， ∴点C的坐标为 ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴点E的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质，解题的关键是求出反比例函数解析式． 16．如图，在圆O中，弦，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接、，过点O分别作，，垂足分别是点D、E，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查垂径定理，由知，同理得出，从而知，据此可得答案． 【详解】解：经过圆心，， ， 同理：， 是△的中位线， ， ， ， 故答案为：4． 17．如图，在中，，边OA在x轴上，若双曲线经过边OB上一点，则k值为 ． 【答案】 【分析】作DF⊥OA于F，易证得△DOF∽△BOA，得到，求得m的值，即可求得D的坐标，代入，求得k的值． 【详解】解：作DF⊥OA于F， ∵点D（4，m）， ∴OF=4，DF=m， ∵∠OAB=90°， ∴DF∥AB， ∴△DOF∽△BOA， ∴， ∵OA=6，AB=4， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过点D， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，根据三角形相似求得D的坐标是解题的关键． 18．若，、为线段上的两点，，且，若，，则的长为 ． 【答案】16.5 【分析】作，求出CH和AC的长，作EF⊥AD于点F，作AG∥EF交BC于点G，，通过证明△ABC∽GAC,可求出BC的值，从而可求出BD的值. 【详解】解：作， ∵，且， ∴△ADE是等边三角形， ∴DH=HE=DE=，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°, ∴CH=+5=,AH==sin60°×AD=, ∴AC=. 作EF⊥AD于点F，作AG∥EF交BC于点G， 则∠AEF=∠DEF=30°,AF=DF， ∴∠AGC=150°，GE=DE=3， ∴CG=2， ∵， ∴∠BAC=∠AGC, ∵∠C=∠C, ∴△ABC∽GAC, ∴, ∴, ∴BC=, ∴BD=-3-5=16.5. 故答案为16.5. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数的知识，平行线分线段成比例定理，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键. 三、解答题（本大题共10题，第19-20每题8分，第21-28每题10分，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（8分）计算与化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂运算法则，逆用积的乘方公式进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式，平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握实数混合运算法则和整式混合运算法则，准确计算． 20．（8分）解方程 （1）（4x﹣1）2﹣9=0 （2）解方程：x2﹣3x﹣2=0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝－；（2）x1＝， x2＝ . 【详解】试题分析： （1）先把9移到方程的右边，再用直接开平方法解方程； （2）用一元二次方程的求根公式求解. 试题解析： （1）(4x－1)2－9＝0 ， 4x－1＝±3，   x1＝1，x2＝－ . （2）x2―3x―2＝0， a=1，b=-3，c=-2， Δ＝（-3）2-4×1×（-2）=17，       x1＝， x2＝ . 21．（10分）如图，已知点C，E在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先求得，利用证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键 22．（10分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的20个小球，其中红球6个，黑球14个 （1）先从袋子中取出x（x＞3）个红球后，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”，记为事件A．请完成下列表格． 事件A 必然事件 随机事件 x的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入2m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率是，求m的值． 【答案】（1）6；4、5；（2）m的值为4． 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可． 【详解】（1）当袋子中全为黑球，即摸出6个红球时，摸到黑球是必然事件； ∵x＞3，当摸出4个或5个红球时，摸到黑球为随机事件， 事件A 必然事件 随机事件 x的值 6 4、5 故答案为6；4、5． （2）依题意，得=， 解得 m=4， 经检验m=4是原方程的解 所以m的值为4． 【点睛】此题考查概率公式，随机事件，解题关键在于根据题意列出表格. 23．（10分）某校为了了解九年级学生的视力健康水平，在开学初进行了视力调查．对随机抽测的部分学生视力情况进行统计（及以上为正常视力）： 部分学生视力情况频数分布表 视力 频数 频率 (1)______，______，并补全频数分布直方图； (2)针对抽测结果，小张认为全市初中生的视力情况比较糟糕，视力正常的大约为，你同意他的观点吗？说明你的理由． 【答案】(1)；；图见解析 (2)不认同，因为该校九年级学生的视力健康水平不具有代表性 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）利用“频率”求出总数，进而得出、的值，再补全频数分布直方图即可； （2）根据抽样调查的意义解答即可． 【详解】（1）解：∵样本容量为：， ∴，， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：；； （2）解：∵该校九年级学生的视力健康水平不具有代表性， ∴我不认同小张认为全市初中生的视力情况比较糟糕，视力正常的大约为． 24．（10分）在中，，是的角平分线 (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若，且，求的长； (3)如图3，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等角等对边依次证明AD= BD， BD =BC即可； （2）根据角平分线过D作BC垂线即可； （3）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，易证△ABD≌△ACD'，可得AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，即可求得A'D'=AD'，即可解题． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ （2）过D作DE⊥BC于E ∵， ∴ ∴ ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H， ∵A'B=A'C，AB=AC， ∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°， ∵AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠ACA′=∠ABD=20°， 在△ABD和△ACD'中， ， ∴△ABD≌△ACD'（SAS）， ∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°， ∴∠AD′C=60°，连接AA′， ∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°， ∴A'D'=AD'， ∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD， 即BC=BD+AD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，本题中求证△ABD≌△ACD'是解题的关键． 25．（10分）某地有A和B两种特色的水果，王爷爷在东门市场购买了6千克A种水果和3千克B种水果共用了108元；王爷爷以同样的单价在西门市场购买了5千克A种水果和2千吉B种水果共用了88元． (1)求A种水果和B种水果的单价分别是多少元？ (2)若李奶奶要购买A和B两种水果共20千克，购买A种水果的重量不小于B种水果重最的4倍，请问李奶奶用296元购买A和B这两种水果有几种方案？（A和B两种水果的重量都取整数） 【答案】(1)A种水果的单价为16元/千克，B种水果的单价为4元/千克 (2)有三种购买方案：①购买A种水果16千克，购买B种水果4千克；②购买A种水果17千克，购买B种水果3千克；③购买A种水果18千克，购买B种水果2千克 【分析】（1）设A种水果的单价为x元/千克，B种水果的单价为y元/千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买A种水果a千克，则购买B种水果千克，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）设A种水果的单价为x元/千克，B种水果的单价为y元/千克， 依题意，得， 解得， 答：A种水果的单价为16元/千克，B种水果的单价为4元/千克； （2）设购买A种水果a千克，则购买B种水果千克， 依题意，得， 解得， ∵重量取整数， ∴a可以取16、17、18． 则有三种购买方案： 方案一：购买A种水果16千克，购买B种水果4千克； 方案二：购买A种水果17千克，购买B种水果3千克； 方案三：购买A种水果18千克，购买B种水果2千克． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，准确列出二元一次方程组、一元一次不等式组． 26．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC． （1）求证：AMC是正三角形； （2）若AC＝，求⊙O半径的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABM＝∠MBC＝60°，再根据同弧所对圆周角相等可得∠MAC＝∠ACM＝60°，由此即可证得结论； （2）连接、，过作于点，由圆内接四边形的性质求得，再求得，最后根据30°的直角三角形的性质以及勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠MBC＝∠ABC＝60°， ∵∠ABM与∠ACM都是弧AM所对的圆周角， ∴∠ACM＝∠ABM＝60°， ∵∠MAC与∠MBC都是弧MC所对的圆周角， ∴∠MAC＝∠MBC＝60°， ∴∠MAC＝∠ACM＝60°， ∴MA＝CM， 又∵∠ACM＝60°， ∴AMC是正三角形； （2）解：连接、，过点作于点，如图1， ， ， ， ∵＝， ， ∵，， ， ∵，， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍负）， ， ∴的半径为2． 【点睛】本题是主要考查圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等相关知识，内容较多，有一定难度，能够灵活运用相关知识是解决本题的关键． 27．（10分）在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60° (1)如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数　 °，∠CON的度数为　 °； (2)如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　 　°； (3)在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则AOD的度数为　 　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC　 　∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】(1)120；150； (2)30°； (3)30°，＝． 【分析】（1）：根据补角性质∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°，根据∠AOC=60°，利用补角性质求出∠BOC=180°-∠AOC，利用两角的和可求∠CON； （2）利用邻补角性质求出∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，根据角平分线定义求出∠COM=∠MOB=，利用余角性质求即可； （3）根据邻补角∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°，利用两角和求出∠AOM=120°， 再利用两角差求出∠AOD=30°，进而求出∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°，利用对顶角性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵∠MON=90°， ∴∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°， ∴∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°， 故答案为120；150； （2）解：∵∠AOC=60°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠COM=∠MOB=， ∴∠BON=∠MON-∠MOB=90°-60°=30°， 故答案为30°； （3）解：∵∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°， ∠AOM=∠AOC+∠COM=60°+60°=120°， ∴∠AOD=∠AOM-∠MOD=120°-90°=30°， ∴∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°， ∴∠COD=∠AOD， ∵∠AOD=∠BON， ∴∠DOC=∠BON． 故答案为＝． 【点睛】本题考查三角板中的角度计算，角平分线定义，邻补角性质，余角性质，对顶角性质，角的和差，掌握三角板中的角度计算，角平分线定义，邻补角性质，余角性质，对顶角性质，角的和差是解题关键． 28．（10分）如图，已知抛物线经过三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积最大，最大面积为，此时 (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）将点代入解析式求解即可； （2）过点向轴作垂线交于点Q，设，，得到的值，计算即可； （3）设，直角三角形的性质分类讨论即可； 【详解】（1）解：根据题意，将点，代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为， （2）解：连接，过点向轴作垂线交直线于点Q，垂足为G，    设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， ， 当时，最大，最大为， ， ∴最大时，的面积最大，最大面积为，此时； （3）解：抛物线， 抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ，， 当时，， 解得：或， 点P的坐标为或； 当时，， 解得：， 点P的坐标为； 当时，， 解得：， 点P的坐标为； 综上所述，存在这样的点P，使得为直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，特殊三角形与的存在问题，二次函数的面积问题，一次函数，利用分类讨论组成直角三角形，应用勾股定理构造方程求点P坐标是解题关键． 15 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$