17.1 变量与函数-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(华东师大版)

17.1 变量与函数 情境导入 知识讲解 随堂练习 当堂检测 课堂小结 例题精讲 学 习 目 标 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义.（重点） 2.结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能用适当的函数表示法表示简单实际问题中变量之间的关系.（重点） 3.能确定简单实际问题中自变量的取值范围,并会求出函数值. （难点） 情 境 导 入 我们所处的世界时刻都在发生着变化： 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 问题1 下图是某地一天内的气温变化图. 你能从图中看到哪些信息？ (1)这天的6时的气温为 ℃；10时的气温为 ℃；14时的气温为 ℃； -1 5 -4 2 5 (2)最高气温为 ℃；最低气温为 ℃. (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高；0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低． 　 从图中我们还可以看到，随着时间 t(时)的变化，相应地，气温T(℃)也随之变化． 　 这张图展示了各时刻的气温，并可以看出一天的气温变化规律. 问题2 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重(kg)，如下表： 周 岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？ 随着年龄的增长，体重也随着增长；且在1-2周岁体重增加较快. 问题3 收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的. 下面是一些对应的数值. 波长λ（m） 300 500 600 1 000 1 500 频率f（kHz） 1 000 600 500 300 200 观察上表回答： (1)波长 λ和频率 f 数值之间有什么关系? (2)波长λ越大，频率f 就_____． λ与 f 的乘积是一个定值，即λf＝300 000，或者 300 000 λ f = 越小 问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S＝____. 利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表： πr2 半径r(cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 ... 圆面积S(cm2) ... π 2.25π 4π 6.76π 10.24π 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______． 越大 在上述4个问题中，都是一些变化的过程，出现了各种各样的数量，你认为可以怎样分类？ 数值发生变化的量 变量 数值始终不变的量 常量 问题1中的时间t、气温T； 问题3中的300 000； 问题4中的π. 问题2中的周岁、体重； 问题3中的波长λ、频率f； 问题4中的圆面积S、半径r. 思考 知 识 讲 解 知识点1 变量与函数 变量： 在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.即数值发生变化的量为变量. 常量： 在某一变化过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量.即数值始终不变的量为常量. 例 1 例 题 精 讲 A 随 堂 练 习 A B 上述三个问题有什么共同之处？ 1.“票房收入问题”中有几个变量？ 当售出电影票数x确定时，有多少个票房收入值y与之对应？ 2.“行程问题”中有几个变量？ 当行驶时间t确定时，有多少个行驶里程s与之对应？ 3.“温度变化问题”中有几个变量？ 当时间t确定时，有多少个温度T与之对应？ 思考 知识点2 自变量、因变量函数 知 识 讲 解 如果在某一变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数(因变量是自变量的函数). 例 1 例 题 精 讲 D 下列关系式当中，y 不是 x 的函数的是 ( ) A. y = 2x - 3 B. y = x2 + 3 C. y = 2|x| + 3 D. y2 - 3x = 0 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 随 堂 练 习 C C 图象法 列表法 解析式法 波长λ（m） 300 500 600 1000 1500 频率f（kHz） 1000 600 500 300 200 S=πr2 300000 λ f = 我们可以怎么表示函数的关系呢？ 想一想 知识点3 函数三种表示方法 知 识 讲 解 解析式法 列表法 图象法 定义 实例 优点 通过列出自变量的值，与对应函数值的表格表示函数关系的方法 问题2、3 具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系 用数学式子表示函数关系的方法 问题1 准确反映了函数随自变量变化的数量关系 用图象表示两个变量间的函数关系的方法 问题3、4 直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律 思考 问题1-4中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 问题1：下图是某地一天内的气温变化图. 思考 问题1-4中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 问题2：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重(kg)，如下表： 周 岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 思考 问题1-4中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位 标刻的.下面是一些对应的数值. 波长λ（m） 300 500 600 1 000 1 500 频率f（kHz） 1 000 600 500 300 200 问题4：圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径， S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S＝πr2 试一试 1.填写如图所示10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么? 1 1 2 3 4 5 6 7 12 8 10 11 9 2 3 4 5 6 7 12 8 10 11 9 5 6 2 ＋ 横向的加数与纵向的加数之和为10； 涂黑的格子在一条直线上. 2.如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，y是x的函数，那么y和x之间的函数关系式是 . y=10-x 3.当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是___，当纵向的加数为6时，横向的加数是___. 7 4 1 1 2 3 4 5 6 7 12 8 10 11 9 2 3 4 5 6 7 12 8 10 11 9 5 6 2 ＋ 知识点4 自变量的取值范围与函数值 知 识 讲 解 1.在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，它必须符合实际意义.超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围． 2.若y是x的函数，且当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 例 1 例 题 精 讲 解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可知 2x+y=180°, 有 y=180°-2x. 由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是0°<x<90°. 等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围. y x 例 2 例 题 精 讲 等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合． (1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA长度x(cm)之间的函数关系式． (2)当A点向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少?   分析：(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系； (2)将x=1cm代入，可得出重叠部分的面积． M Q N P A B C x x 解：(1)重叠部分面积 y与线段MA长度 x之间的函数关系式为 (2)点A向右移动1cm，即x=1， 所以当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积为 cm2. 随 堂 练 习 1.汽车的油箱中有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1L/km. (1) 写出表示 y 与 x 的函数关系的式子； 解：(1) y = 50 - 0.1x (2) 指出自变量 x 的取值范围； (2)由题意知：50 - 0.1x ≥ 0，即 x≤500， 又∵ 汽车行驶里程 x ≥ 0 ∴ 自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500. （3）当 x = 200 时，函数 y 的值为 y = 50 - 0.1×200 = 30. 因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱 中还有油 30 L. (3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？ 当 堂 检 测 C 3.指出下列函数的常量、变量、自变量和函数： D 4.一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每小时25 m3的排出量排水. (1)写出游泳池内剩余水量Q m3与排水时间t h间的函数关系式； (2)写出自变量t的取值范围. 解:(1)排水后的剩水量Q是排水时间 t 的函数，函数表达式为 Q= 300 - 25t =-25t+300. (2)由于池中共有300 m3水，每时排25 m3，全部排完只需300 ÷ 25 = 12 ( h)，故自变量 t 的取值范围是0 ≤t≤12. (3)开始排水后的第5h末，游泳池中还有多少水？ (4)当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多长时间？ (3)当t=5时，代入函数表达式,得Q=-5 ×25 +300 = 175 ( m3)，即排水5h后，池中还有水 175 m3. (4)当Q=150时，由 150 =- 25t+ 300 ,得t =6 (h)，即池中还剩水150 m3时，已经排水6 h. 在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 解析法，列表法和图象法 变量与函数的概 念及其表示方法 常量与变量 函数 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数． 函数的表示方法 课 堂 小 结 符合实际意义 自变量的取值范围 若y是x的函数，且当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 函数值 课 后 作 业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 某超市某种商品的单价为70元，若买x件该商品的总价为y元，则其中的常量是(　　) A．70 B．x C．y D．不确定 1.自由下落物体下落的高度h与下落的时间t之间的函数关系式为h＝gt2(g取9.8 m/s2)，在这个变化过程中，变量为(　　) A．h；t B．h；g C．t；g D．t 2．关于圆的周长公式C＝2πr，下列说法正确的是(　　) A．π，r是变量，2，C是常量 B．C，r是变量，2，π是常量 C．r是变量，2，π，C是常量 D．C是变量，2，π，r是常量 1．当前，雾霾严重，治理雾霾的方法之一是将已产生的PM2.5吸纳降解．研究表明：雾霾的严重程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，在这个问题中，自变量是(　　) A．雾霾的严重程度 B．PM2.5 C．城市中心区立体绿化面积 D．雾霾 2．用总长为100 m的篱笆围成长方形场地，长方形面积S(m2)与一边长l(m)之间的函数关系式为S＝l(50－l)，那么下列说法正确的是(　　) A．l是常量，S是变量，S是l的函数 B．50是常量，S和l是变量，l是S的函数 C．50是常量，S和l是变量，S是l的函数 D．l是变量，50和S是常量，l是S的函数 1．下列曲线中，表示y是x的函数的是(　　) A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 2．已知函数y＝，当x＝a时，函数值为1，则a的值是(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 $$