第2课时 菱形的判定-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(华东师大版)

19.2 菱形 第2课时 菱形的判定 情境导入 知识讲解 随堂练习 当堂检测 课堂小结 例题精讲 学 习 目 标 1.探索并理解菱形的判定定理.（重点） 2.灵活运用菱形的判定定理，解决菱形的有关计算和证明问题.（难点） 3.综合运用菱形的性质与判定，解决菱形的有关计算和证明问题.（难点） 情 境 导 入 复 习 回 顾 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 1.菱形的定义是什么？性质有哪些？ 这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示？ 试一试 菱形具有“四条边都相等”的性质，如果一个四边形的四条边都相等，那么它是一个菱形吗？ 步骤: 1.画两条相等的线段AB、AD； 2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C； 3. 连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD. 作一个四条边都相等的四边形. 观察你所画的图形,它是菱形吗?你能证明一下吗？ C A B D 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D 知 识 讲 解 知识点 菱形的判定定理 AB = BC = CD = AD 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形. 四边形 ABCD A B C D 例 4 例 题 精 讲 如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形?并说明理由. G F E H D C B A 解：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AB = CD，AD = BC， ∴四边形 EFGH 是菱形. ∵点 E，F，G，H 为各边中点， ∴易证△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH， ∴EH = EF = GF = GH. ∴AE = EB=CG = GD，AH = HD=BF = FC. ∠A = ∠C = 90°， 1. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　） A．AB = BC B．AC = BC C．∠B = 60° D．∠ACB = 60° B 解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE， ∴ AC∥DE，AC = DE. ∴ 四边形 ACED 为平行四边形. 当 AC = BC 时， 平行四边形 ACED 是菱形． 故选 B． 随 堂 练 习 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (S.A.S.). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED.求证：四边形 CDEF 是菱形. 2 A C B E D F 1 菱形还具有“对角线互相垂直”的性质，类比矩形的判定，如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么它是一个菱形吗？ 探索 除了定义和判定定理1，还有其他方法判定菱形吗？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形.转动其中一根木棒,重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于90°时，得到的是什么图形呢? 步骤: 1.作两条互相垂直的直线m，n，记交点为点O； 2.以点O为圆心，适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC； 3.以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD； 4.顺次连结所得的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形. 试一试 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形. n m D C B A O 你能证明一下吗？ 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 知 识 讲 解 知识点 菱形的判定定理 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD 几何语言描述： 在 □ABCD 中， ∵AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 例 5 例 题 精 讲 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. A B C D E F O 1 2 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2. ∵ EF 垂直平分 AC， ∴ AO = OC. 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形. 随 堂 练 习 1.在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是（ 　 ） A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD B B C A D O E M N 证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD =∠EOC = 90°. ∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO. ∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE. ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵ DE⊥AC， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 2. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连结 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形. 当 堂 检 测 1.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 到点 E，使 AE = AB，连接 ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形 ACDE 成为菱形的是（　　） A．AB = AD B．AB = ED C．CD = AE D．EC = AD B 3. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和 10 cm，则其面积为 cm2. 120 2. 判断下列说法是否正确： (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形； (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 4.如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ABCD 的周长. 解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD. ∵ AC 平分∠DAB， ∴∠DAC =∠BAC. ∴∠DAC =∠ACD. ∴ AD = CD. ∴ 平行四边形 ABCD 为菱形. ∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8. 5.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长. 解: ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC. ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形. （对角线互相垂直的平行四边形是菱形） ∴ 又∵ AD = 5，满足 ∴ AB = AD = 5 . 证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得 AB = AF，∠BAE =∠FAE. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB. ∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE. ∴ BE = FA. ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形. ∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形. 6.如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长． 解：∵ 四边形 ABEF 为菱形， ∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO． 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4， ∴ AE = 2AO = 8． 课 堂 小 结 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 课 后 作 业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$