第1课时 分式方程及其解法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(华东师大版)

16.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 分式方程及其解法 情境导入 知识讲解 随堂练习 当堂检测 课堂小结 例题精讲 学 习 目 标 1.了解分式方程的概念，能辨识分式方程. 2.会求可化为一元一次方程的分式方程的解.（重点） 3.知道分式方程可能会产生增根，理解检验的必要性并会进行检验.（难点） 2.这类方程有什么特点？ 回顾复习：1.以前我们学过什么方程？ 一元一次方程方程. 情 境 导 入 复 习 回 顾 含一个未知数，未知数次数都是1，整式方程. 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度. 情 境 导 入 问题 设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得 是一元一次方程吗？有什么区别？ 知 识 讲 解 知识点1 分式方程的概念 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 分式方程的主要特征： （1）等式中含有分式； （2）分母中含有未知数. 随 堂 练 习 1.判断下列式子是否是关于x的分式方程： ✔ ✘ ✘ ✘ 思考 怎样解分式方程呢?有没有办法可以去掉分式方程中的分母，把它转化为整式方程呢?试动手解一解.上面列出的方程( * ). 回顾一下解一 元一次方程时是怎样去分母的，从中能否得到一点启发？ 整式方程 （一元一次方程） 区别 （分母中含有未知数） 解分式方程的基本思路： 分式方程 去分母 两边同乘以最简公分母 分式方程 整式方程 解：方程两边同乘以(x+3)(x-3)，约去分母，得 80(x-3)=60(x+3) 解这个整式方程，得 x=21 由此可得问题的答案：轮船在静水中的速度是21千米/时. 问题中所列方程 可以这样解： 解：方程两边同乘以(x+1)(x-1)，约去分母，得 x+1=2 解这个整式方程，得 x=1 小明说：“x=1一定是原分式方程的解.”他的想法对吗？ 解分式方程： 2 x2-1 1 x-1 = 例 1 知 识 讲 解 我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式（最简公分母），并约去分母，这个整式方程有时与原分式方程同解，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这个根叫增根，增根不是原分式方程的根. 思考 为什么会产生增根呢? 由此可知，解分式方程可能产生增根.因此，解分式方程必须检验. 我们知道在将分式方程变形为整式方程时，依据的是方程的基本性质2，即在方程两边同时乘以或除以同一个不等于零的数，方程的解不变.如一元一次方程. 两边同乘以 (x+3)(x-3) (解为x=21) 80(x-3)=60(x+3) 同解 x+1=2 两边同乘以 (x+1)(x-1) ≠0 =0 (解为x=1) 不同解 思考 如何对分式方程进行检验呢？ 检验时只须把整式方程的根代入最简公分母，看其值是否为0. 若最简公分母的值不为0，这个根就是分式方程的根； 若最简公分母为0，则这个根是分式方程的增根. 例 2 例 题 精 讲 解：方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得 100（x-7）=30x， 解这个整式方程，得 x=10. 检验：把x=10代入x(x-7)，得 10×（10-7)≠0. 所以，x=10是原方程的解. 也可以代入原方程进行检验，试试看. 随 堂 练 习 解： 方程两边同乘以(2x+1)(x-1)，约去分母，得 2(2x+1)=3(x-1) 解这个整式方程，得 x=-5 1.解分式方程： 3 2x+1 2 x-1 = 检验：将x=-5代入(2x+1)(x-1)，得 (-10+1)(-5-1)≠0， ∴x=-5是原方程的解. 解:方程两边同乘以(x+1)(x-1)，约去分母，得 x+1=2. 解得x=1. 检验:把x=1代入(x+1)(x－1)，得 (1+1)(1-1)=0， ∴ x=1是原方程的增根， 2.解分式方程： ∴ 原方程无解. 当a为何值时，方程 + = 有增根？ 解： 方程两边同乘以x(x-1)，约去分母，得 3(x-1)+6x=x+a 解这个整式方程，得 3 x ∵方程的增根是x=0或x=1， ∴a=-3或a=5. x+a x(x-1) 6 x-1 即3+a=0或3+a=8， x= 3+a 8 做一做 当 堂 检 测 1.下列关于x的方程是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 2.把分式方程 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘(　　) A．x　　　 B．2x　　　 C．x＋4　　　 D．x(x＋4) D 3.解分式方程 时，去分母后变形正确的为(　　) A．2＋(x＋2)＝3(x－1) 　 B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3 　 D．2－(x＋2)＝3(x－1) D 解:方程两边同乘以 x(x－1)，约去分母,得 4(x－1)=3x. 解得x=4. 检验：把x=4代入x(x－1)， 得x(x－1)=4×(4－1)≠0， ∴ x=4是原方程的解. 解:方程两边同乘以 (x+3)(x－3)，约去分母，得 x+3=6. 解得x=3. 检验:把x=3代入(x+3)(x－3)， 得(x+3)(x－3)=0， ∴ x=3是原方程的增根，原方程无解. 4.解分式方程： 课 堂 小 结 可化为一元一次方程的分式方程 分式方程 解分式方程的基本步骤 方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，该解是增根； 4. 写出原方程的解. 课 后 作 业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$