19.3 正方形-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(华东师大版)

19.3 正方形 情境导入 知识讲解 随堂练习 当堂检测 课堂小结 例题精讲 学 习 目 标 1.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.（重点） 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系，进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.（难点） 情 境 导 入 观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 矩 形 〃 〃 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 探索 正方形 2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 一组邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 知 识 讲 解 知识点 正方形的定义 正方形的定义： 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 性质： 1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 四边形 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形. 例 1 例 题 精 讲 如图，已知正方形ABCD.求∠ABD、∠DAC、∠DOC的大小. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴OA=OC=OB=OD，∠DOC=∠AOD=∠AOB=90°. ∴△AOD与△AOB都是等腰直角三角形. ∴∠ABO=∠DAC=45°. 随 堂 练 习 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等 B 2.（1）边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm A B C D O （2）正方形的对角线长是8，面积是 . （3）正方形的周长是32cm，对角线长是 . 32 3. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积． 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ， 面积为 AD2＝8. 探索 正方形的判定 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 选择一个给予证明，并在小组内讨论分享. 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD = AB = BC = CD. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 证明：对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 正方形 菱形 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵ AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 证明：对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 知识点 正方形的判定 知 识 讲 解 1.一组邻边相等的矩形是正方形. 2.对角线互相垂直的矩形是正方形. 3.一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形. ① 对角线相等的菱形是正方形 ( ) ② 对角线互相垂直的矩形是正方形 ( ) ③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ( ) ④ 四条边都相等的四边形是正方形 ( ) ⑤ 四个角都相等的四边形是正方形 ( ) ⑥ 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.( ) 1.判断对错 √ √ × × × √ 随 堂 练 习 2.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC A B C D O C 3.在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°. ∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中， AE = BF = CM = DN， ∠A =∠B =∠C =∠D， AN = BE = CF = DM， ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM. ∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF. ∴ 四边形 EFMN 是菱形. 又∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF ) = 180° - (∠AEN +∠ANE) = 180° - 90° = 90°. ∴ 四边形 EFMN 是正方形. 当 堂 检 测 2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 （　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °. 4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 °. A D B C O A D B C O E 45 90 22.5 第3题图 第4题图 45 5. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB = BC (答案不唯一) A B C D O 6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）． ②③或①④ 7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长． 解：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC. ∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE. ∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE. 在 Rt△ABC 中， ∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm． 8. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且BE⊥DF.理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC，∠BCE = 90° . ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 90°. ∴∠BCE = ∠DCF. 又∵CE = CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE = DF. A B D C F E 9. 如图，△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且 DE∥AC，DF∥AB． （1）试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由； （2）连结 AD，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形？为什么？ 解：（1）∵ DE∥AC，DF∥AB， ∴ 四边形 AEDF 为平行四边形. （2）AD 平分∠BAC. 理由如下： 当 AD 平分∠BAC 时，∠EAD =∠FAD. ∵ DE∥AC，∴∠EDA =∠FAD. ∴ ∠EAD =∠EDA. ∴ EA =ED. ∴ □AEDF 为菱形. （3）在（2）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形？不必说明理由． 解：在（2）的条件下，四边形 AEDF 为菱形， 故只需 △ABC 满足∠BAC 为直角即可使四边形 AEDF 为正方形． 课 堂 小 结 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 课 后 作 业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$