黄金卷01（福建专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

命学科网 Www,ZX×k,c0m 让敦与学更高效 【赢在中考黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷01 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选 择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上) 1 2 3 5 6 7 8 10 D B D A C B 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分） 11.3 12.1=2=0 13.扇形统计图 15.549 161<1s 三、解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共 86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.解：（1+38+-2-阿 =1+2-3… (4分)》 =0 (8分) 18.解：解不等式①： 移项、合并同类项得：x≤1…(2分) 解不等式②： 去分母得：1+2x>3x-3, 移项、合并同类项得：-x>-4 系数化为1得：不<4.(5分) 所以原不等式组的解集是x≤1.…(6分) 把解集在数轴上表示为： -4-3-2-101234 (8分) 19,证明：：AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBE, '∠BDC=∠BCD, BC=BD,…(3分） 1/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 在△ABD与aECB中， AD=EB ∠ADB=∠CBE BD=BC △ABD≌△ECB(SAS,a(7分) AB=EC.(8分) 20.解： 1 x+2 x-1'x2-2x+1x+2 =1x-121 x-1x+2x+2 =-11 x+2x+2 s-T x+2' (6分) 当x=2时， 照式品时 4(8分) 21.(1)解：根据扇形统计图可知：a%=1-10%-20%-20%-30%=20%, .a=20于(2分) (2)解：所调查的学生阅读时间数据的平均数为： 10×50×109%+11×50×209%+12x50x20%+13×50×30%+14×50×209%=12.3(小时)，(4分) 50 将所调查的学生阅读时间从小到大进行排序，排在第25位的是12小时，排在第26位的是13小时，因此 中位数是2+13=125（小时）. ,(6分） 2 (3)解：2800×(30%+20%)=1400（名）， 答：估计一个月课外阅读时间在样本平均数以上的学生约有1400人.…… (8分) 22.(1)证明：连接0C,如图： :AC平分∠BAD, 2/9 命学科网 www.zxxk.com 让敦与学更高效 ∠DAC=∠CA0. :0A=0C, LCAO=∠0CA, ∠DAC=∠OCA, AD∥0C,…(3分) :AD⊥DC, C0⊥DC, :0C是⊙0的半径， 二CD是00的切线： .(5分) (2)解：：E是BC的中点，且OA=OB, :OE是ABC的中位线，AC=2OE, .OE =6cm, ∴，AC=12cm. :AB是0O的直径， ,∠ACB=90°=∠ADC. 又∠DAC=∠CAB, DAC CAB. (8分) AD AC 即4D、12 1220' 36 六AD= 5 cm. (10分) 23.(1)解：a=60°， ∴.圆的半径等于AB长，即圆的半径为10， .圆的面积为102×π=100π： 故答案为：100π；…(3分) (2)如图2，AD⊥1的理由是： 由作图可知，四边形ABDC是菱形， .AD⊥1. 设BC与AD交于点O, 3/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 D 图2 ABDC是菱形， 、.B0=BD=6,AD=2A0, ∴.A0=√AB2-0B2=V102-62=8, .AD=2A0=16cm, 故答案为：菱形，16 ，.(6分) (3)如图所示，点E即为所作： :ABCD是矩形， ∴.AD=BC=16, 由作图可得BF=BD=√AD2+AB2=V162+122=20, ∴.CF=BF-BC-20-16=4, 设DE=EF=x,则CE=12-x, 根据勾股定理可得CE2+CF2=EF2,即12-x2+42=x2, 解将：=9甲DE-9 3 D , (10分) 24.(1)将A1,0),B5,0),C(05)代入y=ax2+bx+c, a+b+c=0, 得25a+5b+c=0 c=5 4/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 a=l, 解得b=6, c=5, 该函数表达式为y=x2-6.x+5.(3分) (2)C(0,5),41,0), .0C=5,0A=l, y=x2-6.x+5=(x-3)2-4, .对称轴为直线x=3,则M《3,0). .AM=2,在对称轴上取点D(310),则DM=10, 404=001 AM-MD2 又LA0C=∠AMD=90°， ∴.△A0 CAMD, .∠ADM=LAC0, 在DM上取点N3,tD,连接AN,使得AN=ND. y D 则∠ADN=∠NAD,,∠ANM=2∠ADN=2∠ACO, MN =t,AN ND =10-1,AM=2, 在R△ANM中，有AM2+MN2=AN2, 2°+=10-)2解得，1=24 5 ∴N,),由对称性可知还存在点-） 综上所达，存在点心且华标为）或3】 (3)如图，过点C作∠0CE=30°，作PQ⊥CE于点Q, 5/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 V M B 6P0-P, CP-PB+PO. 则当B、P、Q三点共线时PB+PQ值最小， 过点B作BQ⊥CE, 即当PQ分别位于P,Q时PB+PQ值最小且最小值为图中BO的长度， '∠C0'P'=∠P'OB=90,∠Q'P'C=∠OP'B, ∠OBP'=∠Q'CP'=30°， 在Rta0P'B中OB=5,∠OBP'=30, 0p'=0Btam30=5V5 ,PB=20P'=105 3 ∴Cp'=OC-Op'=5- 6则P'g.c-；-55 3 226 BQ'=PB+P'g=105,5_55555 32622 2PB+CP=2PB+CP=2(PB+PQ)的最小值为5+55.(12分) 2 25.(1)证明：如下图所示，取AC的中点F,连接EF,DF, D E ”点E为BC的中点， .EF是△ABC的中位线， .EFI‖AB且AB=2EF, :AD⊥BC于点D, 6/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 ∠ADC=90°， .DF=AF-CF-AC. 2 ∠FDC=LC, 又：AB=2DE, DE =EF LDFE=∠FDC=∠C, ∠FEC=2LFDC=2LC；mw (4分) (2)证明：如下图所示，延长CB到点M,使CB=MB,连接AM,MD, G . B :∠ABC=90°，CB=MB, :AM AC, :∠AMC=∠ACM=45°， LCAM=90°， 又：∠DAE=90°， ∠CAM=∠DAE, :∠DAM=LEAC, AD=AE 在△DAM和△EAC中 ∠DAM=∠EAC, AM=AC △DAM≌△EAC, :DM CE, :点G是BC的中点，点B是MC的中点， :.BG-IMD, 2 .BG=2CE;…s (9分) (3)解：①如下图所示，当点D在AC上时，延长CB到点P,使PB=BC=4,连接PA、PD, 7/9 命学科网 www,ZX×k,cDm 让敦与学更高效 入G p.e :△ABC是等腰直角三角形， ∠C-45°， 又：PB=BC=4,∠ABC=90°， AP=AC,∠APC=∠C=45°， ∠PAC=90°， PC=2BC=8 :AP=AC=42, 在Rta4PD中，PD=VAP+AD=42+22=6, :点G为CD中点，点B为PC的中点， 8G-Pn=3, DC=AC-AD=42-2 DG=GC=1DC=25-1, 2 过点B作BH⊥AC, :△ABC是等腰直角三角形， :.BH=AC=2, 2 ∴Sc-)CGBH=)×22-小x25=4-2: 2 ②如下图所示，当点D在CA延长线上时，延长CB到点P,使PB=BC=4,连接PA、PD, D H B 由①可得：DC=AC+AD=4V2+2, ÷DG=GC=DC=22+1, 2 8/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 过点B作BH⊥AC, :△ABC是等腰直角三角形， :BH=AC=25, 2 ∴5ac=)CGBH-=)x2W2+1×22=4+5, 2 综上所述。BCG的面积为4-√5或4+√互。…. (14分) 9/9 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 2．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）      A．   B．   C．   D．   3．某种细菌的半径约为0.00000023米，数据0.00000023用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如下图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于A、两点，若的直径为4，则弦长为（    ） A．4 B．8 C．2 D．1 6．如图，将以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，交于点F．当点E落在边上时，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．为奖励在“缤纷节”汇演中表现突出的同学，班主任派小王到文具店为获奖同学购买奖品．小王发现，购买15个文具盒和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个文具盒，多购买2支钢笔，则购买文具盒比钢笔少花36元．设文具盒单价为x元，钢笔单价为y元，则符合题意的方程组为（） A． B． C． D． 8．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮测试，共分个投篮点，每个投篮点投个球，已知甲次投篮投中次数的平均数为，方差为，乙次投篮投中次数分别为，，，，，则下列结论正确的是（    ） A．甲的平均成绩较好 B．乙的平均成绩较好 C．甲的投篮成绩较稳定 D．乙的投篮成绩较稳定 9．把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 12．关于的一元二次方程 的解是 ． 13．如果要表示某种数据在总数据中的占比，通常应选用的统计图是 ． 14．已知，则 ． 15．如图，在正五边形中，点M是边的中点，连接、，交于点N，则 ． 16．抛物线经过原点，且与轴的正半轴交于点，顶点的坐标为．若点为抛物线上一动点，其横坐标为，作轴，且点位于一次函数的图像上．当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 19．如图，，求证：． 20．先化简，再求值．，其中． 21．为了推进全民阅读，学校开展了“阅读月”活动，活动后随机调查了50名学生一个月的课外阅读时间，并将数据整理成如图所示的统计图． (1)图中的值为______； (2)求所调查的学生阅读时间数据的平均数和中位数； (3)若该校有2800名学生，请估计一个月课外阅读时间在样本平均数以上的学生约有多少人． 22．如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 23．小福与小闽两位同学结合尺规作图展开了以下探究： 素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，． 实践操作：小闽利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线． 步骤如下： ①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点． ②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点． ③连结，则直线即为所作的直线的垂线． 问题解决： （1）如图1，若，则所画圆的面积为________． （2）如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是________， ∴． 若，则________cm． 探究提升： （3）小福认为以下问题也可以借助尺规作图解决： 如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点，并求出的长．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑） 24．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点， (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，连接，已知抛物线的对称轴交x轴于点M，问对称轴上是否存在点N，使得，若存在，试求出点N坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，P为直线上一动点，求的最小值． 25．中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． (1)请你根据上边分析，完成证明过程． (2)如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． (3)如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题 1．的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，正数的绝对值是本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是其相反数，熟记运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故选：A ． 2．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即    故选：D． 3．某种细菌的半径约为0.00000023米，数据0.00000023用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，把一个数表示成与的次幂相乘的形式，这种记数方法叫做科学记数法，当原数的绝对值大于或等于时，为正整数；且等于原数的整数位数减，当原数的绝对值大于而小于时，是负整数，的绝对值等于原数左边第个非数前面所有的个数． 利用科学记数法表示数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B ． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方，完全平方公式，同底数幂乘法和合并同类项，根据幂的乘方，完全平方公式，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．如下图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于A、两点，若的直径为4，则弦长为（    ） A．4 B．8 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，根据圆周角定理得到，进而证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，， ∵的直径为4， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 6．如图，将以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，交于点F．当点E落在边上时，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：以点A为中心逆时针旋转得到， ， A、B、C都无法得出， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 7．为奖励在“缤纷节”汇演中表现突出的同学，班主任派小王到文具店为获奖同学购买奖品．小王发现，购买15个文具盒和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个文具盒，多购买2支钢笔，则购买文具盒比钢笔少花36元．设文具盒单价为x元，钢笔单价为y元，则符合题意的方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的知识，解题的关键是找到两个等量关系并列出方程组，难度不大．根据“购买15个笔记本和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个笔记本，多购买2支钢笔，则购买笔记本比钢笔少花36元”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 8．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮测试，共分个投篮点，每个投篮点投个球，已知甲次投篮投中次数的平均数为，方差为，乙次投篮投中次数分别为，，，，，则下列结论正确的是（    ） A．甲的平均成绩较好 B．乙的平均成绩较好 C．甲的投篮成绩较稳定 D．乙的投篮成绩较稳定 【答案】C 【分析】本题主要考查方差，平均数，熟练掌握方差和平均值的公式是解题的关键； 根据算术平均数的概念先求出乙的平均数，再代入方差公式求出乙的方差，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】解：甲的平均数是：（次）， 乙的平均数是：（次）， 故甲乙的平均成绩一样好； 甲的方差， 乙的方差， 甲的投篮成绩较稳定． 故选：C 9．把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①利用的长（绳子的长度的长），即可求出的长；②假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是；③假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，解之可得出的值，结合，可得出假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是． 本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：①当的长是时，的长是，结论①正确； ②假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是，结论②不正确； ③假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 符合题意， 假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是，结论③正确． 正确的结论有2个． 故选：C． 10．通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 【详解】解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或， 故选：B． 2、 填空题 11．如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 故答案为： ． 12．关于的一元二次方程 的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的方法是关键． 运用等式的性质，两边同时除以，再直接开方即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时除以得，， ∴， 故答案为： ． 13．如果要表示某种数据在总数据中的占比，通常应选用的统计图是 ． 【答案】扇形统计图 【分析】本题主要考查扇形统计图的形式及体现内容的有关知识．如果我们需要看到每个事物所占总体的百分比，就使用扇形统计图．掌握以上知识是解答本题的关键； 本题要表示某种数据在总数据中的占比，结合扇形统计图的特点，即可得到答案； 【详解】∵要看到每个事物所占总体的百分比，就使用扇形统计图， ∴结合题干要表示某种数据在总数据中的占比， 即通常应选用的统计图是扇形统计图． 故答案为：扇形统计图． 14．已知，则 . 【答案】 【分析】把已知式子变形成a+b=4ab，所求的式子 ，代入即可化简求解． 【详解】解：∵ ∴a+b=4ab， ∴原式=. 故答案是：. 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是根据已知条件进行变形. 15．如图，在正五边形中，点M是边的中点，连接、，交于点N，则 ． 【答案】 【分析】连接，，先证明，得到，再利用等腰三角形的三线合一性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． ∵点M是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 16．抛物线经过原点，且与轴的正半轴交于点，顶点的坐标为．若点为抛物线上一动点，其横坐标为，作轴，且点位于一次函数的图像上．当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将顶点代入抛物线表达式中求的值确定抛物线的解析式，然后求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：或， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， 设，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随的增大而增大，当时，的长度随的增大而减小． 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与坐标轴的交点，二次函数与一次函数的交点，二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的图像与性质是解答的关键． 三、解答题 17．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握零指数幂运算法则是解题的关键． 先计算乘方与开方，并求出绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： 18．解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示解析 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式的求解方法是解题的关键，在数轴上表示时注意大于向右画，小于向左画，有等实心点，无等空心圆． 分别解两个不等式，再取公共解集，在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式①： 移项、合并同类项得： 解不等式②： 去分母得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得：． 所以原不等式组的解集是． 把解集在数轴上表示为： 19．如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，对角对等边，根据平行线的性质得出，再根据等角对等边得出，再根据证明即可得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 在与中， ， ． 20．先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21．为了推进全民阅读，学校开展了“阅读月”活动，活动后随机调查了50名学生一个月的课外阅读时间，并将数据整理成如图所示的统计图． (1)图中的值为______； (2)求所调查的学生阅读时间数据的平均数和中位数； (3)若该校有2800名学生，请估计一个月课外阅读时间在样本平均数以上的学生约有多少人． 【答案】(1)20 (2)平均数为小时；中位数是小时 (3)1400人 【分析】本题主要考查了扇形统计图，求出平均数和中位数，根据样本估计总体，解题的关键是理解平均数和中位数的定义． （1）根据扇形统计图求出a的值即可； （2）根据平均数和中位数的定义求出答案即可； （3）根据样本估计总体即可． 【详解】（1）解：根据扇形统计图可知：， ∴； （2）解：所调查的学生阅读时间数据的平均数为： （小时）， 将所调查的学生阅读时间从小到大进行排序，排在第25位的是12小时，排在第26位的是13小时，因此中位数是（小时）． （3）解：（名）， 答：估计一个月课外阅读时间在样本平均数以上的学生约有1400人． 22．如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线，圆周角定理、相似三角形的判定及性质； （1）连接，由平分，，可得，，根据，得，即可证明是的切线； （2）由是的中位线，得，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图： 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的中点，且， 是的中位线，， ， ． 是的直径， ． 又， ， ，即， ． 23．小福与小闽两位同学结合尺规作图展开了以下探究： 素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，． 实践操作：小闽利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线． 步骤如下： ①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点． ②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点． ③连结，则直线即为所作的直线的垂线． 问题解决： （1）如图1，若，则所画圆的面积为________． （2）如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是________， ∴． 若，则________cm． 探究提升： （3）小福认为以下问题也可以借助尺规作图解决： 如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点，并求出的长．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑） 【答案】（1）  （2）菱形，  （3）作图见解析， 【分析】本题考查尺规作图—作已知线段的垂直平分线，勾股定理，菱形的性质，掌握基本的尺规作图是解题的关键． （1）根据圆的面积公式计算即可； （2）由作图可得四边形是菱形，然后利用菱形的性质和勾股定理解题即可； （3）在BC的延长线上截取，然后以，为圆心，大于长为半径作弧交于点G，作射线交于点F，然后根据勾股定理求出长，然后再在中运用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴圆的半径等于长，即圆的半径为， ∴圆的面积为； 故答案为：； （2）如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是菱形， ∴． 设与交于点O， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：菱形，． （3）如图所示，点即为所作； ∵是矩形， ∴， 由作图可得， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得，即， 解得：，即． 24．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点， (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，连接，已知抛物线的对称轴交x轴于点M，问对称轴上是否存在点N，使得，若存在，试求出点N坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，P为直线上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在点N，且坐标为或 (3) 【分析】（1）已知二次函数图象经过的点，将点坐标代入二次函数的一般式，得到关于的方程组，解方程组即可确定函数表达式． （2）利用等腰三角形性质和角度关系，合理构造辅助线，找到与所求点相关的几何关系，通过三角函数或勾股定理等知识求解点的坐标． （3）通过作垂线构造直角三角形，利用垂线段最短原理，将所求线段和转化为点到直线的距离，结合勾股定理计算距离． 【详解】（1）将代入， 得 解得， 该函数表达式为 （2）∵， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，则． ∴，在对称轴上取点，则， ∴A，又， ∴， ∴， 在上取点，连接，使得． 则， ∵，则， 在中，有， ∴解得， ∴，由对称性可知还存在点． 综上所述，存在点N，且坐标为或． （3）如图，过点C作，作于点Q， 则， ∴， 则当三点共线时值最小， 过点B作， 即当分别位于时值最小且最小值为图中的长度， ， ， 在中， ， 则， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，等腰三角形性质与存在性问题，线段最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． (1)请你根据上边分析，完成证明过程． (2)如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． (3)如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】取的中点，连接，，利用中位线定理可证，根据直角三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可证结论成立； 延长到点，使，连接，，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可知，从而可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形中位线定理可证结论成立； 延长到点，使，连接、，构造等腰直角三角形，本题要分当点在线段上和点在线段的延长线上两种情况求解． 【详解】（1）证明：如下图所示，取的中点，连接，， 点为的中点， 是的中位线， 且， 于点， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：如下图所示，延长到点，使，连接，， ，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ； （3）解：如下图所示，当点在上时，延长到点，使，连接、， 是等腰直角三角形， ， 又，， ，， ， ， 在中，， 点为中点，点为的中点， ， ， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ； 如下图所示，当点在延长线上时，延长到点，使，连接、， 由可得：， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述的面积为或． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质找到边之间的关系． 8 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$